1 Loi de composition des vitesses

OLIVIER CASTÉRA

Résumé. Les forces d’inertie d’entraînement et de Coriolis sont des forces fictives, elles n’ap- paraissent que dans des référentiels non inertiels.

Table des matières

1 Loi de composition des vitesses 1

2 Loi de composition des accélérations 5

3 Forces dans un référentiel non galiléen 7

4 Exemple de force fictive : la force centrifuge 7

4.1 Dans le référentiel galiléen 8

4.2 Dans le référentiel non galiléen 8

5 Annexe 9

1 Loi de composition des vitesses

Définition 1.1. Référentiel

Un référentiel est un repère dans l’espace pour mesurer les distances et une horloge pour mesurer le temps.

Définition 1.2. Vecteur position

Soit un corps qui peut être une particule, un point matériel, un objet, etc. Dans un référentiel Rde repère (O,i,j,k), soit M le point où se situe le centre de gravité de ce corps. Son vecteur position a pour expression :

OM ,xi+yj+zk Dans un référentiel R^′, il a pour expression :

O^′M ,x^′i^′+y^′j^′+z^′k^′ On se place dans le domaine non relativiste :

Définition 1.3. Temps

Le temps absolu, vrai et mathématique, sans relation à rien d’extérieur, s’écoule uniformément et s’appelle durée.

Par conséquent, le temps s’écoule de la même façon dans les référentiels R etR^′, t =t^′

de sorte que les dérivations par rapport à t ett^′ soient équivalentes.

Notation. La dérivée par rapport au temps sera notée d^R_t pour un observateur fixe dans R, etd^R_t^′ pour un observateur fixe dans R^′.

Date: 20 décembre 2021.

Soit R et R^′ deux référentiels quelconques. R se déplace par rapport à R à la vitesse non constanteV (t) en tournant autour de son axeO^′z^′ à vitesse angulaire non constanteω(t). Soit v la vitesse d’un corps dans R, et v^′ sa vitesse dans R^′.

Théorème 1.1. Par changement de référentiel, les vecteurs vitesses du corps sont liés par la loi de composition des vitesses

v =V +v^′+ω×O^′M

dans laquelle V est la vitesse relative des référentiels et ω est la vitesse angulaire relative de R^′ par rapport à R.

Démonstration. Dérivons dans R par rapport à t l’égalité vectorielle : OM =OO^′+O^′M

d^R_t OM =d^R_t OO^′+d^R_t O^′M (1) Définition 1.4. Vitesse absolue

La vitesse absolue du corps dans le référentiel R a pour expression : v ,d^R_t OM

=d^R_t (xi+yj+zk)

= ˙xi+ ˙yj + ˙zk Définition 1.5. Vitesse relative des référentiels

La vitesse relative du référentiel R^′ vu de R a pour expression : V ,d^R_t OO^′

=d^R_t (x_O′i+y_O′j +z_O′k)

= ˙x_O′i+ ˙y_O′j+ ˙z_O′k

La vitesse relative du référentiel R vu deR^′ a pour expression : V^′ ,d^R_t ^′O^′O

=d^R_t ^′(x^′_Oi^′+y^′_Oj^′+z^′_Ok^′)

= ˙x^′_Oi^′+ ˙y_O^′ j^′+ ˙z_O^′ k^′

Remarque. Supposons que vu deR, le référentiel R^′ ne fasse que tourner sur lui-même. Alors, vu deR^′, le référentielRdécrit un cercle autour deR^′. Les vitesses relatives respectivesV etV^′ sont donc en général très différentes.

En se servant des deux définitions précédentes, (1) devient :

v =V +d^R_t O^′M (2) Vu du référentiel R, les vecteurs de base du référentiel R^′ varient dans le temps. Le second terme du membre de droite a pour expression :

d^R_t O^′M =d^R_t (x^′i^′+y^′j^′ +z^′k^′)

= ˙x^′i^′+ ˙y^′j^′+ ˙z^′k^′+x^′d^R_t i^′+y^′d^R_t j^′ +z^′d^R_t k^′ Définition 1.6. Vitesse relative

La vitesse relative v^′ du corps dans le référentiel R^′ a pour expression : v^′ ,d^R_t ^′O^′M

=d^R_t ^′(x^′i^′+y^′j^′+z^′k^′)

= ˙x^′i^′+ ˙y^′j^′+ ˙z^′k^′

Avec cette définition :

d^R_t O^′M =v^′+x^′d^R_t i^′+y^′d^R_t j^′+z^′d^R_t k^′ (3) On suppose que les axes Oz et O^′z^′ ont même direction et même sens, de sorte que k et k^′ soient équipollents. Appelons α(t) l’angle orienté de R vers R^′, qui est l’angle de rotation de R^′ dans R à l’instant t.

i j

i^′ j^′

α

α

b

k^′ k

Fig. 1. Rotation de R^′ dans R Nous avons les relations :











i^′ = cosαi+ sinαj j^′ =−sinαi+ cosαj k^′ =k

⇒











d^R_t i^′ =−α˙sinαi+ ˙αcosαj = ˙αj^′ d^R_t j^′ =−α˙cosαi−α˙sinαj =−αi˙ ^′ d^R_t k^′ =d^R_t k=0

Par conséquent (3) s’écrit :

d^R_t O^′M =v^′ +x^′αj˙ ^′−y^′αi˙ ^′

=v^′ + ˙α(x^′j^′−y^′i^′) (4) Définition 1.7. Pseudovecteur vitesse angulaire relative

Le pseudovecteur vitesse angulaire de R^′ par rapport à R a pour expression : ω,d^R_t αk= ˙αk

Appelons α^′(t) l’angle orienté de R^′ vers R, qui est l’angle de rotation de R dans R^′ à l’instant t, et tel que α^′ = −α. Le vecteur vitesse angulaire de R par rapport à R^′ a pour expression :

ω^′ ,d^R_t ^′α^′k^′ = ˙α^′k^′ =−αk˙ ω^′ ,−ω

Le second terme du membre de droite de (4) est le produit vectoriel ω×O^′M. En effet, ω×O^′M =







0 0

˙ α





×







x^′ y^′ z^′







=







0×z^′−αy˙ ^′

˙

αx^′−0×z^′ 0×y^′−0×x^′







=







−αy˙ ^′

˙ αx^′

0







= ˙α(x^′j^′−y^′i^′)

si bien que (3) p. 3 devient :

d^R_t O^′M =d^R_t ^′O^′M +ω×O^′M (5)

=v^′+ω×O^′M (6)

Avec ce résultat, la loi de composition des vitesses (2) p. 2 s’écrit : v =V +v^′+ω×O^′M

Remarque. On peut obtenir ce résultat en utilisant une démonstration purement algébrique :

i^′·i^′= 1 d^R_t i^′·i^′= 0 i^′·d^Rt i^′+d^Rt i^′·i^′= 0 2 i^′·d^R_t i^′= 0 d^Rt i^′⊥i^′

d^R_ti^′=ω×i^′ oùωest un vecteur pour l’instant indéterminé.

i^′·j^′ = 0 d^Rt i^′·j^′

= 0 i^′·d^R_t j^′+j^′·d^R_t i^′ = 0

i^′·d^Rt j^′ =−j^′· ω×i^′ En utilisant le théorème5.1p.9 donné en annexe :

i^′·d^R_t j^′ =−i^′· j^′×ω

=i^′· ω×j^′ d^R_t j^′ =ω×j^′ De même pour le vecteurk:

i^′·k^′= 0 d^R_t k^′=ω×k^′ En posantk^′ comme axe de rotation,

d^Rt k^′ =0 ω×k^′ =0 soit,

ω=ωk^′

En appliquant ces résultats à la relation (3) p.3, puis à la relation (2) p.2, nous obtenons la loi de composition des vitesses :

v=V +v^′+x^′ ω×i^′+y^′ ω×j^′

=v^′+V +ω×O^′M

Définition 1.8. Vitesse d’entraînement

La vitesse d’entraînement est la vitesse du pointP fixe dans le référentiel mobileR^′, coïncidant avec le point M à un instant t0 :

v_e,V +ω×O^′P

A l’instant t0, les points P etM étant superposés, nous avons :

V (t0) +ω(t0)×O^′P (t0) =V (t0) +ω(t0)×O^′M (t0) si bien qu’à l’instant t0 uniquement :

v(t0) =v^′(t0) +v_e(t0)

Les trajectoires des points P et M étant différentes, sauf si le corps est fixe dans R^′, nous aurons en général,

d^R_t (V +ω×O^′P)6=d^R_t (V +ω×O^′M) si bien qu’en général,

d^R_t v 6=d^R_t (v^′+v_e)

2 Loi de composition des accélérations

Théorème 2.1. Par changement de référentiels, les vecteurs accélération du corps sont liés par la relation suivante :

a=a^′+a_e+a_c

appelée loi de composition des accélérations, dans laquelle a est l’accélération du corps dansR, a^′ est l’accélération du corps dans R^′, a_e est l’accélération d’entraînement et a_c l’accélération de Coriolis.

Démonstration. Dérivons dans R par rapport au temps, la loi de composition des vitesses du théorème 1.1 p. 2:

d^R_t v =d^R_t V +d^R_t v^′+d^R_t (ω×O^′M)

=d^R_t V +d^R_t v^′+d^R_t ω×O^′M +ω×d^R_t O^′M Définition 2.1. Accélération absolue

L’accélération absolue a du corps dans le référentiel R a pour expression : a,d^R_t d^R_t OM

a,d^R_t v Définition 2.2. Accélération relative des référentiels L’accélération relative deR^′ vu de R a pour expression :

A,d^R_t V Avec ces définitions :

a=A+d^R_t v^′+ω˙ ×O^′M +ω×d^R_t O^′M En utilisant la relation (6) p. 4, nous avons :

a =A+d^R_t v^′+ω˙ ×O^′M +ω×(v^′ +ω×O^′M) (7) La relation (5) p. 4s’applique à tout vecteur exprimé dans R^′ et dérivé dans R. Appliquée au vecteur v^′, elle donne :

d^R_t v^′ =d^R_t ^′v^′+ω×v^′ Définition 2.3. Accélération relative

L’accélération relative est l’accélération du point M dans le référentiel R^′ : a^′ ,d^R_t ^′v^′

La relation (7) devient :

a =A+d^R_t ^′v^′+ω×v^′ +ω˙ ×O^′M +ω×(v^′ +ω×O^′M)

=A+a^′+ω˙ ×O^′M +ω×(ω×O^′M) + 2ω×v^′ (8) SoitHla projection orthogonale du pointM sur l’axe de rotationO^′z^′ du repèreR^′ par rapport au repère R :

O^′

M H

z^′

ω

Fig. 2. Projection du point M sur l’axe de rotation En utilisant le théorème 5.2 p. 9donné en annexe, le dernier terme s’écrit :

ω×(ω×O^′M) =ω(ω·O^′M)−O^′M (ω·ω)

=ω(ω O^′H)−O^′Mω²

=O^′Hω²−O^′M ω²

=M Hω²

Ce terme, toujours dirigée vers le centre de rotation instantané, s’appelle accélération centripète.

La relation (8) s’écrit :

a=a^′+A+ω˙ ×O^′M +M Hω²+ 2ω×v^′ (9) Définition 2.4. Accélération d’entraînement

L’accélération d’entraînement est l’accélération du pointP fixe dans le référentielR^′, coïncidant avec le point M à l’instantt0 :

a_e ,A+ω˙ ×O^′P +P Hω² A l’instant t0, les points P etM étant superposés, nous avons :

a_e=A+ω˙ ×O^′M +M Hω² Définition 2.5. Accélération de Coriolis

L’accélération de Coriolis a pour expression,

a_c ,2ω×v^′ Avec les définitions 2.4 et 2.5, la relation (9) s’écrit :

a=a^′+a_e+a_c

Remarque. La dérivée dansRde la vitesse d’entraînement donne l’accélération d’entraînement :

d^R_t ve=d^R_t V +d^R_t (ω×O^′P)

=A+ω˙ ×O^′P +ω×d^Rt O^′P En utilisant (5) p. 4puis le théorème5.2p. 9:

d^R_t ve=A+ω˙ ×O^′P +ω×(ω×O^′P)

=ae

3 Forces dans un référentiel non galiléen

Définition 3.1. Référentiel galiléen

R est un référentiel galiléen, si et seulement si ce référentiel se déplace d’un mouvement de translation (pas de mouvement de rotation par rapport au reste de l’univers) rectiligne (pas d’accélération normale au mouvement) et uniforme (pas d’accélération tangentielle au mouve- ment).

Théorème 3.1. Soient ^PF ^ext la somme des modèles des forces extérieures réelles s’exerçant sur un système. La relation fondamentale de la dynamique¹ dans le référentiel non galiléenR^′ s’écrit,

XF ^ext+F_e+F_c = dp^′ dt et, lorsque la masse du système est constante :

XF ^ext+F_e+F_c =ma^′

Démonstration. La relation fondamentale de la dynamique dans le référentiel galiléenRs’écrit :

XF ^ext= dp dt La masse m du corps étant supposée constante :

XF ^ext=ma Avec le théorème 2.1 p. 5 nous avons :

XF ^ext=m(a^′+a_e+a_c)

=ma^′+ma_e+ma_c Définition 3.2. Force d’inertie d’entraînement

La force d’inertie d’entraînement a pour expression : F_e ,−mae

Définition 3.3. Force de Coriolis La force de Coriolis a pour expression :

F_c ,−ma_c Par conséquent, on a bien :

XF ^ext+F_e+F_c =ma^′

Dans le référentiel non galiléenR^′, il faut ajouter aux forces extérieures réelles F ^ext s’exerçant sur le système, les forces fictives d’entraînementF_eet de CoriolisF_c. Ces forces sont dite fictives car elles ne créent pas le mouvement. Elles ne sont dues qu’au mouvement de l’observateur.

4 Exemple de force fictive : la force centrifuge

Soit un corps M de masse m, tenu par un fil et tournant avec la vitesse angulaire constante ω autour de l’axeOz d’un référentiel galiléenR. On considère le référentiel R^′ de même centre O que R, dont l’axe Oz^′ est confondu avec l’axe Oz. Ce référentiel tourne autour de cet axe à la même vitesse angulaire ω que le corps, de sorte que celui-ci soit immobile dans R^′ et soit toujours sur l’axe Ox^′ :OM =x^′i^′

1. Voir Mécanique classique.pdf.

i j

i^′ j^′

bω

O

M T

Fig. 3. Rotation du corpsM (vue de dessus)

4.1 Dans le référentiel galiléen

La vitessev^′ du corps dansR^′ étant nulle, l’accélérationa^′ du corps dans R^′ est nulle elle aussi, ainsi que l’accélération de Coriolis a_c. L’accélération relative A des deux référentiels est nulle par hypothèse, ainsi que la variation de la vitesse angulaire ω˙. Dans la relation (9) il ne reste que l’accélération centripète :

a=M Oω²

=−ω²re_r

où re_r est le vecteur position OM en coordonnées polaires. La relation fondamentale de la dynamique nous donne l’expression de la tension du fil :

XF ^ext=ma T =−mω²re_r

4.2 Dans le référentiel non galiléen

Ecrivons la relation fondamentale de la dynamique pour un observateur dans le référentielR^′ :

XF ^ext+F_e+F_c =ma^′

À partir de la définition2.5 p.6, la vitesse relative v^′ étant nulle, la force de Coriolis est nulle.

À partir de la définition 2.4p.6, l’accélération relative des référentiels Aétant nulle, la vitesse angulaire étant constante, il ne reste que l’accélération centripète −ω²re_r :

XF ^ext+mω²re_r =ma^′ Définition 4.1. Force centrifuge

La force centrifuge a pour expression :

F_n ,mω²re_r

Le corps étant immobile dans R^′, son accélération est nulle : T +F_n=0

Dans R^′, la force centrifuge F_n s’exerce sur tous les corps, en plus des forces réelles. La seule force réelle est ici la tension T du fil.

5 Annexe

Théorème 5.1.

A·(B×C) =C·(A×B) Démonstration.

A·(B×C) =







A_x A_y A_z





·







B_yC_z−B_zC_y B_zC_x−B_xC_z B_xC_y−B_yC_x







=A_x(B_yC_z−B_zC_y) +A_y(BzC_x−B_xC_z)

+A_z(B_xC_y−B_yC_x)

=C_x(A_yB_z−A_zB_y) +C_y(A_zB_x−A_xB_z)

+C_z(AxB_y−A_yB_x)

=







C_x C_y C_z





·







A_yB_z−A_zB_y A_zB_x−A_xB_z A_xB_y−A_yB_x







=C·(A×B)

Théorème 5.2.

A×(B×C) =B(A·C)−C(A·B) Démonstration.

A×(B×C) =







A_x A_y A_z





×







B_yC_z−B_zC_y B_zC_x−B_xC_z B_xC_y−B_yC_x







=







A_y(B_xC_y−B_yC_x)−A_z(B_zC_x−B_xC_z) A_z(B_yC_z−B_zC_y)−A_x(B_xC_y−B_yC_x) A_x(B_zC_x−B_xC_z)−A_y(B_yC_z−B_zC_y)







=







A_yB_xC_y−A_yB_yC_x−A_zB_zC_x+A_zB_xC_z A_zB_yC_z−A_zB_zC_y−A_x(BxC_y+A_xB_yC_x) A_xB_zC_x−A_xB_xC_z−A_y(ByC_z+A_yB_zC_y)







et,

B(A·C)−C(A·B)

=B(AxC_x+A_yC_y+A_zC_z)−C(AxB_x+A_yB_y+A_zB_z)

=







B_x(A_xC_x+A_yC_y+A_zC_z)−C_x(A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z) B_y(AxC_x+A_yC_y+A_zC_z)−C_y(AxB_x+A_yB_y +A_zB_z) B_z(AxC_x+A_yC_y+A_zC_z)−C_z(AxB_x +A_yB_y +A_zB_z)







=







B_xA_yC_y+B_xA_zC_z−C_xA_yB_y −C_xA_zB_z B_yA_xC_x+B_yA_zC_z−C_yA_xB_x−C_yA_zB_z B_zA_xC_x+B_zA_yC_y−C_zA_xB_x−C_zA_yB_y







Email address:[email protected] URL:http://o.castera.free.fr/