AGRÉGATION INTERNE DE MATHÉMATIQUES Session 2012, épreuve 1

DE MATHÉMATIQUES

Session 2012, épreuve 1

– Introduction et notations –

On désigne parE un espace vectoriel euclidien de dimension n>1.

Six ety sont deux vecteurs deE, on notex.y leur produit scalaire etkxk=√

x.x la norme associée.

Un réseauΛ deE est une partie de E vérifiant la propriété suivante :

il existe une base B = (e1, . . . , en) de E telle que Λ soit l’ensemble des combinaisons linéaires à coefficients entiersdes éléments deB :

Λ = (

x∈E /∃(x₁, . . . , xn)∈Zⁿ, x=

n

X

i=1

xiei

)

On dit alors queΛ est le réseau défini par la baseB, et que B est uneZ-base de Λ.

Soitu: E→F une application linéaire,F étant un espace euclidien dont on note< x, y >le produit scalaire.

On dit que u est une isométrie si, pour tous x, y ∈ E, on a x.y =< u(x), u(y) >, et que u est une similitudes’il existe une isométriev : E →F et un nombre réelλ >0tel que u=λv.

Si Λ est un réseau de E et Λ⁰ un réseau de F, on dit que Λ et Λ⁰ sont semblables s’il existe une similitudeu: E →F telle queu(Λ) = Λ⁰.

On désigne parGLn(Z) l’ensemble des matrices M d’ordren à coefficients dansZ, inversibles dans M_n(R) et dont l’inverseM⁻¹ est également à coefficients dans Z.

On rappelle enfin la formule suivante : siΩ,B,B⁰ sont trois bases de E, on a detΩ B⁰ = det

Ω B.det

B B⁰.

– Partie A –

On considère dans cette partie un réseauΛ de E, et(e1, . . . , en) une Z-base de Λ.

1. (a) Soit M ∈GL_n(Z); montrer quedetM =±1.

(b) SoitM une matrice à coefficients dansZtelle quedetM =±1. Montrer queM appartient à GLn(Z) (on pourra considérer la transposée de la comatrice de M).

(c) Montrer que GL_n(Z) est un sous-groupe du groupe multiplicatif (GL_n(R),×).

2. Vérifier que Λ est un sous-groupe de (E,+).

3. Montrer que deux basesBetB⁰ deE définissent le même réseauΛsi et seulement si la matrice de passage P de B àB⁰ appartient àGL_n(Z).

4. On suppose dans cette question que n= 2et on noteZ² le réseau dont une Z-base est la base canonique (ε1, ε2)de R². Soitx=aε1+bε2 un vecteur de Z² avec aetbdeux entiers premiers entre eux.

(a) Montrer qu’il existe un vecteur y deZ² tel que (x, y)est une Z-base du réseauZ². (b) Construire une telle base lorsque x= 101ε1+ 49ε2.

(c) Dans le cas général où x = aε₁+bε₂ avec a et b deux entiers premiers entre eux, écrire un algorithme permettant de trouver les coordonnées d’un vecteur y tel que(x, y)est une Z-base deZ².

(d) Soit Λ =

x₁ε₁+x₂ε₂ ; (x₁, x₂)∈Z² ; x₂ ≡x₁ mod3 . Montrer que Λ est un réseau de R² (on en exhibera uneZ-base).

5. SoitB une Z-base deΛ etΩune base orthonormale deE. Montrer que |det_ΩB|ne dépend ni de la Z-base B de Λni de la base orthonormale Ωde E.

Ce nombre ne dépendant donc que du réseauΛ, on le note : det Λ.

6. (a) Montrer qu’il existe un nombre réelA >0 tel que, pour toutx=

n

X

i=1

xiei de E, on a

A max

16i6n|x_i|6||x||.

(b) En déduire que toute boule

x, ||x|| 6 R centrée en l’origine et de rayon R > 0 ne contient qu’un nombre fini de vecteurs deΛ.

(c) En déduire quem(Λ) = inf

x∈Λ,x6=0kxkest un réel strictement positif et qu’il existe un vecteur x0 ∈Λ tel que m(Λ) =kx₀k.

(d) On désigne par S(Λ) l’ensemble

x ∈Λ / kxk=m(Λ) . Montrer que S(Λ) est fini, puis queCardS(Λ) est un entier pair et non nul.

7. On suppose queu1, . . . , u_ksontkvecteurs deΛtels que, pour toutx∈Λ, il existe(x1, . . . , x_k)∈ Z^k unique tels que x=

k

X

i=1

xiui.Montrer que k =n et que (u1, . . . , u_k) est une base deE (on pourra considérer leQ-espace vectoriel engendré par (e1, . . . , en)).

8. SoitD₁ =Re₁ la droite engendrée pare₁. Montrer que D1∩Λ =Ze1.

On suppose que n>2. Soit F un supplémentaire de D₁ dansE, etp la projection deE sur F parallèlement àD1. Montrer queΛ⁰ =p(Λ) est un réseau deF, deZ-base (p(e2), . . . , p(en)).

Soit réciproquement (u⁰₂, . . . , u⁰_n) une Z-base de Λ⁰, et (u₂, . . . , u_n) des éléments de Λ tels que p(u₂) =u⁰₂, . . . , p(u_n) =u⁰_n. Montrer que (e₁, u₂, . . . , u_n) est uneZ-base de Λ.

9. On noteϕ₁ : E →R la forme linéaire qui à tout vecteurx₁e₁+· · ·+x_ne_n de E associex₁ et on poseF₁= kerϕ₁.

SoitG un sous-groupe deΛ distinct de{0}.

(a) Montrer qu’il existe a1 ∈Ztel que ϕ1(G) =a1Z.

(b) En déduire que, si n= 1,G est un réseau deE.

(c) On suppose n > 2, et on note Λ1 le réseau de F1 de Z-base (e2, . . . , en). On considère H=G∩F₁. Montrer que H est un sous-groupe de Λ₁.

(d) On supposea16= 0; soitb∈Gtel queϕ1(b) =a1. Montrer que, pour toutxdeG, il existe un unique couple(m, v)∈Z×H tel quex=mb+v.

(e) En déduire qu’il existe un sous-espace vectorielF de E tel queG est un réseau deF (on pourra raisonner par récurrence surn, en distinguant les casG⊂F1 etG6⊂F1).

10. Soitb=r1e1+· · ·+rnen un élément deS(Λ).

(a) Soitk un entier>2. Montrer que ¹_kb n’est pas un élément deΛ.

(b) En déduire qu’il existe s1, . . . , sn∈Ztels quer1s1+· · ·+rnsn= 1.

(c) Soitf : E →Rla forme linéaire surEdéfinie parf(x₁e₁+· · ·+x_ne_n) =s₁x₁+· · ·+s_nx_n. Montrer quef(Λ) =Z, queH = Λ∩kerf est un sous-groupe de Λet que tout élément de Λ s’écrit de façon unique sous la formeab+u, avec u∈H eta∈Z.

(d) Montrer qu’il existe uneZ-base deΛ contenant le vecteurb.

(e) On suppose n>2. SoitF l’orthogonal de la droiteRb engendrée parb, et p la projection orthogonale de E surF. Montrer que p(Λ)est un réseau de F.

– Partie B : Réseaux et matrices de Gram –

Soit E = (e1, . . . , en) un système de n vecteurs de E. On appelle matrice de Gram associée à E la matrice définie par les produits scalaires : G = (e_i.e_j)_i,j ∈ M_n(R). Soit une base orthonormale Ω = (ω₁, . . . , ω_n) de E et M = (m_ij) la matrice de E sur Ω (les colonnes de M contiennent les composantes des vecteursej dans la baseΩ).

1. Montrer que G=^tM M. En déduire queE est une base deE si et seulement si detG6= 0.

2. Soit un réseau Λ de E, muni d’uneZ-baseE de matrice de GramG. Montrer que detG= (det Λ)².

3. Soit B= (b₁, . . . , b_n)une famille de nvecteurs d’un réseauΛ.

Montrer que B est uneZ-base deΛ si et seulement si|det_ΩB|= det Λ.

4. Soient Λ un réseau deE,F un espace euclidien, etΛ⁰ un réseau deF.

(a) Montrer qu’il existe une isométrieu: E→F telle queΛ⁰=u(Λ)si et seulement s’il existe une Z-baseB de Λ et une Z-base B⁰ de Λ⁰ telles que les deux matrices de GramG etG⁰ associées à ces deux bases soient égales.

(b) Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes : i. Λ etΛ⁰ sont semblables.

ii. il existe une Z-base B deΛ, uneZ-baseB⁰ de Λ⁰ et un réelµstrictement positif tels que siGetG⁰ sont les deux matrices de Gram associées àBetB⁰alors on aG⁰=µG.

(c) Pour tout réseau Λ on pose :

Γn(Λ) =m(Λ)²(det Λ)⁻²ⁿ .

Démontrer que siΛetΛ⁰sont semblables, alorsΓ_n(Λ) = Γ_n(Λ⁰)etCardS(Λ) = CardS(Λ⁰).

– Partie C : Quelques exemples de réseaux –

On note, dans cette partie,En= (ε1, . . . , εn) la base canonique deRⁿ, que l’on munit de sa structure euclidienne usuelle.

1. Le réseau Zⁿ. On désigne parZⁿ le réseau dont une Z-base estEn. Calculer detZⁿ,m(Zⁿ),S(Zⁿ) etCardS(Zⁿ).

2. Le réseau D_n. On suppose que n>2, et on désigne par D_n la partie de Zⁿdéfinie par : Dn={x= (x1, . . . , xn)∈Zⁿ / x1+· · ·+xn≡0 mod 2}

(a) Montrer que D_nest un sous-groupe de (Zⁿ,+).

(b) On pose e1 =ε1+ε2 etej =εj−εj−1 pourj ∈ {2, . . . , n}. Montrer queDn est un réseau de Rⁿ admettantB = (e_i)_16i6n commeZ-base.

(c) Calculer m(Dn),S(Dn) etCardS(Dn).

(d) CalculerdetDn.

(e) Calculer la matrice de Gram associée à B.

(f ) Montrer que D₂ est semblable àZ². Donner une similitudef telle que f(Z²) =D₂. (g) Montrer que, pourn>3,Dn n’est pas semblable àZⁿ.

3. Le réseau A2.

SoitH le plan deR³ d’équationx1+x2+x3= 0. On définit :A2=H∩Z³.

(a) Montrer que B= (ε2−ε1, ε2−ε3) est uneZ-base deA2, qui est donc un réseau deH.

(b) Calculer la matrice de Gram associée à B. (c) Calculerm(A2),S(A2) etCardS(A2).

(d) i. Montrer que A₂ n’est pas semblable àD₂.

ii. Montrer queA2 est semblable au réseau deR² défini parΛ =Zu1+Zu2oùu1 = (1,0) etu₂ = (¹₂,

√ 3

2 ) (on pourra utiliser la question 4b de la partie précédente).

iii. Justifier par un dessin l’appellation « réseau hexagonal » parfois donnée à Λ.

– Partie D –

1. On suppose dans cette question que n >2. SoitΛ un réseau de E et b₁ un élément de S(Λ).

D’après la dernière question de la partie A, il existe une Z-base (b1, u2, . . . , un) deΛ contenant b₁, et, si p est la projection orthogonale deE sur(Rb₁)^⊥,Λ⁰ =p(Λ) est un réseau de(Rb₁)^⊥, dont(p(u₂), . . . , p(u_n))est uneZ-base d’après la questionA-8.

(a) Montrer que det Λ =kb₁kdet Λ⁰.

(b) Soit un vecteur x⁰ ∈Λ⁰, et x0 ∈Λ tel que p(x0) =x⁰. On écrit x0 =αb1+x⁰, α étant un nombre réel.

Montrer qu’il existe un entier m tel que(m−α)² 6 ¹₄.

On pose x=x₀−mb₁; montrer que x∈Λ, que p(x) =x⁰, puis, en utilisant la propriété queb₁ est de norme minimum, quekxk² 6 ⁴₃kx⁰k².

2. SoitΛ un réseau deE.

(a) Montrer qu’il existe uneZ-base(u₁, . . . , u_n)de Λ telle que

n

Y

i=1

ku_ik² 6 4

3

ⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾₂

(det Λ)² (1)

(on pourra raisonner par récurrence surn).

(b) En déduire l’inégalité :

m(Λ)²6 4

3 ⁿ⁻¹

2

(det Λ)ⁿ². (2)

Par l’inégalité(2)on a :Γ_n(Λ)6(⁴₃)ⁿ⁻¹² . La borne supérieure des nombresΓ_n(Λ),Λparcourant l’ensemble des réseaux deE, est donc définie ; on la noteγn. D’après ce qui précède,γn6(⁴₃)ⁿ⁻¹² . 3. (a) Montrer que γ₂ = ^√2

3 (on pourra considérer le réseau A₂).

(b) Réciproquement, soit un réseau Λ d’un espace vectoriel euclidien E de dimension 2, tel que Γ₂(Λ) = ^√2

3. On se propose de montrer que Λ est semblable au réseauA₂.

i. Justifier le fait qu’on peut se ramener au cas où m(Λ) = 1, ce que l’on suppose désormais.

ii. Soit (u1, u2) une Z-base de Λ vérifiant l’inégalité (1). Montrer que ||u₁||=||u₂|| = 1 et que le déterminant de (u₁, u₂)dans une base orthornormale de E est égal à ±

√ 3 2 . iii. Conclure.

– Partie E –

Dans ce qui suit,E désigne un plan euclidien et (e₁, e₂) une base orthonormale deE.

Soit p un nombre premier, K le corps Z/pZ etm un diviseur de p−1; on note f_m : K^∗ → K^∗ le morphisme de groupes multiplicatifs défini parfm(x) =x^m.

1. (a) Montrer que, pour tout élément y∈fm(K^∗),y^(p−1)/m−1 = 0.

(b) En déduire que Cardfm(K^∗)6 ^p−1_m , puis que Card kerfm>m.

(c) En déduire que le polynômeX^m−1 est scindé dansK[X].

2. On suppose que m= 4.

(a) Déduire de la question précédente qu’il existeu∈Ztel que u²+ 1≡0 mod p.

(b) Soit Λ le réseau de E de Z-base (pe₁, ue₁+e₂). Montrer que, pour toutx ∈Λ,||x||² est un entier divisible par p.

(c) Montrer qu’il existe un vecteur non nul de Λ dont le carré de la norme vaut p(on pourra utiliser l’inégalité (2)).

(d) En déduire que, pour tout nombre premier p ≡ 1 mod 4, il existe a, b ∈ Z tels que p=a²+b².

3. On suppose que m= 8.

(a) Montrer que le polynôme X⁴+ 1 est scindé dansK[X]. En déduire qu’il existe u ∈Ztel que u²+ 2≡0 mod p (siz est une racine de X⁴+ 1, on pourra calculer(z−¹_z)²).

(b) En déduire que, pour tout nombre premier p ≡ 1 mod 8, il existe a, b ∈ Z tels que p=a²+ 2b² (on considéra le réseau deE deZ-base(pe₁, ue₁+√

2e₂)).

4. On suppose que m= 3.

(a) Montrer que X²+X+ 1est scindé dans K[X].

En déduire qu’il existe u∈Ztel queu²+ 3≡0 mod p.

(b) Soit Λ le réseau de E de Z-base (pe1, ue1+√

3e2). Montrer que, pour tout x ∈ Λ,||x||² est un entier divisible par p, et que||x||² est soit impair, soit divisible par 4.

(c) En déduire que, pour tout nombre premier p ≡ 1 mod 3, il existe a, b ∈ Z tels que p=a²+ 3b².

FIN DU SUJET