0.1.1 Distributivité d'une loi de composition interne par rapport à une autre

(1)

(2)

(3)

Anneaux-Corps-Espaces vectoriels reéls

0.1 LES ANNEAUX

0.1.1 Distributivité d'une loi de composition interne par rapport à une autre

Denition 0.1.1.

Soit E un ensemble muni de deux lois de composition internes ? et>. On dit que la loi > est distributive par rapport à ? si.

∀(x, y, z)∈E³, x>(y ? z) = (x>y)?(x>z) (1) ;

∀(x, y, z)∈E³, (y ? z)>x= (y>x)?(z>x) (2)

Si la loi >est commutative, les deux relations (1) et (2) sont équivalentes.

Exemple 0.1.1. .

1. Dans N,Z,Q,R,C, la multiplication est distributive par rapport à l'addition.

Dans ces ensembles on a x×(y+z) =x×y+x×z.

Par contre, l'addition n'est pas distributive par rapport à la multiplication x+ (y×z)6= (x+y)×(x+z).

2. Dans M₂(R) et M₃(R),la multiplication est distributive par rapport à l'addition.

3. Dans Z/nZ,la multiplication est distributive par rapport à l'addition.

4. Dans P(E) la loi T est distributive par rapport S

∀(A, B, C)∈P(E), AT (BS

C) = (AT B)S

(AT B) 5. Dans P(E) la loi S

est distributive par rapport T

∀(A, B, C)∈P(E), AS (BT

C) = (AS B)T

(AS B)

0.1.2 Structure d'anneau

Denition 0.1.2.

Soit A un ensemble muni de deux lois de composition internes noteés, ? et>

On dit que (A, ?,>) est un anneau si : 1. (A, ?)est un groupr commutatif.

2. La loi> est associative.

3. La loi> est distributive par rapport à ?dans A.

•Si de plus>est commutative on dit que l'anneau(A, ?,>)est un anneau commutatif

(4)

•Si de plus>posséde un élèment neutre, on dit que(A, ?,>)est un anneau unitaire.

Exemple 0.1.2. .

1. (Z,+,×),(Q,+,×),(R,+,×)et(C,+,×), sont des anneaux commutatifs unitaires

2. (M₂(R),+,×) et (M₃(R),+,×), sont des anneaux commutatifs unitaires.

3. (Z/nZ,+,×), est un anneau commutatif unitaire.

Exercice 1. (exercice d'application).

on rappelle que (Z,+,×) est un anneau commutatif unitaire.

1. On dénit dans Z la loi de composition interne ? par :

∀(x, y)∈Z² :x ? y =x+y−2 :

a) Montrer que la loi ? est commutative et associative.

b) Montrer que la loi? admet un élément neutre qu'on déterminera.

c) Montrer que(Z, ?)est un groupe commutatif.

2. On dénit dans Z la loi de composition interne > par :

∀(x, y)∈Z² :x>y=xy−2x−2y+ 6

et on considère l'application f dénie de Z dans Z par :

∀x∈Z :f(x) =x+ 2.

a) Montrer que f est un isomorphisme de (Z,×)dans (Z,>) . b) Montrer que∀(x, y, z)∈Z³ : (x ? y)>z = (x>z)?(y>z).

3. En déduire de ce qui précède que(Z, ?,>)est un anneau commutatif unitaire

(5)

0.1 LES ANNEAUX

0.1.1 Distributivité d'une loi de composition interne par rapport à une autre

Denition 0.1.1.

∀(x, y, z)∈E³, x>(y ? z) = (x>y)?(x>z) (1) ;

∀(x, y, z)∈E³, (y ? z)>x= (y>x)?(z>x) (2)

Exemple 0.1.1. .

∀(A, B, C)∈P(E), AT (BS

C) = (AT B)S

∀(A, B, C)∈P(E), AS (BT

C) = (AS B)T

(AS B)

0.1.2 Structure d'anneau

Denition 0.1.2.

(6)

Exemple 0.1.2. .

2. (M2(R),+,×) et (M3(R),+,×), sont des anneaux commutatifs unitaires.

Exercice 0.1.1. (exercice d'application).

∀(x, y)∈Z² :x ? y =x+y−2 :

∀(x, y)∈Z² :x>y=xy−2x−2y+ 6

∀x∈Z :f(x) =x+ 2.

0.1.3 Régles de calcul dans un anneau

Théorème 0.1.3. .

Soit(A, ?,>)un anneau et e l' élément neutre dans(A, ?), on note parx⁰ l'élément symétrique de x dans (A, ?). on :

1. ∀a∈A:a>e=e>a=e.

2. ∀(a, b)∈A² :a>b⁰ =a⁰>b= (a>b)⁰. 3. ∀(a, b)∈A² :a⁰>b⁰ =a>b

.

Exemple 0.1.3. .

Dans l'anneau (R,+,×), on a + = ? , ×=> et e = 0. On :

(7)

1. ∀x∈R:x×0 = 0×x= 0.

2. ∀(x, y)∈R² :x×(−y) = (−x)×y=−(x×y). 3. ∀(x, y)∈R² : (−x)×(−y) =x×y

remarque 0.2. .

Soit (A, ?,>)un anneau unitaire.

• L'élément neutre de (A, ?) s'appelle zero de l'anneau (A, ?,>) et on le note par :0_A

• L'élément neutre de (A,>) s'appelle l'unité de l'anneau (A, ?,>) et on le note par :1_A

0.2.1 Les élément inversibles d-un anneau

Dénition 0.2.1. .

Soit (A, ?,>)un anneau unitaire d'unité 1_A.

On dit qu'un élément a∈A est inversible dans l'anneau(A, ?,>)s'il existe b∈A tel que :

a>b= 1_A, ; b>a= 1_A, .

b s'appelle l'inverse de a dans l'anneau (A, ?,>)et on le note par a⁻¹ Exemple 0.2.1. .

1. Dans l'anneau (Z,+,×) les éléments inversibles sont 1et−1. 2. L'ensemble des éléments inversibles de l'anneau (R,+,×) est R^?. 3. Les éléments inversibles de l'anneau Z/8Z,+,×), sont 1,3,5et7 Exercice 0.2.1. (Exercice d'application).

Soit n ∈N^?− {1} eta ∈Z/nZ, avec1≤a≤n−1.

Montrer quea est inversible dans l'anneau(Z/nZ,+,×)si et seulementa∧n = 1 .

Proposition 0.2.1. . Soit M =

a c b d

un élément de M₂(R). Le nomber det(M) = D =

a c b d

=ad−bc, s'appelle le déterminant de la matrice M.

La matrice M est inversible dans l'anneau(M₂(R),+,×)si et seulement sidet(M)6=

0. Dans ce cas l'inverse de M est M⁻¹ = _d

D

−c

−b D D

a D

(8)

Exemple 0.2.2. .

On considère la matrice A=

2 −3 4 −5

. on a det(A) =

2 −3 4 −5

= 2 6= 0,donc la matrice A est inversible et on a A⁻¹ =

₋₅

2 3 2

−2 1

(9)

0.1 LES ANNEAUX

0.1.1 Distributivité d'une loi de composition interne par rapport à une autre

Dénition 0.1.1. .

∀(x, y, z)∈E³, x>(y ? z) = (x>y)?(x>z) (1) ;

∀(x, y, z)∈E³, (y ? z)>x= (y>x)?(z>x) (2)

Exemple 0.1.1. .

∀(A, B, C)∈P(E), AT (BS

C) = (AT B)S

∀(A, B, C)∈P(E), AS (BT

C) = (AS B)T

(AS B)

0.1.2 Structure d'anneau

Dénition 0.1.2. .

(10)

Exemple 0.1.2. .

2. (M₂(R),+,×) et (M₃(R),+,×), sont des anneaux commutatifs unitaires.

Exercice 0.1.1. (exercice d'application).

∀(x, y)∈Z² :x ? y =x+y−2 :

∀(x, y)∈Z² :x>y=xy−2x−2y+ 6

∀x∈Z :f(x) =x+ 2.

0.1.3 Régles de calcul dans un anneau

Théorème 0.1.1. .

Soit(A, ?,>)un anneau et e l' élément neutre dans(A, ?), on note parx⁰ l'élément symétrique de x dans (A, ?). on :

1. ∀a∈A:a>e=e>a=e.

2. ∀(a, b)∈A² :a>b⁰ =a⁰>b= (a>b)⁰. 3. ∀(a, b)∈A² :a⁰>b⁰ =a>b.

Exemple 0.1.3. .

Dans l'anneau (R,+,×), on a + = ? , ×=> et e = 0. On :

(11)

1. ∀x∈R:x×0 = 0×x= 0.

2. ∀(x, y)∈R² :x×(−y) = (−x)×y=−(x×y). 3. ∀(x, y)∈R² : (−x)×(−y) =x×y

remarque 0.1.1. .

Soit (A, ?,>)un anneau unitaire.

• L'élément neutre de (A, ?) s'appelle zero de l'anneau (A, ?,>) et on le note par :0_A

• L'élément neutre de (A,>) s'appelle l'unité de l'anneau (A, ?,>) et on le note par :1_A

0.1.4 Les éléments inversibles d'un anneau

Dénition 0.1.3. .

Soit (A, ?,>)un anneau unitaire d'unité 1_A.

On dit qu'un élément a∈A est inversible dans l'anneau(A, ?,>)s'il existe b∈A tel que :

a>b= 1_A, ; b>a= 1_A, .

b s'appelle l'inverse de a dans l'anneau (A, ?,>)et on le note par a⁻¹ Exemple 0.1.4. .

1. Dans l'anneau (Z,+,×) les éléments inversibles sont 1et−1. 2. L'ensemble des éléments inversibles de l'anneau (R,+,×) est R^?. 3. Les éléments inversibles de l'anneau Z/8Z,+,×), sont 1,3,5et7 Exercice 0.1.2. (Exercice d'application).

Soit n ∈N^?− {1} eta ∈Z/nZ, avec1≤a≤n−1.

Montrer quea est inversible dans l'anneau(Z/nZ,+,×)si et seulementa∧n = 1 .

Proposition 0.1.2. . Soit M =

a c b d

un élément de M₂(R). Le nomber det(M) = D =

a c b d

=ad−bc, s'appelle le déterminant de la matrice M.

La matrice M est inversible dans l'anneau(M₂(R),+,×)si et seulement sidet(M)6=

0. Dans ce cas l'inverse de M est M⁻¹ = _d

D

−c

−b D D

a D

(12)

Exemple 0.1.5. .

On considère la matrice A=

2 −3 4 −5

. on a det(A) =

2 −3 4 −5

= 2 6= 0,donc la matrice A est inversible et on a A⁻¹ =

₋₅

2 3 2

−2 1

Proposition 0.1.3. .

Soit (A, ?,>) un anneau unitaire.

L'ensemble U des élément inversible de l'anneau A est groupe pour la loi >

Exemple 0.1.6. .

1. Les éléments inversibles de l'anneau(Z,+,×) sont −1,1.Donc ({−1,1},×) est un groupe commutatif.

2. Les éléments inversibles de l'anneau(R,+,×) sont les éléments de R^?.Donc (R^?,×) est un groupe commutatif.

3. Les éléments inversibles de l'anneau(Z/8Z,+,×)sont1,3,5et7.Donc({1,3,5,7},×) est un groupe commutatif.

0.1.5 Les diviseurs de zéro dans un anneau

Dénition 0.1.4. . Soit (A, ?,>) un anneau.

On dit que a ∈ A − {0_A} est un diviseur de zéro dan l'anneau (A, ?,>) si et seulement s'il existe b∈A− {0A} tel que a>b =b>a= 0A

Exemple 0.1.7. .

Dans l'anneau (Z/10Z,+,×),on a 26= 0 et 56= 0 mais 2×5 = 0 ,donc 2et5 sont des diviseurs de zéro dans l'anneau (Z/10Z,+,×)

Dénition 0.1.5. .

On dit que l'anneau(A, ?,>)est intègre s'il ne possède pas de diviseure de zéro.

Autrement dit ∀(x, y)∈A² :x>y = 0_A=⇒x= 0_A ou y= 0_A Exemple 0.1.8. .

1. (Z,+,×),(Q,+,×),(R,+,×) et (C,+,×) son des anneaux intègres.

2. (M2,+,×),(M3,+,×) et (Z/6Z,+,×) son des anneaux non intègres.

(13)

Exercice 0.1.3. .

On considère la matrice A =





1 1 −2

−1 −1 2

−2 −2 0



. 1. CalculerA² et A³.

2. En déduire que la marice A n'est pas inversible.

Exercice 0.1.4. .

Soit A une matrice de M₂(R) telle queA²+A=I.

Montrer que A est inversible dans l'anneau M₂(R),puis déterminer A⁻¹.

0.2 LES CORPS

Dénition 0.2.1. .

Soit K un ensemble muni de deux lois de composition internes ?et >. On dit que (K, ?,>) est corps si :

1. (K, ?,>) est un anneau unitaire.

2. Tout élément de K− {e} est inversible pour la loi>,avec e l'élément neutre pour la loi ?

remarque 0.2.1. . Soit (K, ?,>) un corps.

Si >est commutatif, on dit que (K, ?,>)est un corps commutatif.

Exemple 0.2.1. .

1. (Q,+,×) ,(R,+,×), (C,+,×) et (Z/pZ,+,×) (avec p un nombere premier positif) sont des corps commutatifs

2. (Z/16Z,+,×),n'est pas un corps

Proposition 0.2.1. (proprétié caractéristique d'un corps).

Soit K un ensemble muni de deux lois de composition internes ? et >. (K, ?,>) est un corps si et seulement si :

1. (K, ?) est un groupe commutatif d'élément neutre e.

2. (K− {e},>) est un groupe 3. > est distributive par rapport a ?

Exercice 0.2.1. On considère l'ensemble des matrices : K={M(a, b) =

a −b b a

/(a, b)∈R²}

(14)

1. Montrer que (K,+) est un sous groupe de (M₂(R),+).

2. Montrer que K est une partie stable de (M₂(R),×), puis déduire que × est distributive par rapport à + dans K .

3. Montrer que (K,+,×) est un anneau.

4. Montrer que (K− {O},×) est un goupe, puis déduire que (K,+,×) est un corps (avec O =

0 0 0 0

).