Topologie
1 La multiplication dans C [X ]
On noteE=C[X],En=Cn[X];
kPk=X
k
|ak| Etudier dans les cas suivants l'existence d'une constanteC qui vérie
1-∀P, Q∈En,kP.Qk ≤CkPk.kQk 2-∀P, Q∈E,kP.Qk ≤CkPk.kQk 3-∀P, Q∈E,kPk.kQk ≤CkP Qk 4-∀P, Q∈En,kPk.kQk ≤CkP Qk Mêmes questions avec
kPk= max
k |ak|
2 Sur les racines dans C [X ]
On xen∈N∗. SoitA⊂C; on notePA l'ensemble des polynômes de degrénunitaires à racines dansA. 1- On supposeA compact ; montrer quePA est compact.
2- On supposeA fermé dansC; montrer quePA est fermé dansCn[X].
3- On supposeA ouvert dansC; montrer quePA est ouvert dans l'ensemble des polynômes unitaires de degrén. Indications
1- Facile.
2- Soitλ∈C\A. Soitd=d(λ, A); alorsd >0 et
∀P∈PA,|P(λ)| ≥dn 3- Pas facile.
3 Approximation polynomiale uniforme
On noteS= [a, b]aveca < b,n∈N,En=Rn[X], et
E =C0(S,R) Pourg∈E, on notekgk∞= sup
S
|g|. On xe un élément f ∈E. 1- Montrer qued= d (f, En)est bien dénie.
2- Montrer l'existence deP ∈En tel que
d=kf−Pk∞ On xe un tel polynômeP et on note
M =kf −Pk∞ 3- On note
X ={x∈S/|f(x)−P(x)|=M} Montrer queX est non vide.
On va montrer quecard (X)≥n+ 2. On supposecard (X)≤n+ 1. 4- Montrer l'existence deL∈En coïncidant avecf surX.
1
5- Montrer l'existence d'un ouvertU deS contenantX tel que sup
U
|f−L| ≤ M 2 Pourε∈[0,1], on note
Pε= (1−ε)P+εL 6- Montrer l'existence deε >0 tel quekf−Pεk∞< M.
7- Conclure.
On va maintenant montrer l'unicité deP. On suppose l'existence deP1 etP2 éléments deEn tels que d=kf −P1k∞=kf −P2k∞
On note
P =P1+P2
2 8- Que dire dekf−Pk∞?
9- Montrer queP1=P2 en utilisant le résultat de 7.
4 Scindés à racines simples
Soitn≥1, etU ⊂Rn[X]l'ensemble des polynômes de degré nayantnracines réelles simples.
1- Montrer queU est ouvert dansRn[X]. 2- Trouver le nombre de composantes CPA deU.
5 Classe de similitude bornée
Quelles sont les matricesM ∈Mn(C)dont la classe de similitude est bornée ? Indications
Montrer que si l'ensemble des matrices semblables àM est borné, alors tout vecteur non nul est vecteur propre deM.
6 Points isolés de {M/ P (M ) = 0}
SoitE=Mn(C); soitP ∈C[X]; soit
Z ={M ∈E/ P(M) = 0}
1- Soitλune racine multiple deP ; montrer queA=λIn est un point non isolé deZ. 2- Soitλune racine simple deP ; montrer queA=λIn est un point isolé deZ. 3- SoitAun point isolé deZ ; on note
AH= (In+H)−1A(In+H) montrer que pourH assez proche de 0,AH∈Z, puisAH =A.
Montrer enn queA est une matrice scalaire.
Indications
1- UtiliserA+k1E1,2.
2-P = (X−λ)QavecQ(λ)6= 0;P(M) = (M−λIn)Q(M).
3- Toute matrice semblable àAest dansZ ; siAH =A,A et H commutent ; seules les matrices scalaires commutent avec toutes les matrices deMn(C).
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7 Continuité du rayon spectral ρ
On noteE=Mn(C); pourM ∈E, on noteρ(M)le maximum des modules des valeurs propres deM. 1- Montrer qu'il existe une normekksurE telle que
∀M ∈E, ρ(M)≤ kMk
2- Montrer que(M, z)→χM(z)est continue surE×Cet lipchitzienne sur tout compact.
3- On xeR >0 ; on noteK=B(0, R)(boule dansE).
SoitA, B∈K. Soitαune valeur propre deAtelle que|α|=ρ(A); montrer qu'il existeβ∈Sp (B)telle que
|α−β| ≤CkA−Bkn1 oùC ne dépend que deR.
4- Montrer queρest continu sur E. Indications
1- La norme subordonnée à n'importe quelle norme surRn convient.
2- C'est une fonction polynomiale, donc de classeC∞surE×C; en particulier lipchitzienne sur tout compact.
3- On note
χB(X) =
n
Y
j=1
(X−βj) Soitβ une valeur propre deB telle que|α−β|= min
j |α−βj|
|χB(α)−χA(α)|=|χB(α)|=
n
Y
j=1
(α−βj)
≥ |α−β|n
4- De|α| − |β| ≤ |α−β| ≤CkA−Bkn1 on tire
ρ(A)≤ |β|+CkA−Bkn1 ≤ρ(B) +CkA−Bkn1
OrAet B jouent des rôles symétriques, donc
∀A, B ∈K,|ρ(A)−ρ(B)| ≤CkA−Bk1n
8 Matrices d'ordre ni
On xen∈N∗. Soit
A={M ∈Mn(C)/∃q∈N∗, Mq =In} Montrer que
A={M ∈Mn(C)/SpM ⊂U}
9 Nilpotentes
SoitA∈Mn(C); montrer queAest nilpotente si et seulement si il existe une suite(Ak)de matrices semblables àAqui converge vers0.
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