Racines carrées Racines carrées
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Exercice 1.
Écrire chacun des nombres sous la forme a
√
b où a et b sont des nombres entiers et b le plus petit possible.√
20=√
4×5=√
4×√
5=2√
5 ;√
27=√
9×3=√
9×√
3=3√
3 ;√
45=√
9×5=√
9×√
5=3√
5√
160=√
16×10=√
16×√
10=4√
10 ;√
275=√
25×11=√
25×√
11=5√
11 ;√
1825=√ √
9×252 =3√
52Caractère de divisibilité : un nombre se divise par 25, s'il est terminé pare 00, 36, 50 ou 75.
√
99891 99 se divise par 9 et 891 aussi (8+9+1 = 18), mais 891/9 = 99, donc√
89199=√
99×999 =√
19=√ (13)
2=13
√
49544 Par quel bout le prendre ?... 44 = 4 x 11 est le nombre le plus simple. 495 ne se divisant pas par 4, si on ne connaît pas le caractère de divisibilité par 11, il faut essayer et 495 = 45 x 11, donc√
49544 =√
45×114×11=√
454 =√
9×522 =3√
25Exercice 2
Effectuer les calculs suivants et donner le résultat sous la forme où b est un nombre entier le plus petit possible.
: 40 c'est 4 x 10, 160 c'est 16 x 10 et 250 = 25 x 10
: d'où
: tout doit être divisible par 6. Donc
: 45 est le nombre le plus intéressant, 45 = 9 x 5, donc tout devrait être est multiple de 5.
: 27 est le nombre le plus intéressant, 27 = 9 x 3, donc tout devrait être est multiple de 3.
: 108 se divise par 4 (puisque 08 divisible par 4 ) et par 9 (1+8 = 9) donc par 36 ; 108 = 36 x 3.
Exercice 3
Simplifier les produits suivants
a
√
b2
√
20+√
5√
45=2√
4×5+√
5√
9×5=2×√
4×√
5+√
5√
9×√
5=4√
5+√
5 3√
5=2√
5√
40√
160+2√
250√
40√
160+2√
250=√
4×10√
16×10+2√
25×10=2√
10 4√
10+2×5√
10=8√
103
√
6 2√
24+3√
96 3√
6 2√
24+3√
96=3√
6 4√
6+12√
6=11√
65
√
45√
80+2√
1805
√
45√
80+2√
180=5√
9×5√
16×5+2√
36×5=5×3√
5 4√
5+2×6√
5=15√
5 4√
5+12√
5=23√
55
√
48 4√
75+3√
275
√
48 4√
75+3√
27=5√
16×3 4√
25×3+3√
9×3=20√
3 20√
3+9√
3=9√
32
√
5+√
125 6√
45=2√
5+√
25×5 6√
9×5=2√
5+5√
5 18√
5= 11√
5√
108 (3√
192 2√
243)√
108 (3√
192 2√
243)=√
36×3 (3√
64×3 2√
81×3)=6√
3 (24√
3 18√
3)=6√
3 6√
3=0√
48 15√
27+2√
675=√
16×3 15√
9×3+2√
225×3=4√
3 45√
3+30√
3= 11√
3√
108√
243+2√
147=√
36×3√
81×3+2√
49×3=6√
3 9√
3+14√
3=√
3√
14×√
56=√
14×56=√
(2×7)×(8×7)=√
16×72=√
16×√
72=4×7=28√
80×√
180=√
8×√
10×√
18×√
10=10√
8×√
18=10√
4×2×√
9×2=10×2×3×√
2×√
2=10×2×3×2=120√
23×√
27=√
23×27=√
210=√
(25)2=25=32√
2×32×√
23×34×5=√
2×√
32×√
23×√
34×√
5=√
2×23×3×32×√
5=27×√
24×√
5=27×4×√
5=108√
5√
8×√
225×√
72=√
8×√
152×√
8×9=√
8×15×√
8×√
9=8×15×3=360√
7,5×√
2,7×√
0,04=√
75×10 1×√
27×10 1×√
4×10 2=√
75×√
27×2×√
10 4=2×5√
3×3√
3×10 2=90×10 2=0,9√
8×√
89=√
8×√ √
89=√
8×√
9√
8=833
√
175×3√
34=9×√
175×34=9×√
125×14=9×√
1100=9×110=109 =0,9√
278 ×√
503 =√ √
27×8×√ √
350=32√ √
3×52×√ √
32=3×52 =152√
45×√
2220×√
1811=3√
5×√
1110×√
1811=3×√
5×√
11×1810×11=3×√
5×√
95=3×√
5×√ √
95=3×√
9=3×3=9Exercice 4
Effectuer les produits suivants, puis réduire
Dans ce qui suit, je note (P1) : (a+b)2=a2+2ab+b2 ; (P2) (a b)2=a2 2ab+b2 ; (P3) (a+b)(a b)=a2 b2 et (D) la distributivité.
(P2) (D)
(P1)
(D) (P3)
soit 19
√
5 5√
50=19√
5 5√
25×2=19√
5 25√
2 (D)(D)
Exercice 5
3 est la moitié de
Il fallait plutôt se demander si était le double de 3. La réponse est donc non : le double de 3 est 6, c'est à dire
Oui, est un nombre entier. Développons :
Vrai ! et
Exercice 6
L'inverse de est : (
√
2+1)(√
2 1)=(√
2)2– 12=2 1=1 VRAI est l'écriture de l'inverse de donc :si est égal à alors et sont donc des inverses.
Voyons cela : VRAI
Exercice 7
D'où x2=23,04 et x=
√
23,04=4,8 D'où y2=15,36 et x=√
15,36=3,2D'où z2=2,56 et x=
√
2,53=1,6√
23×36√
9×√
32=√
23×√
36√
32×√
25=√
23√
25×√
36√
32=√
2235×√
3362=√
212×√
34=12×32=92=4,5√
4,9×103√
3×102×√
12×106=√
49×102√
3×102×√
12×106=10
√
4910
√
3×103√
12=7 103
√
3×√
12=7 103
√
36=7
6×10 3= 7 6000
√
55×√
23×73√
50×√
28 =√
54×5×√
(22×2)×(72×7)√
25×2×√
4×7 =52
√
5×2×√
2×7√
75
√
2×2√
7 =35
√
5×√
2×√
7√
2×√
7 =35√
5(
√
2√
3)2=(√
2)2 2√
2×√
3+(√
3)2=2+3 2√
6=5 2√
6(2
√
3)(1+√
3)=2+2√
3√
3 3= 1+√
3(2
√
3+√
5)2=4×3+2×2√
3×√
5+5=12+4√
15+5=17+4√
15(2
√
5+√
3)(4√
5√
3)=2√
5×4√
5 2√
5×√
3+√
3×4√
5√
3×√
3=40 2√
15+4√
15 3=37+2√
15(2
√
7+3√
5)(2√
7 3√
5)=(2√
7)2 (3√
5)2=4×7 9×5= 17√
5(√
5√
2)(3√
5 2√
2)=√
5(√
5×3√
5√
5×2√
2√
2×3√
5+√
2×2√
2)=√
5(15 2√
10 3√
10+4)=√
5(19 5√
10)(3
√
2√
8+√
18)(3√
12+√
27)=(3√
2 2√
2+3√
2)(3 2√
3+3√
3)=4√
2(3+√
2)=12√
2+8(3
√
6√
150)(5√
24 2√
54)=(3√
6√
25×6)(5√
4×6 2×√
9×6)=(3√
6 5√
6)(10√
6 6√
6)= 2√
6×4√
6= 8×6= 48(2
√
3 − 1)(2√
3+1)3
√
23
√
2(2
√
3)2 12=4×3 1=12 1=11 3×2=3×(√
2)2√
98=√
49×2=7√
2√
8+√
50=√
4×2+√
25×2=2√
2+5√
2=7√
2√
8+√
50=√
98√
2+1√
2 1 1√
8 –√
3√
8 –√
31
√
8 –√
32
√
2+√
35
√
8 –√
3 2√
2+√
35 (
√
8 –√
3)×2√
2+√
35 =(
√
8√
3)(2√
2+√
3)5 =(2
√
2√
3)(2√
2+√
3)5 =(2
√
2)2 (√
3)25 =8 3
5 =1
3 x2=69,12 3 y2=30,72 3 z2=7,68
A=
