OLIVIER CASTÉRA
Résumé. Le corps des nombres complexes C forme une extension quadratique du corps des nombres réelsR. Les nombres complexes de la forme(x,0)forment un sous-corps deCqui est isomorphe au corpsR, par l’application qui à(x,0)fait correspondrex.
Table des matières
1 Groupe 1
1.1 Produit direct de groupes 2
1.2 Morphisme de groupes 3
2 Anneau 3
2.1 Anneau intègre 4
2.2 Sous-anneau 4
2.3 Morphisme d’anneaux 5
3 Corps 5
3.1 Sous-corps 5
4 Racines Carrées 6
5 L’anneau L 7
6 Eléments inversibles d’une extension quadratique 10
7 Le corps R des nombres réels 11
1 Groupe
Un groupe est une structure algébrique relativement simple puisqu’elle ne contient qu’une seule opération. Cependant, la notion d’élément symétrique revient à introduire une seconde opération. Elle est utilisée dans beaucoup d’autres structures algébrique.
Définition 1.1. Un ensemble non vide G muni de l’opération ◻, est un groupe, noté (G,◻), ssi
(1) l’opération binaire ◻ est une loi de composition interne : à chaque paire d’éléments de G, elle associe un élément deG
∀(a, b) ∈G2, a◻b∈G (2) l’opération ◻ est associative
∀(a, b, c) ∈G3, a◻ (b◻c) = (a◻b) ◻c
(3) Il existe un élément neutre (ou identité) e dans G, pour l’opération◻
∃e∈G / ∀a∈G, e◻a=a◻e=a (4) Tout élément a deG possède un symétrique dans G, noté ¯a
∀a∈G, ∃¯a∈G / a◻¯a=a¯◻a=e
Date: 5 décembre 2020.
Pour un groupe additif, la loi de composition est notée +. L’élément neutre est l’élément nul ou zéro. Le symétrique de a est appelé l’opposé de a, et noté −a.
Pour un groupe multiplicatif, la loi de composition est notée × ou par une juxtaposition des éléments. L’élément neutre est l’unité. Le symétrique de a est appelé inverse de a, et noté a−1. Théorème 1.1. Quel que soit le groupe (G,◻), l’élément neutre est unique.
Démonstration. Supposons que e ete′ soient les éléments neutres du groupe (G,◻)
∀x∈G, x◻e=e◻x=x (x=e′) ⇒ (e′◻e=e◻e′=e′)
∀x∈G, x◻e′=e′◻x=x (x=e) ⇒ (e◻e′=e′◻e=e)
(e′◻e=e′ et e′◻e=e) ⇒ (e′=e)
Définition 1.2. Un groupe (G,◻) est dit abélien ssi l’opération◻ est commutative
∀(a, b) ∈G2, a◻b=b◻a
Exemples. Les ensembles des entiers naturels Z, des rationnels Q, et des réels R, sont des groupes abéliens pour l’addition+. On note ces groupes respectivement(Z,+),(Q,+)et(R,+).
Les ensembles des rationnels privés de zéro (zéro n’a pas d’inverse), Q∗, et des réels privés de zéro,R∗, sont des groupes abéliens pour la multiplication×. On note ces groupes respectivement (Q∗,×) et (R∗,×).
1.1 Produit direct de groupes
Définition 1.3. Soient (G,⋆) et (H,⋆) deux groupes munis de la même loi de composition interne⋆. Considérons le produit cartésien G×H des ensembles GetH, c’est à dire l’ensemble des paires ordonnées {g∈G, h∈H,(g, h)}. On munit le produit cartésien G×H de l’opération
⍟
∀(g1, g2) ∈G2, ∀(h1, h2) ∈H2, (g1, h1) ⍟ (g2, h2) = (g1⋆g2, h1⋆h2) (G×H,⍟)est appelé produit direct de G etH.
Théorème 1.2. Le produit direct (G×H,⍟) forme un groupe.
Démonstration.
(1) l’opération ⍟ est une loi de composition interne
(G,⋆)est un groupe donc ∀(g1, g2) ∈G2, (g1⋆g2) ∈G (H,⋆)est un groupe donc ∀(h1, h2) ∈H2, (h1⋆h2) ∈H
∀(g1, h1) ∈ (G×H), ∀(g2, h2) ∈ (G×H), (g1⋆g2, h1⋆h2) ∈ (G×H) (g1, h1) ⍟ (g2, h2) ∈ (G×H) (2) l’opération ⍟ est associative
∀(g1, h1),(g2, h2),(g3, h3) ∈ (G×H)3,
(g1, h1) ⍟[(g2, h2)⍟(g3, h3)]=(g1, h1)⍟[(g2⋆g3, h2⋆h3)
=[g1⋆(g2⋆g3), h1⋆(h2⋆h3)]
et,
[(g1, h1)⍟(g2, h2)]⍟(g3, h3)=(g1⋆g2, h1⋆h2)]⍟(g3, h3)
=[(g1⋆g2)⋆g3,(h1⋆h2)⋆h3]
=[g1⋆(g2⋆g3), h1⋆(h2⋆h3)]
où l’on a utilisé l’associativité de la loi⋆ dans G et dansH. Par conséquent,
(g1, h1)⍟[(g2, h2)⍟(g3, h3)]=[(g1, h1)⍟(g2, h2)]⍟(g3, h3) (3) l’opération ⍟ admet un élément neutre dans G×H.
Soit e l’élément neutre du groupeG, et soit e′ l’élément neutre du groupe H
∀(g, h)∈(G×H), (e, e′)⍟(g, h)=(e⋆g, e′⋆h)
=(g, h)
(g, h)⍟(e, e′)=(g⋆e, h⋆e′)
=(g, h)
Théorème 1.3. Si (G,⋆)et (H,⋆) sont des groupes abéliens, alors le produit direct (G×H,⍟) forme un groupe abélien.
Démonstration.
(G,⋆)est un groupe ab´elien ∶ g1⋆g2 =g2⋆g1
(H,⋆)est un groupe ab´elien ∶ h1⋆h2 =h2⋆h1
∀(g1, h1),(g2, h2)∈(G×H)2,(g1, h1)⍟(g2, h2)=(g1⋆g2, h1⋆h2)
=(g2⋆g1, h2⋆h1)
=(g2, h2)⍟(g1, h1)
1.2 Morphisme de groupes
Définition 1.4. Soient deux groupes (G,∗) et(G′,⋆). L’application f de (G,∗) dans (G′,⋆) est un morphisme de groupes ssi
f ∶G→G′
∀(x, y)∈G2, f(x∗y)=f(x)⋆f(y)
f est un isomorphisme de groupes ssi f est un morphisme bijectif. Dans ce cas, f−1 est aussi un morphisme de groupes.
2 Anneau
Définition 2.1. Un ensembleAmuni de deux opérations, l’addition notée+et la multiplication notée ×, est un anneau noté (A,+,×), ssi
(1) (A,+) est un groupe abélien
(2) la multiplication est une loi de composition interne
∀(a, b)∈A2, a×b∈A
(3) la multiplication est associative
∀(a, b, c)∈A3, a×(b×c)=(a×b)×c (4) la multiplication admet un élément neutre 1 dansA
∃1∈A / ∀a∈A, 1×a=a×1=a
(5) la multiplication est distributive à gauche et à droite par rapport à l’addition
∀x, y, z∈A3, a×(b+c)=(a×b)+(a×c)
∀x, y, z∈A3, (b+c)×a=(b×a)+(c×a)
Définition 2.2. Un anneau (A,+,×) est dit commutatif ssi la multiplication est commutative
∀(a, b)∈A2, a×b=b×a Règles de calcul. Quel que soit l’anneau (A,+,×)
Soit0 l′el´ement neutre de la loi´ + ∶ ∀x∈A, 0×x=x×0=0 Soit −y le sym´etrique de y pour la loi + ∶
∀(x, y)∈A2, x×(−y)= −(x×y)
∀(x, y, z)∈A3, x×[y+(−z)]=(x×y)+[x×(−z)]
Si (A,+,×) est un anneau commutatif, binˆome de N ewton ∶
∀n∈N, ∀(x, y)∈A2, (x+y)n=
n
∑
k=0
Cnkxk×yn+(−k)
2.1 Anneau intègre
Définition 2.3. Un élément non nul a d’un anneau (A,+,×) est un diviseur de zéro à gauche, ssi
∃b≠0∈A / a×b=0
Définition 2.4. Un élément non nul a d’un anneau(A,+,×) est un diviseur de zéro à droite, ssi
∃b≠0∈A / b×a=0
Définition 2.5. Un anneau (A,+,×) est intègre s’il est différent de l’élément nul{0}, commu- tatif, et sans diviseur de zéro.
Théorème 2.1. Pour tout anneau(A,+,×) intègre
∀(a, b)∈A2, (a×b=0)⇒(a=0 ou b=0)
2.2 Sous-anneau
Définition 2.6. Toute partie A′ de l’ensemble A est un sous-anneau de l’anneau (A,+,×) ssi (1) (A′,+,×) est un anneau
(2) A′ est stable pour l’addition
∀(a, b)∈A′2, a+b∈A′ (3) A′ est stable pour la multiplication
∀(a, b)∈A′2, a×b∈A′
2.3 Morphisme d’anneaux
Définition 2.7. Soient deux anneaux (A1,+,×) et(A2,⊞,⊡), et soient e1 l’élément neutre de
× dans A1, et e2 l’élément neutre de ⊡ dans A2. L’application f de (A1,+,×) dans (A2,⊞,⊡) est un morphisme d’anneaux ssi
(1) ∀(x, y)∈A21, f(x+y)=f(x)⊞f(y) (2) ∀(x, y)∈A21, f(x×y)=f(x)⊡f(y) (3) f(e1)=e2
f est un isomorphisme d’anneaux ssif est un morphisme bijectif. Dans ce cas, f−1 est aussi un morphisme d’anneaux.
3 Corps
Définition 3.1. Un ensemble K muni de l’addition + et de la multiplication × est un corps, noté (K,+,×), ssi
(1) (K,+,×) est un anneau
(2) tout élément non nul a de K possède un inverse dans K pour la multiplication, noté a−1,
∀a∈K, a≠0, ∃a−1∈K / a×a−1=a−1×a=1
Définition 3.2. Un corps (K,+,×) est dit commutatif ssi la multiplication est commutative
∀(a, b)∈K2, a×b=b×a
Théorème 3.1. Si (K,+,×) est un corps alors il n’a pas de diviseur de zéro.
Démonstration. D’après la définition 3.1, si (K,+,×) est un corps
∀a∈K, a≠0, ∃a−1∈K / a×a−1=a−1×a=1 Pour démontrer que
(a×b=0)⇒(a=0 ou b=0)
nous allons montrer que si a×b=0 alors il est impossible d’avoir à la fois a≠0 et b≠0.
∀(a, b)∈K2, a×b=0
∀a∈K, a≠0, a−1×a×b=a−1×0 1×b=0
b=0
Et par symétrie des rôles de a etb, si b≠0 alorsa=0.
3.1 Sous-corps
Définition 3.3. Toute partie K′ de l’ensemble K est un sous-corps du corps (K,+,×) ssi (1) (K′,+,×) est un corps
(2) K′ est stable pour l’addition
∀(a, b)∈K′2, a+b∈K′ (3) K′ est stable pour la multiplication
∀(a, b)∈K′2, a×b∈K′
4 Racines Carrées
Soit (A,+,×) un anneau commutatif. Nous dirons qu’un élémentα deA est un carré dans A ssi
∃x∈A / α=x2
x est appelée racine carrée de α dans (A,+,×). Si x est une racine carrée de α dans A alors il en est de même de −x, car (−x)2 =α. Si l’anneau (A,+,×) est intègre, α ne peut admettre plus de deux racines carrées dans A, car la relationx2 =y2, qui s’écrit dans tous les cas sous la forme (x−y)(x+y)=0, implique soitx=y, soit x= −y.
Exemples. Si(A,+,×)est l’anneau des nombres réels(R,+,×),αest un carré dansAssiα⩾0, par exemple pour α=2. Si (A,+,×) est l’anneau des nombres rationnels (Q,+,×), 2 n’est pas un carré.
On est ainsi conduit à examiner le problème suivant :
Soit(A,+,×)un anneau commutatif et αun élément de Aqui n’est pas un carré dansA. Est-il possible de construire un anneau commutatif (L,⊞,⊡) possédant les propriétés suivantes :
A est un sous-anneau de L, et α est un carré dans L?
Soit α un élément d’un anneau commutatif (A,+,×), qui n’est pas un carré dans A. Sup- posons le problème résolu et désignons par (L,⊞,⊡) un anneau commutatif dont A soit un sous-anneau
(A,+,×)⊆(L,+,×) et par ω une racine carrée de α dans L
ω2=α
Désignons par L′ l’ensemble des éléments z de l’anneau commutatif L possédant la propriété
∀z∈L′, ∃(x, y)∈A2 / z =x+(ω×y)
Notation. Nous posons que la loi de composition ×est prioritaire sur la loi de composition +, et nous omettrons souvent le symbole×pour faciliter la lecture. Par conséquent, nous écrirons
z=x+ωy
Théorème 4.1. (L′,+,×) est un sous-anneau de (L,⊞,⊡) contenant (A,+,×) et ω.
Démonstration. En utilisant les propriétés des lois de composition internes d’un anneau, don- nées en définition 2.1, nous avons
∀(x′+ωy′)∈L′ et∀(x′′+ωy′′)∈L′,
(x′+ωy′)+(x′′+ωy′′)=x′+ωy′+x′′+ωy′′
=x′+x′′+ωy′+ωy′′
=(x′+x′′)+ω(y′+y′′)∈L′ (1)
(x′+ωy′)×(x′′+ωy′′)=x′x′′+x′ωy′′+ωy′x′′+ωy′ωy′′
=x′x′′+αy′y′′+x′ωy′′+ωy′x′′
=(x′x′′+αy′y′′)+ω(x′y′′+y′x′′)∈L′ (2) L′ est donc stable pour les lois+et×. D’après la définition 2.6,(L′,+,×)est un sous-anneau de (L,⊞,⊡). De plus, l’anneau L′ contient l’anneau A (poser y =0), et il contient aussi ω (poser
x=0 et y=1).
Ce résultat montre que si le problème admet une solution, alors on peut construire l’anneau commutatif (L,⊞,⊡) de sorte que chacun de ses éléments s’écrive sous la forme x+ωy avec (x, y)∈A2.
Autrement dit, si nous introduisons l’applicationf, telle que f ∶A×A→L
f(x, y)=x+ωy alors f est surjective
∀u∈L, ∃(x, y)∈A2 / f(x, y)=u
Remarque. Si(A,+,×)est un corps et siαn’est pas un carré dans(A,+,×), alors l’application f est injective
∀(x′, y′)∈A2,∀(x′′, y′′)∈A2, f(x′, y′)=f(x′′, y′′)⇒(x′=x′′, y′=y′′) Démonstration.
f(x′, y′)=f(x′′, y′′) x′+ωy′=x′′+ωy′′
(x′−x′′)+ω(y′−y′′)=0 Posons X =x′−x′′∈A, et Y =y′−y′′∈A
X+ωY =0
Raisonnons par l’absurde. Commençons par supposer Y ≠0.
Y est inversible dans A puisque par hypothèse A est un corps, par conséquent ω=(−X)Y−1∈A
contrairement à l’hypothèse que α n’est pas un carré dans A.
Donc Y =0. Par conséquent X =0, x′=x′′, y′=y′′ etf est injective.
En introduisant l’application f, les égalités (1) et (2) s’écrivent f(x′, y′)+f(x′′, y′′)=f(x′+x′′, y′+y′′)
f(x′, y′)×f(x′′, y′′)=f(x′x′′+αy′y′′, x′y′′+y′x′′)
Ces égalités, obtenues en supposant le problème résolu, vont maintenant nous servir de point de départ pour construire une solution au problème posé.
5 L’anneau L
Soit α un élément d’un anneau commutatif (A,+,×), qui n’est pas un carré dans A. Nous allons construire un nouvel anneau (L,⊞,⊡) dans lequel α est un carré. Soit l’ensemble L, produit cartésien de A×A, tel qu’un élément (x, y) de L soit une paire ordonnée de deux éléments x ety de A.
Définition 5.1. Les deux opérations⊞ et⊡ dans (L,⊞,⊡) sont définies comme suit (x′, y′)⊞(x′′, y′′)=(x′+x′′, y′+y′′)
(x′, y′)⊡(x′′, y′′)=(x′x′′+αy′y′′, x′y′′+y′x′′)
lesquelles font intervenir à la fois l’élémentαet les lois de composition dans l’anneau(A,+,×). Théorème 5.1. L’ensembleL muni des lois de composition internes ⊞ et ⊡ est un anneau.
Démonstration. Suivons les cinq points de la définition 2.1.
(1) Montrons que(L,⊞)est un groupe abélien.
L’ensemble A muni de la loi de composition + est un groupe abélien. D’après le théo- rème1.3, le produit direct des groupes abéliensA×Aest un groupe abélien, donc(L,⊞) est un groupe abélien.
(2) Montrons que⊡ est une loi de composition interne.
∀x′, y′, x′′, y′′, quatre éléments de l’anneau A. x′x′′+αy′y′′∈A et x′y′′+αy′x′′∈A
On pose a=(x′, y′)∈L etb=(x′′, y′′)∈L
a⊡b=(x′, y′)⊡(x′′, y′′)
=(x′x′′+αy′y′′, x′y′′+y′x′′)
∀(a, b)∈L2, a⊡b∈L (3) Montrons que la loi⊡ est associative.
En utilisant la définition 5.1
(x, y)⊡[(x′, y′)⊡(x′′, y′′)]=(x, y)⊡(x′x′′+αy′y′′, x′y′′+y′x′′)
=(x(x′x′′+αy′y′′)+αy(x′y′′+y′x′′), x(x′y′′+y′x′′)+y(x′x′′+αy′y′′))
=(xx′x′′+xαy′y′′+αyx′y′+αyy′x′′, xx′y′′+xy′x′′+yx′x′′+yαy′y′′) et d’autre part
[(x, y)⊡(x′, y′)]⊡(x′′, y′′)=(xx′+αyy′, xy′+yx′)⊡(x′′, y′′)
=[(xx′+αyy′)x′′+α(xy′+yx′)y′′,(xx′+αyy′)y′′+(xy′+yx′)x′′]
=(xx′x′′+αyy′x′′+αxy′y′′+αyx′y′′, xx′y′′+αyy′y′′+xy′x′′+x′yx′′) L’associativité s’obtient en comparant les résultats.
(4) Montrons que la loi⊡ admet (1,0) comme élément neutre (1,0)⊡(x, y)=(1x+α0y,1y+0x)
=(x+α0, y+0)
=(x, y)
(5) Montrons que la loi⊡ est distributive à gauche par rapport à la loi ⊞ (x, y)⊡[(x′, y′)⊞(x′′, y′′)]=(x, y)⊡(x′+x′′, y′+y′′)
=(x(x′+x′′)+αy(y′+y′′), x(y′+y′′)+y(x′+x′′))
=(xx′+xx′′+αyy′+αyy′′, xy′+xy′′+yx′+yx′′)
=((xx′+αyy′)+(xx′′+αyy′′),(xy′+yx′)+(xy′′+yx′′))
=(xx′+αyy′, xy′+yx′)⊞(xx′′+αyy′′, xy′′+yx′′)
=[(x, y)⊡(x′, y′)]⊞[(x, y)⊡(x′′, y′′)]
De même pour la distributivité à droite.
Théorème 5.2. (L,⊞,⊡) est un anneau commutatif.
Démonstration. Montrons que la loi⊡ est commutative
(x, y)⊡(x′, y′)=(xx′+αyy′, xy′+yx′)
=(x′x+αy′y, x′y+y′x)
=(x′, y′)⊡(x, y)
D’après la définition 2.2, l’ensemble Lmuni des lois de composition ⊞ et⊡ est donc un anneau
commutatif.
Théorème 5.3. L’anneau (L,⊞,⊡) contient un sous-anneau isomorphe à l’anneau (A,+,×). Démonstration. Considérons l’application
f ∶A→A×A f(x)=(x,0)
A tout élément (x,0) de l’ensemble A×A correspond un élément unique xde l’ensemble Apar f. Par conséquent f est bijective
∀(x,0)∈A2, ∃! x∈A / f(x)=(x,0) De plus, nous avons les relations suivantes
f(x′)⊞f(x′′)=(x′,0)⊞(x′′,0)
=(x′+x′′,0+0)
=(x′+x′′,0)
=f(x′+x′′)
f(x′)⊡f(x′′)=(x′,0)⊡(x′′,0)
=(x′x′′+α0×0, x′0+x′′0)
=(x′x′′,0)
=f(x′x′′)
f(1)=(1,0)
D’après la définition 2.7, f est un isomorphisme de l’anneau (A,+,×) sur un sous-anneau de l’anneau (L,⊞,⊡).
Notation. Comme f transforme les lois de compositions de l’anneau (A,+,×) en celles du sous-anneauf(A)de l’anneau(L,⊞,⊡), il n’y a aucun inconvénient à identifier chaque élément x de l’anneau (A,+,×) à l’élément f(x) de l’anneau (L,⊞,⊡). Nous utiliserons la notation (incorrecte) suivante
(x, e)=x or
(x, y)=(x+0,0+y)
=(x,0)⊞(0, y)
=(x,0)⊞(0y+α1×0,0×0+1y)
=(x,0)⊞[(0,1)⊡(y,0)]
d’où la notation suivante
(x, y)=x+ωy (3)
avec en particulier,
(1,0)=1 (0,1)=0+ω1
=ω En utilisant cette notation, les définitions 5.1 s’écrivent
(x′+ωy′)+(x′′+ωy′′)=(x′+x′′)+ω(y′+y′′) (4) (x′+ωy′)×(x′′+ωy′′)=(x′x′′+αy′y′′)+ω(x′y′′+y′x′′) (5)
Il reste à montrer queαest un carré dans l’anneau(L,⊞,⊡). Considérons l’élémentω=(0,1) de l’anneau (L,⊞,⊡). On a alors
ω2=(0,1)(0,1)
=(0×0+α1×1,0×1+1×0)
=(α,0)
=α
puisqu’on a convenu d’identifier chaque élément x de l’anneau (A,+,×) à l’élément f(x) de
l’anneau (L,⊞,⊡).
L’anneau (L,⊞,⊡) se note A[√
α] et s’appelle une extension quadratique de A. On dit que A[√
α] s’obtient par adjonction à A d’une racine carré de α.
6 Eléments inversibles d’une extension quadratique
Soient Aun anneau commutatif etα un élément deA. On considère l’extension quadratique L=A[√α].
Définition 6.1. Soit z =(x, y) =x+ωy ∈L. On appelle conjugué de z, l’élément ¯z de L, tel que
¯
z=(x,−y)
=x+(−ωy)
=x−ωy
Définition 6.2. Soit z=x+ωy∈L. On appelle norme de z, l’élément N(z)=zz¯
=(x−ωy)×(x+ωy)
=x2−ω2y2
=x2−αy2 On remarque queN(1)=1.
Théorème 6.1.
z′+z′′=z¯′+z¯′′
Démonstration.
z′+z′′=(x′+ωy′)+(x′′+ωy′′)
=(x′+x′′)+ω(y′+y′′)
=(x′+x′′)−ω(y′+y′′)
=(x′+x′′)+[−ωy′+(−ωy′′)]
=(x′−ωy′)+(x′′−ωy′′)
=z¯′+z¯′′
Théorème 6.2.
z′z′′=z¯′z¯′′
Démonstration.
z′z′′=(x′+ωy′)×(x′′+ωy′′)
=(x′x′′+αy′y′′)+ω(x′y′′+y′x′′)
=(x′x′′+αy′y′′)−ω(x′y′′+y′x′′)
=(x′x′′+αy′y′′)+[−ωx′y′′+(−ωy′x′′)]
=(x′−ωy′)×(x′′−ωy′′)
=z¯′z¯′′
Théorème 6.3.
N(z′z′′)=N(z′)N(z′′) Démonstration.
N(z′z′′)=z′z′′×z′z′′
=z′×z′′×z′×z′′
=z′×z′×z′′×z′′
=z′z′×z′′z′′
=N(z′)N(z′′)
Théorème 6.4. Soient A un anneau commutatif, α un élément de A, et z un élément de l’anneau A[√
α]. Pour que z soit inversible dans l’anneau A[√
α], il faut et il suffit que N(z) le soit dans A. On a alors
z−1=N(z)−1z¯ (6)
Démonstration. Supposonsz inversible, alors
z−1z=1 N(z−1z)=N(1) N(z−1)N(z)=1 N(z) est donc bien un élément inversible de l’anneau A. Inversement, supposons N(z) inversible dans A, alors
¯
zz=N(z) N(z)−1zz¯ =1
N(z)−1z¯=z−1
donc z est inversible.
7 Le corps R des nombres réels
Prenons le cas oùA=R, corps des nombres réel, et α= −1. D’après le théorème5.2,R[√
−1] est un corps commutatif. Il s’appelle corps des nombres complexes et se note C. Un nombre complexe est un couple de nombres réels (x, y). Les calculs sur les nombres complexes se font grâce aux égalités 4 et5.
Propriétés. Dans la pratique on utilise seulement les propriétés suivantes des nombres com- plexes
(1) les nombres complexes forment un corps commutatif C (2) le corps R des nombres réels est un sous-corps de C
(3) il existe un nombre complexe i (cette notation remplace la notation ω utilisée pour les extensions quadratiques générales), tel que
i2= −1
(4) ∀(x, y)∈R2, tout nombre complexe z s’écrit d’une façon et d’une seule, sous la forme z =x+iy
x+iy est appelée forme algébrique du nombre complexe (x, y). x est la partie réelle de z, et y est sa partie imaginaire.
On utilise les notations suivantes
x=Re(z) y=Im(z)
Nous pouvons vérifier que tout élément non nul de C admet un inverse. Soit z = x+iy un nombre complexe. D’après la définition 6.2, sa norme s’écrit
N(z)=x2−αy2
=x2+y2 et d’après le théorème 6.4, son inverse s’écrit
z−1=N(z)−1z¯
= x
x2+y2 −i y x2+y2
le dénominateur ne peut s’annuler que si x=y=0, c’est à dire si z =0.
Email address:o.castera@free.fr URL:http://o.castera.free.fr/
