0.1. LES ANNEAUX 1 Anneaux-Corps-Espaces vectoriels reéls
0.1 LES ANNEAUX
0.1.1 Distributivité d'une loi de composition interne par rapport à une autre
Denition 0.1.1.
Soit E un ensemble muni de deux lois de composition internes ? et>. On dit que la loi > est distributive par rapport à ? si.
∀(x, y, z)∈E3, x>(y ? z) = (x>y)?(x>z) (1) ;
∀(x, y, z)∈E3, (y ? z)>x= (y>x)?(z>x) (2)
Si la loi >est commutative, les deux relations (1) et (2) sont équivalentes.
Exemple 0.1.1. .
1. Dans N,Z,Q,R,C, la multiplication est distributive par rapport à l'addition.
Dans ces ensembles on a x×(y+z) =x×y+x×z.
Par contre, l'addition n'est pas distributive par rapport à la multiplication x+ (y×z)6= (x+y)×(x+z).
2. Dans M2(R) et M3(R),la multiplication est distributive par rapport à l'addi- tion.
3. Dans Z/nZ,la multiplication est distributive par rapport à l'addition.
4. Dans P(E) la loi T est distributive par rapport S
∀(A, B, C)∈P(E), AT (BS
C) = (AT B)S
(AT B) 5. Dans P(E) la loi S
est distributive par rapport T
∀(A, B, C)∈P(E), AS (BT
C) = (AS B)T
(AS B)
0.1.2 Structure d'anneau
Denition 0.1.2.
Soit A un ensemble muni de deux lois de composition internes noteés, ? et>
On dit que (A, ?,>) est un anneau si : 1. (A, ?)est un groupr commutatif.
2. La loi> est associative.
3. La loi> est distributive par rapport à ?dans A.
•Si de plus>est commutative on dit que l'anneau(A, ?,>)est un anneau commutatif
2
•Si de plus>posséde un élèment neutre, on dit que(A, ?,>)est un anneau unitaire.
Exemple 0.1.2. .
1. (Z,+,×),(Q,+,×),(R,+,×)et(C,+,×), sont des anneaux commutatifs uni- taires
2. (M2(R),+,×) et (M3(R),+,×), sont des anneaux commutatifs unitaires.
3. (Z/nZ,+,×), est un anneau commutatif unitaire.
Exercice 1. (exercice d'application).
on rappelle que (Z,+,×) est un anneau commutatif unitaire.
1. On dénit dans Z la loi de composition interne ? par :
∀(x, y)∈Z2 :x ? y =x+y−2 :
a) Montrer que la loi ? est commutative et associative.
b) Montrer que la loi? admet un élément neutre qu'on déterminera.
c) Montrer que(Z, ?)est un groupe commutatif.
2. On dénit dans Z la loi de composition interne > par :
∀(x, y)∈Z2 :x>y=xy−2x−2y+ 6
et on considère l'application f dénie de Z dans Z par :
∀x∈Z :f(x) =x+ 2.
a) Montrer que f est un isomorphisme de (Z,×)dans (Z,>) . b) Montrer que∀(x, y, z)∈Z3 : (x ? y)>z = (x>z)?(y>z).
3. En déduire de ce qui précède que(Z, ?,>)est un anneau commutatif unitaire
