www.mathsentete.fr
Chap.9 :
Racines carrées
Partie 1 : définition
Définition : racine carréeLa racine carrée d’un nombre positif 𝑎 est le nombre positif, noté √𝑎, dont le carré vaut 𝑎.
Autrement dit √𝑎 × √𝑎 = %√𝑎&' = 𝑎 Remarques :
1) On parle aussi de « radical » pour évoquer le symbole √ . 2) Un carré parfait est le carré d’un nombre entier.
3) Le carré d’un nombre est toujours positif.
4) Lorsque 𝑎 < 0, √𝑎 n’existe pas et n’a pas de sens.
Exemples : √1 = 1 car 1' = 1 ; √9 = 3 car 3' = 9 ; %√2&' = 2 ; %√12,4&' = 12,4
Partie 2 : Propriétés
Propriété : racine d’un carré
Pour tout nombre 𝑎, √𝑎' = 𝑎 si 𝑎 ≥ 0 et √𝑎' = −𝑎 si 𝑎 < 0.
Exemples : 3(−8)' = −(−8) = 8 et √6' = 6
Remarque : on verra un peu plus tard qu’on peut écrire : pour tout nombre 𝑎, √𝑎' = |𝑎|.
En effet, la valeur absolue de 𝑎, notée |𝑎|, vaut 𝑎 si 𝑎 ≥ 0 et −𝑎 si 𝑎 < 0 Par exemple, |4| = 4 et |−2| = 2
Propriétés calculatoires : pour tous nombres positifs 𝑎 et 𝑏 (avec 𝑏 ≠ 0) :
√𝑎 × 𝑏 = √𝑎 × √𝑏 et ;<==√<
√=
Démonstration : D’une part : √𝑎𝑏' = 𝑎𝑏
D’autre part : %√𝑎 × √𝑏&' = √𝑎 × √𝑏 × √𝑎 × √𝑏 = √𝑎 × √𝑎 × √𝑏 × √𝑏 = 𝑎𝑏 Donc √𝑎𝑏' = %√𝑎 × √𝑏&'
Or tout est positif (√𝑎𝑏 ≥ 0 et √𝑎 × √𝑏 ≥ 0). Conclusion : √𝑎𝑏 = √𝑎 × √𝑏 Exemples : √2 × √3 = √2 × 3 = √6 ;>?
'@=√>?
√'@= ?
@
Remarque : attention : √𝑎 + 𝑏 ≠ √𝑎 + √𝑏
Contre-exemple : √16 + 9 = √25 = 5 mais √16 + √9 = 4 + 3 = 7 En revanche, on a :
Propriété : pour tout réels 𝑎 et 𝑏 strictement positifs :
√𝑎 + 𝑏 < √𝑎 + √𝑏 Démonstration :
D’une part : %√𝑎 + 𝑏&' = 𝑎 + 𝑏
D’autre part : %√𝑎 + √𝑏&' = √𝑎'+ 2√𝑎 × √𝑏 + √𝑏' = 𝑎 + 2√𝑎𝑏 + 𝑏 Or 2√𝑎𝑏 > 0 car 𝑎 > 0 et 𝑏 > 0 donc 𝑎 + 2√𝑎𝑏 + 𝑏 > 𝑎 + 𝑏
Ce qui signifie que %√𝑎 + 𝑏&' > %√𝑎 + √𝑏&'. Comme tout est positif, √𝑎 + 𝑏 > √𝑎 + √𝑏.
www.mathsentete.fr
Partie 3 : Méthodes
Méthode n°1 : comment simplifier une racine carrée ?
a) Écrire sous la forme 𝑎√𝑏 avec 𝑎 et 𝑏 entiers, 𝑏 le plus petit possible.
√125 = √25 × 5 = √25 × √5 = 5√5
√72 = √36 × 2 = √36 × √2 = 6√2 b) Méthode : comment simplifier une racine carrée ?
On se sert des tables pour simplifier des écritures sous la forme 𝑎√𝑏 avec 𝑎 entier positif et 𝑏 entier positif le plus petit possible.
L’idée est de trouver des carrés parfaits.
Méthode n°2 : comment simplifier un produit de racines ? a) Simplifier l’écriture √8 × √40.
√8 × √40 = √2 × 4 × √2 × 25 = √2 × √4 × √2 × √25
= √2 × 2 × √2 × 5 = √2'× 4 × √5 = 2 × 4 × √5 = 8√5 b) Méthode : comment multiplier deux racines carrées ?
Décomposer chaque nombre grâce aux tables et utiliser la propriété de produit.
L’idée est de trouver deux facteurs en √𝑎 pour donner √𝑎' = 𝑎 Méthode n°3 : comment simplifier une somme ?
a) Simplifier l’écriture √12 + √27.
√12 + √27 = √4 × 3 + √9 × 3 = 2√3 + 3√3 = 5√3 b) Méthode : comment additionner deux racines carrées ?
Décomposer chaque nombre grâce aux tables et utiliser la propriété de produit.
L’idée est de trouver deux facteurs en √𝑎 pour les ajouter.
Méthode n°4 : comment supprimer le radical du dénominateur ? a) Simplifier l’écriture √@EF.
10
√5= 10 × √5
√5 × √5=10√5
5 = 2√5 b) Méthode : comment écrire un quotient sans radical ?
Il faut multiplier numérateur et dénominateur par le dénominateur.
L’idée est de tomber au dénominateur sur √𝑎' = 𝑎
Partie 4 : équation du type 𝒙
𝟐 = 𝒂Propriété :
• L’équation 𝑥' = 𝑎 avec 𝑎 > 0 possède deux solutions réelles : 𝑥 = √𝑎 ou 𝑥 = −√𝑎.
• L’équation 𝑥' = 0 n’en a qu’une : 𝑥 = 0
• L’équation 𝑥' = 𝑎 avec 𝑎 < 0 n’a pas de solution réelle.
Exemples :
𝑥' = 64 a pour ensemble solution : 𝑆 = {−8; 8}
𝑥'− 9 = 0 ⟺ 𝑥' = 9. L’ensemble solution est : 𝑆 = {−3; 3}
2𝑥'+ 4 = 2 ⟺ 2𝑥' = 2 − 4 = −2 ⟺ 𝑥' = −'' = 1.
L’ensemble solution est 𝑆 = ∅.
𝑥'− 3 = −3 ⟺ 𝑥' = 0. L’ensemble solution est 𝑆 = {0}.
www.mathsentete.fr
Partie 5 : fonction racine carrée
Définition :
La fonction racine carrée est la fonction définie sur [0; +∞[ par 𝑓(𝑥) = √𝑥.
Elle associe à chaque nombre réel positif sa racine carrée.
Tableau de variations :
𝑥
Variations de 𝑓
Tableau de valeurs :
𝑥 0 1 2 3 4 5 9
𝑓(𝑥) √… ≈ √… ≈ √… ≈
Courbe représentative :
2 :04 à 3 :58
www.mathsentete.fr
