Agrégation Interne de Mathématiques 2021 Composition 1

Agrégation Interne de Mathématiques 2021 Composition 1

Éléments de correction proposés par S. Bosquain et G. Dupont Version du 29 août 2021.

***

Notations du corrigé

En plus des notations de l’énoncé, on utilise dans tout ce corrigé les notations suivantes, où E désigne un espace vectoriel de dimension finie surK:

— E^?=L(E,K)le dual algébrique deE.

Pour f ∈E^? etx∈E, on note hf, xi=f(x)le crochet de dualité et, par l’identification canonique entreE etE^??, on a aussihx, fi=f(x).

— SiA⊂E, on noteA⁰={f ∈E^? | ∀x∈A, f(a) = 0}.

Si B⊂E^?, on noteB⁰={x∈E | ∀f ∈B, f(x) = 0}.

— SiB= (e1, . . . , en)est une base deE, on noteB^?= (e^?₁, . . . , e^?_n)sa base duale.

— On noteNil(E)l’ensemble des endomorphismes nilpotents deE.

Pour toutn∈N^∗, on noteNiln(K)l’ensemble des matrices nilpotentes deMn(K).

— Sif ∈ L(E), on noteµf son polynôme minimal et χf son polynôme caractéristique.

Si A∈ M_n(K), on noteµ_A son polynôme minimal etχ_Ason polynôme caractéristique.

— Sif ∈ L(E), on noteSp_K(f)son spectre dansKet pourλ∈Sp_K(f), on poseE_λ(f) = ker(f−λid_E), Si A∈ Mn(K), on noteSp_K(A)son spectre dansKet pourλ∈Sp_K(f), on poseEλ(A) = ker(A−λIn).

— Pour tous(i, j)∈Z²tels que i≤j, on noteJi, jK={k∈Z| i≤k≤j}.

— SiA= (ai,j)_1≤i,j≤n ∈ Mn(K), on note, pour tout(i, j)∈J1, nK

2, [A]i,j=ai,j.

— Sif ∈ L(E)etBest une base deE, on noteMat_B(f)la matrice représentative def dans la baseB.

— SiGest une partie dans uneK-algèbreA, on noteKhGilaK-algèbre engendrée parGdansA.

— Siaet bsont des entiers non nuls, on notea∧bleur PGCD.

— Pour toutn∈N^∗, on noteS_n le groupe symétrique surJ1, nK.

1 Quelques préliminaires

1. Soitpun entier naturel non nul tel queA^p= 0. AlorsX^pannuleAdoncµ_AdiviseX^p et admet ainsi 0 pour unique racine. Il s’ensuit queSp_C(A) ={0} et donc

tr(A) = X

λ∈Sp_C(A)

λ= 0.

2. SoientA= (ai,j)et B= (bi,j).

(a) On a

tr(AB) =

n

X

i=1

[AB]i,i=

n

X

i=1 n

X

k=1

ai,kbk,i =

n

X

k=1 n

X

i=1

bk,iai,k =

n

X

k=1

[BA]k,k= tr(BA).

Ainsi,

tr(AB) = tr(BA).

(b) Soienti, j, k, lquatre entiers tels que 1≤i≤n,1≤j≤n, 1≤k≤n,1≤l≤n. On a : E_i,jE_k,l=δ_j,kE_i,l.

(c) Soit (i, j)∈J1, nK

2tel que i6=j. Alors :

tr(Ei,jEj,jEj,i) = tr(Ei,i) = 1 mais

tr(Ej,iEj,jEi,j) = tr(0n) = 0 donc

tr(E_i,jE_j,jE_j,i)6= tr(Ej,iE_j,jE_i,j).

Remarque: Un résultat un peu plus général, utile pour la question 35.

On peut démontrer un résultat plus précis qui nous sera utile à la question 35, à savoir que si A, B ∈ M_n(K)sont telles queAB6=BA, alors il existe C∈ M_n(K)telle quetr(ABC)6= tr(CBA).

En effet, siAB6=BA, alors il existe(i, j)∈J1, nK

2tel que[AB]i,j6= [BA]i,j. Considérons alorsC=Ej,i. On a alors :

[AB]i,j= tr(ABC) et [BA]i,j= tr(BAC) de sorte que

tr(ABC)6= tr(BAC) = tr(CBA).

3. Les formes linéaires surMn(K).

(a) Pour toute matriceA∈ Mn(K), on considère la forme linéairefA:M 7→tr(AM)surMn(K)et l’application : Φ :

Mn(K) −→ Mn(K)^? A 7→ fA.

Alors, par bilinéarité du produit matriciel et linéarité de la trace on aΦ∈ L(M_n(K),M_n(K)^?).

Montrons queΦest un isomorphisme. SoitA∈ker(Φ). Alors, on afA(M) = 0pour toute matriceM ∈ Mn(K).

En particulier, pour tout(i, j)∈J1, nK

2, on a

0 =f_A(E_i,j) = tr(AE_i,j) =a_j,i

doncA= 0. AinsiΦest injective et, puisquedimMn(K) = dimMn(K)^?,Φest un isomorphisme. En particulier, elle est surjective et donc :

∀f ∈ Mn(K), ∃!A∈ Mn(K)t.q.f =fA.

Remarque: Représentation des formes linéaires et produit scalaire sur Mn(K)

Pour montrer queΦest injective sans recourir aux matrices élémentaires, on peut aussi observer que si fA= 0, alors

0 =fA(A^∗) = X

1≤i,j≤n

|ai,j|² de sorte que tous lesa_i,j sont nuls.

Le lecteur sagace aura reconnu ici le produit scalaire (A, B)7→ hA, Bi= tr(AB^∗)qui n’est autre que le produit scalaire canonique associé à la base formée des Ei,j. Alors l’applicationA 7→ hA,−i induit un isomorphisme de Mn(K) versMn(K)^? qui, à une adjonction près, coïncide avec l’isomorphismeΦ

Cette remarque ne sera pas explicitement utilisée dans la suite mais elle pourra être utile pour l’intuition.

(b) Soit (M1, M2, . . . , M_n2) une base de Mn(K). Posons, pour tout i∈ J1, n²K, fi =fM_i. Alors (f1, . . . , f_n2) est l’image par l’isomorphismeΦde la base(M1, M2, . . . , M_n2), c’est donc une base du dual Mn(K)^?.

Considérons alors la base (anté-)duale(F₁, . . . , F_n)de(f₁, . . . , f_n)dansMn(K)de sorte que, pour tout(i, j)∈ J1, n²K

2, on afi(Fj) =δi,j. Alors, pour toute matriceM ∈ Mn(K), il existe λ1, . . . , λ_n2 scalaires tels que :

M =

n²

X

i=1

λiFi.

Mais pour toutj∈J1, n²K, on a

f_j(M) =

n²

X

i=1

λ_if_j(F_i) =λ_j de sorte que

M =

n²

X

i=1

f_i(M)F_i maisfi(M) = tr(MiM)donc, on a bien :

M =

n²

X

i=1

tr(M_iM)F_i.

(c) Sin= 1, le résultat est trivial. Supposons donc quen≥2et fixons(i, j)∈J1, nK

2 tels quei6=j. On a alors : f(E_i,j) =f(E_i,jE_j,j) =f(E_j,jE_i,j) =f(0) = 0

donc, pour tout (i, j) ∈J1, nK

2, on af(E_i,j) = 0 sii 6=j. Ainsi, si on décompose f dans la base duale de la base canonique deMn(K), on peut écrire :

f =

n

X

i=1

λ_iE_i,i^? ,

avecλ₁, . . . , λ_n∈K.

Mais alors, pour tout(i, j)∈J1, nK

2, on a :

λi=f(Ei,i) =f(Ei,jEj,i) =f(Ej,iEi,j) =f(Ej,j) =λj

donc tous lesλisont égaux à λ=λ1 et ainsi :

f =λ

n

X

i=1

E_i,i^? =λtr.

4. SoitGun sous-groupe deGL_n(K)et G=KhGila sous-algèbre deMn(K)engendrée parG.

(a) G est uneK-algèbre contenantGdonc c’est en particulier un K-espace vectoriel contenant G. Par minimalité deVect(G), on a doncVect(G)⊂ G.

Réciproquement :

— Vect(G)est un sous-espace vectoriel deMn(K)contenantG,

— Gest un sous-groupe deGLn(K)doncIn∈Get doncIn∈Vect(G),

— Soientg =X

i

λ_ig_i et h=X

j

µ_jh_j des éléments de Vect(G), avec les λ_i, µ_j dans Ket lesg_i, h_j dansG.

Alors :

gh=X

i,j

λiµj

| {z }

∈K

gihj

|{z}

∈G

∈Vect(G).

Ainsi,Vect(G)est une sous-algèbre deMn(K)contenantG. Par minimalité, on a doncVect(G)⊂ G et donc : G= Vect(G).

(b) G est un sous-espace vectoriel deM_n(K)doncG est de dimension finie. Par ailleurs, G= Vect(G)doncGest génératrice de G. Il suit alors du théorème de la base extraite que l’on peut extraire de G une base B de G.

Autrement dit :

Il existe une base deGformée d’éléments de G.

5. SoitE unK-espace vectoriel de dimension finie etf etgdeux endomorphismes deE. On suppose qu’ils commutent.

(a) Soit λ∈Sp_K(f)etx∈Eλ(f). Alors :

f(g(x)) =g(f(x)) =g(λx) =λg(x) de sorte queg(x)∈Eλ(f).

On a donc bien :

∀λ∈Sp_K(f), g(E_λ(f))⊂E_λ(f).

(b) Sig est diagonalisable, alors son polynôme minimalµg est scindé à racines simples dansK. SiF est un sous- espace vectoriel de E stable par g, alorsg_|F ∈ L(F)et µ_g(g_|F) = 0 doncµ_g|F diviseµ_g, il est donc lui-même scindé à racines simples. Il s’ensuit que :

g_|F est diagonalisable.

(c) Pour tout λ∈Sp_K(f), l’endomorphismeg_|Eλ(f) étant diagonalisable, il existe une baseBλ deEλ(f)formée de vecteurs propres deg_|Eλ(f)et donc deg. Puisquef est diagonalisable, on a :

E= M

λ∈Sp_K(f)

E_λ(f)

et donc

B= G

λ∈Sp_K(f)

Bλ

est une base deE formée de vecteurs propres def et de g. Ainsi : f etg sont co-diagonalisables.

2 Un théorème de Burnside

6. Soitf ∈ L(E)qui commutent avec tous les éléments deA. PuisqueE est unC-espace vectoriel,f admet une valeur propre λ∈Sp_C(f)et donc, d’après 5.a, pour touta∈ A, on aa(Eλ(f))⊂Eλ(f).

Aétant irréductible, il vient Eλ(f) ={0} ouEλ(f) =E. Mais puisque λ∈Sp_C(f), Eλ(f)6={0} doncEλ(f) =E et doncf =λidE.

7. Pour toutθ∈R, on poseR_θ=

cosθ −sinθ sinθ cosθ

et

G={Rθ|θ∈R} l’ensemble des rotations deR²qui est un sous-groupe abélien de GL2(R).

NotonsA=RhGila sous-algèbre deM2(R)engendrée parG. L’algèbreA est irréductible car aucune droite n’est

Considérons alors θ ∈ R tel que θ 6≡ 0 [π]. Alors R_θ n’est pas une homothétie (géométriquement c’est évident, algébriquement cela résulte par exemple du fait queSp_R(R_θ) =∅) maisR_θ commute avec tous les éléments deGet donc avec tous les éléments deA.

On a donc bien exhibé un endomorphisme deL(R²)qui commute avec tous les éléments d’une sous-algèbre irréduc- tibleAdeL(R²)et qui n’est pas une homothétie.

8. (a) NotonsBⁿ la base deEⁿ donnée dans l’énoncé et soitf ∈ L(Eⁿ). Alors on peut écrire

Mat_Bn(f) =







M_1,1 · · · M_1,n ... ... M_n,1 · · · M_n,n





,

où chaqueM_i,j est elle-même une matrice deMn(C).

Soita∈ AetA= Mat_B(a), alors

MatBⁿ(ρ(a)) =













A 0n · · · 0n

0_n A . .. ... ... . .. . .. 0n

0_n · · · 0_n A













est diagonale par blocs.

Alors en effectuant le produit par blocs, on observe que f ◦ρ(a) = ρ(a)◦f si et seulement si pour tout (i, j)∈ J1, nK

2, on a AM_ij = M_ijA et donc, d’après la question 7, M_ij est une matrice scalaire. Ainsi, pour (i, j)∈J1, nK

2, il existe un scalaireλ_i,j tel que :

MatBⁿ(f) =







λ1,1In · · · λ1,nIn

... . .. ... λ1,nIn · · · λn,nIn







(b) Soitf ∈ L(E)etF = Mat_B(f), alors

Mat_Bn(ρ(f)) =













F 0_n · · · 0_n 0n F . .. ...

... . .. . .. 0_n 0n · · · 0n F













de sorte que, si on considère g ∈ C, alors il suit de la question précédente qu’il existe des scalaires λ_i,j, avec (i, j)∈J1, nK

2 tels que

Mat_Bⁿ(g) =













λ1,1In λ1,2In · · · λ1,nIn

λ_2,1I_n λ_2,2I_n . .. ... ... . .. . .. λ_n−1,nIn

λ_1,nI_n · · · λ_n,n−1I_n λ_n,nI_n













et donc, en effectuant le produit par blocs :

Mat_Bn(g◦ρ(f)) =













λ_1,1F λ_1,2F · · · λ_1,nF λ2,1F λ2,2F . .. ...

... . .. . .. λ_n−1,nF λn,1F · · · λ_n,n−1F λn,nF













= Mat_Bn(ρ(f)◦g).

En conclusion :

∀g∈ C,∀f ∈ L(E), g◦ρ(f) =ρ(f)◦g.

9. SoitW ⊂Eⁿ un sous-espace vectoriel stable par tous lesρ(a)poura∈ A.

(a) Soit i ∈ J1, nK et a ∈ A. Alors par hypothèse ρ(a)(W) ⊂ W et, par définition de ρ(a), ρ(a)(Ei) ⊂Ei donc ρ(a)(Ei∩W)⊂Ei∩W. Mais puisquea7→ρ(a)_|Ei induit un isomorphisme deL(E)versL(Ei)l’irréductibilité deAimplique celle de

ρ(a)_|Ei

a∈A et donc

E_i∩W ={0} ouE_i.

(b) Si W ∩E₁ = {0}, on pose W₂ = W ⊕E₁ et si W ∩E₁ = E₁, on pose W₂ = W. Alors, pour tout a ∈ A, ρ(a)(W₂)⊂W₂et ρ(a)(E₂)⊂E₂ doncW₂∩E₂ estρ(a)-stable. Il suit alors de l’irréductibilité deAque

W₂∩E₂={0} ouE₂.

(c) Supposons (W₁, . . . , W_i)construits, avec 1≤i≤n−1. Comme précédemment, W_i∩E_i est ρ(a)stable, pour touta∈ AdoncW_i∩E_i={0}ouE_i. On pose alors :

Wi+1=

Wi⊕Ei si Wi∩Ei={0}

Wi si Wi∩Ei=Ei.

On construit ainsi une suite (W₁, . . . , W_n)de sous-espaces de Eⁿ qui sont ρ(a)-stables, pour tout a ∈ A. En outre, cette suite est croissante par construction, et chaqueW_i contientE₁⊕ · · · ⊕E_i doncW_n=Eⁿ.

Notons

I=

i∈J1, n−1K

Wi⊂

6= Wi+1

et

G=M

i∈I

Ei

de sorte queGest un sous-espaceρ(a)-stable, pour touta∈ A et Eⁿ =Wn=W1⊕G=W ⊕G.

En conclusion :

W admet un supplémentaireρ(a)-stable, pour touta∈ A.

10. SoitW ⊂Eⁿ un sous-espace vectoriel stable par tous lesρ(a)pour a∈ A. Soit W⁰ un supplémentaire deW dans Eⁿ également stable par tous lesρ(a)pour a∈ A. Notonsp:Eⁿ−→Eⁿ la projection surW parallèlement àW⁰. Soitx∈E. On note

x= x₁

|{z}∈W

+ x₂

|{z}∈W⁰

.

Alors, pour tout a∈ A, on a :

ρ(a)(p(x)) =ρ(a)(x1)∈W et

ρ(a)(x) =ρ(a)(x1)

| {z }

∈W

+ρ(a)(x2)

| {z }

∈W⁰

de sorte que

p(ρ(a)(x)) =ρ(a)(x1) =ρ(a)(p(x)).

Ainsi :

∀a∈ A, ρ(a)◦p=p◦ρ(a).

11. SoitW ={(a(e1), . . . , a(e_n))|a∈ A}et ψ:

A −→ Eⁿ

a 7→ (a(e1), . . . , a(en)) .

Alorsψest linéaire etW = im(ψ)de sorte queW est un sous-espace vectoriel deEⁿ. Soitb∈ Aet w∈W. Alors il existea∈ Atel que w= (a(e1), . . . , a(en))de sorte que

ρ(b)(w) =ρ(b)(a(e1), . . . , a(en))

= (b(a(e1)), . . . , b(a(en)))

= ((b◦a)(e1), . . . ,(b◦a)(en))

=ρ(b◦a)(e₁, . . . , e_n)

maisb◦a∈ AcarAest une sous-algèbre de L(E). Ainsi,ρ(b)(w)∈W et doncW est stable par tous les ρ(b), avec b∈ A.

SoitW⁰ un supplémentaire stable deW dansEⁿ dont l’existence a été établie à la question 9 etpla projection sur W parallèlement àW⁰ dont nous avons établi à la question 10 qu’il s’agit d’un élément deC.

Soitf ∈ L(E). Alors il suit de la question 8.b que :

ρ(f)◦p=p◦ρ(f).

Par ailleurs, on aidE∈ Adonc(e1, . . . , en) =ρ(idE)(e1, . . . , en)∈W et donc p(e1, . . . , en) = (e1, . . . , en).

Alors

(f(e1), . . . , f(en)) =ρ(f)(e1, . . . , en)

=ρ(f)(p(e₁, . . . , e_n))

= (ρ(f)◦p)(e1, . . . , en)

= (p◦ρ(f))(e₁, . . . , e_n)∈im(p) =W.

Ainsi :

∃a∈ Atel que(f(e1), . . . , f(en)) = (a(e1), . . . , a(en)).

Mais alorsf etacoïncident sur la base(e1, . . . , en)deEet doncf =a∈ A. Ainsi,L(E)⊂ Aet, puisqueAest une sous-algèbre deL(E), on a l’inclusion inverse. En conclusion :

A=L(E).

On a donc démontré le théorème de Burnside : Théorème

SoitE unC-espace vectoriel de dimension finie n≥2.

SiAest une sous-algèbre irréductible deL(E), alorsA=L(E).

3 Sur les hypothèses dans le théorème de Burnside

12. On considère

A=











0 a 0

b 0 −a

0 b 0





(a, b)∈C²





 .

(a) Pour tout (a, b)∈C², on pose

M(a, b) =





0 a 0

b 0 −a

0 b 0





de sorte que

M(a, b)²=





ab 0 −a²

0 0 0

b² 0 ab





et

M(a, b)³= 03. Ainsi :

A ⊂Nil3(C).

(b) Posons

A=M(0,1) =





0 0 0 1 0 0 0 1 0



 et B =M(1,0) =





0 1 0

0 0 −1

0 0 0





alors

AB=





0 0 0

0 1 0

0 0 −1



 et BA=





1 0 0

0 −1 0

0 0 0



.

de sorte que

Vect(I, AB, BA)⊂ChAi. ConsidéronsD=





a 0 0 0 b 0 0 0 c



∈ M3(C)une matrice diagonale. Alors

D∈Vect(I, AB, BA) ⇔ ∃(λ, µ, γ)∈C³, λI3+µAB+γBA=D

⇔ ∃(λ, µ, γ)∈C³,







λ+γ =a λ+µ−γ =b λ−µ =c

On observe qu’il s’agit d’un système de Cramer, il admet donc une (unique) solution et ainsi D∈Vect(I, AB, BA)⊂ChAi.

En conclusion :

ChAicontient toutes les matrices diagonales.

(c) NotonsB= (e1, e2, e3)la base canonique deC³.

Un sous-espace vectoriel deC³est stable par tous les éléments deAsi et seulement s’il l’est pas tous les éléments deChAi. En particulier, il suit de la question précédente qu’un tel sous-espace doit être stable par toutes les matrices diagonales.

SoitW un tel sous-espace. SupposonsW 6={0}et soitw= (x, y, z)∈W.

— Six6= 0, alorsE1,1(w) = (x,0,0) =xe1∈W et donce1∈W. Mais alorsAe1=e2∈W etAe2=e3∈W. Ainsi,W contient la base canonique deC³ et doncW =C³.

— Si y 6= 0, alors E2,2(w) = (0, y,0) = ye2 ∈ W et donc e2 ∈ W. Mais alors Ae2 = e3 ∈ W et donc Be2=e1∈W, de sorte queW =C³.

— Enfin,z6= 0, alorsE3,3(w) = (0,0, z) =ze3∈W et donce3∈W. Mais alorsBe3=−e2∈W de sorte que e2∈W et doncBe2=e1∈W, de sorte queW =C³.

Ainsi,Aest une partie irréductible deL(E)qui est strictement incluse dansL(E).

En conclusion, vis-à-vis du théorème de Burnside :

Le théorème de Burnside tombe en défaut siAn’est pas une sous-algèbre.

13. Dans cette question, on noteul’endomorphisme deQ³ canoniquement associé à la matrice





0 0 −1 1 0 −1

0 1 0





et A=Chuila sous-algèbre deL(Q³)engendrée paru.

(a) PosonsP(X) =X³+X+ 1∈Q[X].Pétant un polynôme de degré 3, il est réductible dansQ[X]si et seulement s’il admet une racine dansQ. Soitr= a

b une telle racine, aveca∧b= 1. En multipliantP(r)parb³, on a : a³+b²a+b³= 0

et donc

a³=−b²(a+b).

Si a 6=±1, alorsa admet un diviseur premier p et, puisque a∧b = 1, pne divise pas b donc il ne divise ni b², ni a+b, une contradiction. Ainsi,a=±1. Mais puisque b² divise a, il vient b =±1 et doncr =±1. Or P(−1) =−1et P(1) = 3, une contradiction. Ainsi,P n’admet pas de racines dansQet donc :

P est irréductible dansQ[X].

(b) On a

U²=





0 −1 0 0 −1 −1

1 0 −1



 et U³=





−1 0 1

−1 −1 1

0 −1 −1





de sorte que

U³+U+I3= 0

et doncX³+X+1est un polynôme annulateur deU. Il s’ensuit queµU diviseX³+X+1et, puisqueX³+X+1 est unitaire et irréductible,µu=X³+X+ 1.

On montre alors classiquement à l’aide d’une division euclidienne par µ_u que, pour tout P ∈ Q[X], on a P(u)∈Vect(idE, u, u²)et donc

A=Qhui={P(u)|P ∈Q[X]}= Vect(idE, u, u²).

Ainsi, (idE, u, u²) est génératrice de A et elle est libre sans quoi le polynôme minimal de u serait de degré inférieur ou égal à 2.

En conclusion :

(id_E, u, u²)est une base deA.

(c) Considérons le morphisme d’algèbre :

ev_u :

Q[X] −→ L(Q³) P 7→ P(u) .

Le premier théorème d’isomorphisme implique queev_uinduit un isomorphisme deQ-algèbres : A= im(evu)'Q[X]/(µu) =Q[X]/(X³+X+ 1)

mais le polynôme X³+X + 1étant irréductible d’après la question 13.a, Q[X]/(X³+X+ 1) est un corps et donc

Aest un corps.

(d) Puisqueµ_u est irréductible,un’admet pas de valeur propre et donc ne stabilise aucune droite.

Supposons queW est un plan stable par uet soit W⁰ un supplémentaire deW dans Q³. Alors dans une base B⁰ adaptée à la décomposition Q³=W⊕W⁰, on a :

Mat_B⁰(u) =





? ? ?

? ? ? 0 0 λ



,

avecλ∈Q. Mais alors λ∈Sp_Q(u) =∅, une contradiction.

Ainsi,une stabilise aucun plan ni aucune droite deQ³, les seuls sous-espacesu-stables deQ³sont donc {0}et Q³.

Nous avons donc exhibé une sous-algèbre stricteAdeL(Q³)qui est irréductible.

Vis-à-vis du théorème de Burnside, cela montre donc que :

SiK6=C, le théorème de Burnside tombe en défaut.

4 Trois applications du théorème de Burnside à des sous-groupes de GL

( C )

14. Sous-espace vectoriel engendré par le groupe unitaire.

(a) X étant de norme 1, en appliquant successivement le théorème de la base incomplète et le procédé d’orthonor- malisation de Gram-Schmidt, on peut le compléter en une base orthonorméeBX deCⁿ. De la même manière, on peut compléter Y en une base orthonormée BY de Cⁿ. Soitu l’endomorphisme qui envoie BX surBY. Il s’agit d’une isométrie deCⁿ et donc la matriceU qui le représente dans la base orthonorméeBX est unitaire et vérifieU X =Y.

En conclusion :

∃U ∈Un(C), U X =Y.

Remarque: En termes d’action de groupes

En termes d’action de groupes, on vient de montrer que Un(C)agit transitivement sur la sphère unité deCⁿ.

(b) D’après la question 4.a, on sait que

G=ChUn(C)i= Vect(U_n(C)).

Montrons alors queG est irréductible. SoitW un sous-espace deCⁿ qui estG-stable. SiW 6= 0,W contient un vecteurX16= 0et doncX= X1

kX₁k ∈W est un vecteur de norme 1 dansW. Mais alors puisqueW estG-stable, W est en particulierUn(C)-stable et donc

W ⊃ {U X |U ∈Un(C)} ⊃ {Y ∈Cⁿ | kYk= 1}

la dernière inclusion résultant de la question précédente. Mais, pour toutZ∈Cⁿ\ {0}, on a : Z=kZk · Z

kZk

| {z }

∈W

∈W

et doncW =Cⁿ. Ainsi,G est irréductible.

Il suit alors du théorème de Burnside que :

G=L(Cⁿ).

15. Un sous-groupe nécessairement borné.

SoitGun sous-groupe deGLn(C). On suppose queGest irréductible et que les valeurs propres des éléments deG sont toutes de module égal à 1.

(a) On identifie dans cette questionMn(C)avecL(Cⁿ)en associant à une matrice l’endomorphisme canonique sur Cⁿ. Puisque Gest irréductible,G =ChGil’est aussi et donc, d’après le théorème de Burnside, G =Mn(C).

Mais alors 4.b permet d’affirmer que :

il existe une base deMn(C)formée d’éléments deG.

(b) Soiti∈J1, n²K. Alors, pour toutM ∈G, on a :

|tr(MiM)|=

X

λ∈Sp_C(M_iM)

λ

≤ X

λ∈Sp_C(M_iM)

|λ|

mais chaque Mi est un élément de G et M est un élément de G de sorte que MiM ∈ G puisque G est un sous-groupe de GLn(C). Il s’ensuit que toutes les valeurs propres deMiM sont de module 1. Puisque MiM admetnvaleurs propres (comptées avec multiplicité), on a :

∀M ∈G,∀i∈J1, n²K, |tr(MiM)| ≤n.

Soit alorsk·kune norme surCⁿ. En utilisant 3.b, on a :

∀M ∈ Mn(C), M =

n

X

i=1

tr(MiM)Fi

donc, siM ∈G, on a : kMk=

n

X

i=1

tr(M_iM)F_i

≤

n

X

i=1

|tr(M_iM)| kF_ik ≤ n

n

X

i=1

kF_ik

| {z }

indépendant deM

de sorte queGest borné.

Remarque 4.0.1

On peut légèrement préciser le résultat précédent comme suit. PuisqueCⁿ est de dimension finie, toutes les normes sur Cⁿ sont équivalentes et donc il suffit de montrer queG est bornée pour une norme en particulier. Posons, pour tout i∈J1, n²K, f_i : M 7→tr(M_iM). On a établi à la question 3.b que les f_i forment une base deMn(C)^? de sorte queN :M 7→

q Pn²

i=1|fi(M)|² définit une norme (hermitienne) surMn(C). Mais alors, pour toute matriceM deG, on a :

N(M) = v u u t

n²

X

i=1

|fi(M)|²≤ v u u t

n²

X

i=1

|tr(MiM)|²≤√

n⁴=n².

Ainsi,Gest borné parn²pour la normeN, et donc borné pour n’importe quelle norme.

On observera au passage que ce résultat est cohérent avec le raisonnement précédent puisque si l’on revient à la définition desFi à la question 3.b, on observe que l’on a effectivementN(Fi) = 1, pour tout i∈J1, n²K.

16. Un résultat de co-trigonalisation.

SoitGun sous-groupe de GL(Cⁿ)formé d’éléments tous unipotents. On note G =ChGila sous-algèbre de L(Cⁿ) engendrée par G.

(a) Soit g∈ L(Cⁿ). On a

Sp(g) ={1} ⇔ ∃k∈N^∗, µg(X) = (X−1)^k

⇔ ∃k∈N^∗,

(g−id_Cⁿ)^k = 0 (g−id_Cⁿ)^k−16= 0

⇔ (g−id_Cⁿ)est nilpotent.

Ainsi,

Sp(g) ={1} ⇔ (g−id_Cn)est nilpotent.

On suppose queG est irréductible.

Soitaun élément deG. On écrita= id_Cn+b, avecbnilpotent.

(b) Soitf ∈G. On a :

tr(b◦f) = tr((a−id_Cⁿ)◦f)

= tr(a◦f

| {z }

∈G

)−tr( f

|{z}

∈G

)

=n−n

= 0.

Ainsi :

∀f ∈G, tr(b◦f) = 0.

(c) En identifiant à nouveau matrices deMn(C)et endomorphismes deL(Cⁿ), si on noteBla matrice représentative debdans la base canonique, il suit de la question précédente que :

∀F ∈G, tr(BF) = 0 et, d’après la question 2.a, on a donc

∀F ∈G, tr(F B) = 0.

Puisque G est irréductible, il suit du théorème de Burnside et de 4.b qu’il existe une base (F1, . . . , Fn²) de Mn(C)formée de matrices deG. Alors, pour touti∈J1, n²K, on afi(B) = tr(FiB) = 0. Mais, toujours d’après la construction menée en 4.b, les fi forment une base de Mn(C)^? donc B ∈(Mn(C)^?)⁰ et donc B = 0. En conséquence,b= 0et donca= id_Cn.

Mais alors on a montré queG={id_Cn}, ce qui contredit l’irréductibilité deGpuisque tous les sous-espaces de Cⁿ sont alorsG-stables. En conclusion :

Gest réductible.

(d) On procède par récurrence sur la dimensionn∈N^∗.

Initialisation :Si n= 1, tous les endomorphismes de Csont trigonalisables donc le résultat est trivialement vrai.

Hérédité :Soitn≥2 tel que le théorème de Kolchin est vrai surC^k, pour toutk < n.

Puisque G n’est pas irréductible, il existe W ⊂Cⁿ un sous-espace non trivial et G-stable de Cⁿ. SoitW⁰ un supplémentaire deW dansCⁿ. Alors dans une baseB0adaptée à la décompositionCⁿ=W⊕W⁰, tout élément g deGs’écrit :

Ag Bg

0 Cg

et (X−1)ⁿ =χg(X) =χA_g(X)χC_g(X)de sorte queχA_g(X) = (X −1)^k et χC_g(X) = (X−1)^n−k, pour un certain entierk∈J1, n−1K. En particulierSp_C(Ag) = Sp_C(Cg) ={1}.

En appliquant le théorème de Kolchin à l’algèbre formée par lesAg, avecg∈Get celle formée par lesCg, avec g∈G, il existe une baseBdeW qui trigonalise simultanément tous lesA_g et une baseB⁰ deW⁰ qui trigonalise simultanément tous lesC_g. Alors dans la baseB1=B t B⁰, les éléments deg s’écrivent sous forme triangulaire et donc la propriété est vérifiée au rangn.

Théorème

SoitGun sous-groupe deGL(Cⁿ)formé d’élément unipotents, alorsGest co-trigonalisable.

5 Autour des matrices magiques et des matrices de permutation

Commençons par observer que siM = (mi,j)∈ M, alors la sommel le long des lignes est égale à la sommec le long des colonnes car

X

1≤i,j≤n

mi,j=

n

X

i=1 n

X

j=1

mi,j=

n

X

i=1

l=nl et

X

1≤i,j≤n

mi,j=

n

X

j=1 n

X

i=1

mi,j=

n

X

j=1

c=nc

de sorte quel=c. On note alorss(M)cette valeur commune, ce qui définit une application s:

M −→ C M 7→ s(M) qui sera utile dans la suite de nos raisonnements.

On note enfin, pour tout α∈C:

Mα=s⁻¹(α) ={M ∈ M |s(M) =α}, notation qui généralise la notationM0 de l’énoncé.

17. SoitM = (m_i,j)∈ M_n(C). Alors

n

X

i=1

fi(M) =

n

X

i=1 n

X

j=1

mi,j= X

1≤i,j≤n

mi,j

et n

X

j=1

gj(M) =

n

X

j=1 n

X

i=1

mi,j = X

1≤i,j≤n

mi,j

de sorte que

n

X

i=1

fi=

n

X

j=1

gj,

la famille(f1, . . . , fn, g1, . . . , gn)est donc liée.

Montrons que(f₁, . . . , f_n, g₁, . . . , g_n−1)est libre. Fixons pour celaλ₁, . . . , λ_n, µ₁, . . . , µ_n−1des scalaires tels que

n

X

i=1

λifi+

n−1

X

j=1

µjgj= 0.

Alors, pour tout i∈J1, nK, en appliquant cette identité àE_i,n, il vientλ_i= 0. Ainsi,

n−1

X

j=1

µjgj= 0

mais en appliquant successivement cette identité àE1,1, . . . , E_1,n−1, il vientµ1=· · ·=µ_n−1= 0et donc : (f₁, . . . , f_n, g₁, . . . , g_n−1)est libre.

18. On a :

M0=

n

\

i=1

ker(f_i)∩ker(g_i)

= Vect(f₁, . . . , f_n, g₁, . . . , g_n)⁰

et donc

dimM0= dimMn(C)−rg(f1, . . . , fn, g1, . . . , gn).

Or, il suit de la question précédente que

rg(f₁, . . . , f_n, g₁, . . . , g_n) = dim Vect(f₁, . . . , f_n, g₁, . . . , g_n)

= dim Vect(f1, . . . , fn, g1, . . . , g_n−1)

= 2n−1.

donc

dimM0=n²−(2n−1) = (n−1)².

19. L’applications:M 7→s(M)définie en début de section est une forme linéaire non nulle surMet on aM0= ker(s) de sorte que M0 est un hyperplan deM. Ainsi,dimM0= dimM −1et donc

dimM= (n−1)²+ 1.

Remarque: Un supplémentaire naturel deM0 dans M.

PosonsV = 1 n







1 · · · 1 ... ... 1 · · · 1





∈ M1⊂ M. Alors on aM0∩Vect(V) ={0} et

∀M ∈ M, M =M−s(M)V

| {z }

∈M₀

+s(M)V

| {z }

∈Vect(V)

de sorte que

M=M0⊕Vect(V).

On retrouve bien dimM = dimM₀+ 1. En outre, si (M₁, . . . , M_(n−1)2, V) est une base adaptée à cette décomposition, on observe ques=V^∗ (l’étoile désignant ici la dualité et non l’adjonction).

20. Fixonsσune permutation deJ1, nK. Alors pour toutj∈J1, nK, il existe un uniquei∈J1, nKtel queσ(j) =iet donc la somme sur les coefficients de la j-ème colonne deP_σ est égale à 1. De la même manière, pour touti∈J1, nK, il existe un uniquej∈J1, nKtel que σ⁻¹(i) =j et donc la somme sur les coefficients de lai-ème ligne deP_σ est égale à 1. On a donc :

P_σ∈ M₁⊂ M.

21. Notons, pour toutα∈C,

Mα,L={M ∈ Mn(C)| ∀i∈J1, nK, fi(M) =α}

l’ensemble des matrices dont la somme sur chaque ligne est égale àαet ML= G

Mα,L

l’ensemble des matrices dont la somme sur chaque ligne est constante. De même, on considère M_α,C={M ∈ M_n(C)| ∀j∈J1, nK, g_j(M) =α}

celui des matrices dont la somme sur chaque colonne est égale à αet MC= G

α∈C

Mα,C

l’ensemble des matrices dont la somme sur chaque colonne est constante.

Avec ces notations, on a :

M=ML∩ MC. Soitm∈ L(Cⁿ)et M = Mat_C(m). Alors

Mat_C(m(e1+· · ·+en)) =M





 1 ... 1





 =





 f1(M)

... fn(M)







et

m(D)⊂D ⇔ m(e₁+· · ·+e_n)∈Vect(e₁+· · ·+e_n)

⇔





 f₁(M)

... fn(M)





∈Vect











 1 ... 1













⇔ ∃α∈C,







f1(M) ... fn(M)





=α





 1

... 1







⇔ ∃α∈C, M ∈ Mα,L

⇔ M ∈ M_L. On a donc établi :

m(D)⊂D ⇔ M ∈ ML.

L’idée consiste maintenant à transposer pour obtenir l’équivalence entrem(H)⊂H et M ∈ M_C. Plus précisément, on a :

m(H)⊂H ⇔ ∀x∈H,hm(x), e^∗₁+· · ·+e^∗_ni= 0

⇔ ∀x∈H,

x, m^T(e^∗₁+· · ·+e^∗_n)

= 0

⇔ m^T(e^∗₁+· · ·+e^∗_n)∈H⁰ maisH⁰= Vect(e^∗₁+· · ·+e^∗_n)par définition deH. Ainsi,

m(H)⊂H ⇔ m^T(e^∗₁+· · ·+e^∗_n)∈Vect(e^∗₁+· · ·+e^∗_n)

⇔ M^T





 1

... 1





∈Vect











 1 ... 1













⇔







f1(M^T) ... fn(M^T)





∈Vect











 1

... 1













⇔





 g₁(M)

... g_n(M)





∈Vect











 1

... 1













⇔ ∃α∈C,





 g1(M)

... gn(M)





=α





 1

... 1







⇔ ∃α∈C, M ∈ Mα,C

⇔ M ∈ MC. On a donc établi :

m(H)⊂H ⇔ M ∈ MC.

En combinant ces deux résultats, puisqueM=ML∩ MC, il vient :

M ∈ M ⇔

m(D)⊂D m(H)⊂H.

22. On vérifie immédiatement queDet H sont stables parpσ, pour n’importe quelle permutationσ∈Sn. SoitD⁰ 6=Dune droite stable par tous lespσetv⁰ =Pn

i=1viei un vecteur non nul deD⁰. PuisqueD⁰ 6=D, il existe (i, j) ∈ J1, nK

2 tels que vi 6= vj, on considère la transposition τ = (i, j). Alors pτ(v) ∈ D⁰ donc v est un vecteur propre de pτ associé à une valeur propreλ∈C. Mais p²_τ = iddoncλ=±1et puisquepτ(v)6=v, on apτ(v) =−v.

En particulier, pour toutk ∈J1, nK\ {i, j}, vk =−vk et doncvk = 0. Il s’ensuit que v =vi(ei−ej)de sorte que D⁰= Vect(ei−ej).

Sin= 2, on observe que effectivement queD⁰= Vect(e1−e2)estpσ-stable pour toute permutationσ. Il suffit alors d’observer queD⁰ =H dans ce cas.

Si n≥3, il existe k∈J1, nK\ {i, j}. Mais alors v_k 6=v_i ouv_k 6=v_j de sorte que l’argument précédent montre que D⁰ = Vect(e_i−e_k)ou D⁰ = Vect(e_k−e_j), une contradiction dans les deux cas puisque D⁰ = Vect(e_i−e_j). Ainsi, tous lesv_isont égaux et doncv∈Vect(e₁+· · ·+e_n) =Dde sorte que D est la seule droite stable par tous lesp_σ. De la même manière, puisque P_σ^T =P_σ⁻¹, on ap^T_σ =p_σ⁻¹ et donc siH⁰ est un hyperplan stable par tous les pσ, on écritH⁰= ker(ϕ)et doncD^∗= Vect(ϕ)est stable par tous lesp^T_σ, et donc stable par tous lespσ. On peut alors reprendre l’argument précédent et il vient :

(a) Sin= 2, on trouveD^∗= Vect(e^∗₁+e^∗₂)ouD^∗= Vect(e^∗₁−e^∗₂)de sorte que H⁰ =H ouD.

(b) Sin≥3, on trouveD^∗= Vect(e^∗₁+· · ·+e^∗₂)de sorte queH⁰=H.

Ainsi,D est la seule droite stable par tous lespσ etH est le seul hyperplan stable par tous lespσ.

Soit W un espace p_σ-stable pour toute permutation σ tel que W 6⊂D. Soitτ = (i, j) une transposition. Puisque p_τ stabilise W,p_τ|W admet une valeur propre λ∈C. Maisp²_τ = 1 doncSp_C(p_τ)⊂ {±1}. Si Sp_C(p_τ|W) = 1, alors p_τ|W = idW et donc pour toutv=

n

X

i=1

viei∈W, on avi=vj. Mais puisqueW 6⊂D, il existe un couple(i, j)∈J1, nK

2

et un vecteur v =

n

X

i=1

v_ie_i ∈ W tels que v_i 6= v_j et donc −1 ∈ Sp_C(p_τ|W). Soit alors v =

n

X

i=1

v_ie_i ∈ E₋₁(p_τ|W).

Puisquepτ agit surW en inversant les composantesi etj, on a : pτ(v) =−v ⇔

vi =−vj

∀k∈J1, nK\ {i, j}, vk = 0 ⇔ v∈Vect(ei−ej).

Ainsi,ei−ej ∈W.

Pour toutk∈J1, nK\ {i, j}, on considèreτk = (j, k). Alors ei−ek=pτ_k(ei−ej)∈W et doncW contient la famille {ei−e_k}_k∈

J1,nK\{i} qui est une famille libre composée den−1vecteurs. Ainsi, W contient un hyperplan. SiW est un hyperplan, la discussion précédente implique queW =H. Sinon,W =Cⁿ.

En conclusion :

Les sous-espaces deCⁿ qui sont stables par tous les pσ sont{0},D, H et Cⁿ.

23. On a la décomposition en sous-espaces stables par tous lesp_σ : Cⁿ=D⊕H donc on peut considérer

G= p_σ|H

σ∈Sn , sous-groupe deGL(H).

D’après la question précédentes, les espaces stables par G dans H sont {0} et H de sorte que A = ChGi est irréductible et donc,A=L(H)d’après le théorème de Burnside.

Alors, il suit de 4.b qu’il existe une base de Aformée d’éléments de Gautrement dit des permutationsσ1, . . . , σN

deJ1, nK, avecN ∈N^∗ telles que

p_σ1|H, . . . , p_σN|H soit une base deA=L(H). Ainsi :

∀f ∈ L(H),∃(λ₁, . . . , λ_N)∈C^N, f =

N

X

i=1

λ_ip_σi|H.

24. Avec la remarque faite à la question 19, en observant queU =







1 · · · 1 ... ... 1 · · · 1





=nV, on a la décomposition M=M0⊕Vect(U)

de sorte que, pour toute matriceM ∈ M, il existe un unique couple(M0, α)∈ M0×Ctel que M =M₀+αu.

On observe alors que, pour toutX∈H, on a M0X∈H. En effet :

n

X

i=1

[M0X]i=

n

X

i=1 n

X

k=1

[M0]ik[X]k =

n

X

k=1

[X]k n

X

i=1

[M0]ik

| {z }

=0

= 0

Par ailleurs,M0





 1

... 1





=





 f1(M)

... f_n(M)





=





 0

... 0





doncm_0|D= 0. Enfin, pourX =





 x1

... x_n





∈H, on a

U X =















n

X

i=1

xi

· · ·

n

X

i=1

xi















= 0

doncu_|H= 0.

Il s’ensuit que, pour toutx∈Cⁿ=H⊕D, si on posex=xH+xD, on a m(x) =m0(xH) +m0(xD)

| {z }

=0

+αu(xH)

| {z }

=0

+αu(xD)

et donc, on peut écrire

m=m_0|H⊕αu_|D. Puisquem_0|H ∈ L(H), il existe (λ₁, . . . , λ_N)∈C^N tel que m_0|H =

N

X

i=1

λ_ip_σi|H. Alors, pour tout x=xH+xD∈Cⁿ, on a

m(x) =m_0|H(xH) +αu_|D(xD)

=

N

X

i=1

λip_σi|H(xH) +αu_|D(xD)

Il reste à observer que commeH et Dsont stables par chaquepσ_i, on a

pσ_i(x) =pσ_i(xH+xD) =p_σi|H(xH) +p_σi|D(xD) maisp_σi|D= idD etu_|D=nidDdoncp_σi|D= 1

nu_|D. Ainsi,

m(x) =

N

X

i=1

λ_ip_σi|H(x_H) +αu_|D(x_D)

=

" _N X

i=1

λipσ_i(x)−λipσ_i|D(xD)

#

+αu_|D(xD)

=

N

X

i=1

λipσ_i(x) + α− 1 n

N

X

i=1

λi

!

u_|D(xD)

=

N

X

i=1

λ_ip_σi(x) + α− 1 n

N

X

i=1

λ_i

! u(x).

Enfin, puisque

N

X

i=1

λiPσ_i ∈ M0 et que chaque Pσ_i est une matrice de permutation (dont la somme sur chaque ligne/colonne vaut 1), on a

N

X

i=1

λi= 0. Ainsi, on a bien :

m=

N

X

i=1

λ_ip_σi+αu.

25. PosonsM = (m_i,j) = X

σ∈Sn

P_σ. Alors, pour tout(i, j)∈J1, nK

2, on a

mi,j= X

σ∈Sn

[Pσ]i,j

mais

[P_σ]_i,j=

1 si σ(j) =i 0 sinon donc

mi,j= card ({σ∈Sn |σ(j) =i}).

Déterminons ce cardinal. Si i =j, alors{σ∈Sn |σ(i) =i} est en bijection avec l’ensemble des permutations de J1, nK\ {i}et donc

mi,i= card ({σ∈Sn |σ(i) =i}) = (n−1)!.

Sii6=j, alors{σ∈S_n |σ(j) =i}s’identifie à l’ensemble des bijections deJ1, nK\ {j}versJ1, nK\ {i}qui sont deux ensembles de cardinaln−1, il s’ensuit que

m_i,j= card ({σ∈S_n |σ(i) =i}) = (n−1)!.

En conclusion :

X

σ∈S

Pσ= (n−1)!U.

X

σ∈S_n

pσ = (n−1)!u.

En particulier, si on noteS_n= Vect({p_σ |σ∈S_n}), il s’ensuit que u= 1

(n−1)!

X

σ∈Sn

pσ∈ Sn.

Mais alors sim∈ L(Cⁿ)est l’endomorphisme canoniquement associé à une matriceM ∈ M, il suit de la question 24 que

m=

N

X

i=1

λ_ip_σi

| {z }

∈S_n

+ αu

|{z}

∈Sn

∈ S_n.

En particulier,

M ⊂Vect({Pσ |σ∈Sn}).

L’inclusion inverse ayant été établie à la question 20, on obtient : M= Vect({Pσ |σ∈S_n}).

Remarque: Une description complète des matrices magiques

Il est peut-être bon de prendre un peu de hauteur sur ce que nous venons d’établir car c’est un résultat non trivial et élégant :les matrices magiques de Mn(C) sont exactement les combinaisons linéaires de matrices de permutation. Les matrices de permutation étant à coefficients entiers, ceci permet d’obtenir des matrices magiques à valeur dans n’importe quel sous-corps deC, voire n’importe quel sous-anneau. Et par passage au quotient, on peut aussi réaliser des matrices magiques dans Z/mZ, pour n’importe quel entier naturel non nulm.

6 Passage au quotient et co-trigonalisation

26. SoitF une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel E, vérifiant une propriétéP transmise par passage au quotient. Soit F un sous-espace deE stable par tous les éléments deF. Considérons G={0} qui est aussi stable par tous les éléments deF. Par hypothèse, la famille desf¯∈ L(F/G)vérifie encore la propriétéP. Mais puisque la projection canoniqueF −→F/G est un isomorphisme, elle induit un isomorphisme entre L(F) et L(F/G). Alors, pour toutf ∈ F,f_|F ∈ L(F)' L(F/G)donc la famille formée des restrictions def ∈ F à F s’identifie à la famille obtenue à partir deF par passage au quotient. Elle vérifie donc la propriétéP.

27. On noteπ:E−→E/F la projection canonique qui àxassociex. Alors on a la composition E −→^f im(f) −→^π im( ¯f)

x 7→ f(x) 7→ f(x) = ¯f(¯x) qui est linéaire (par composition) et clairement surjective.

Ainsi,

dim im( ¯f) = rg( ¯f)≤rg(π◦f)≤min(rg(π),rg(f))≤rg(f).

On a donc bien :

rg( ¯f)≤rg(f).