I. Relativité du mouvement et référentiel

Cinématique et dynamique du point matériel.

I. Relativité du mouvement et référentiel

I.A RELATIVITE DU MOUVEMENT/

Rappels de seconde:

La description d'un mouvement est relative au choix d'un référentiel qu'il convient de préciser Référentiel:

Un référentiel est un solide de référence par rapport auquel on effectue l'observation.

On lui attache un repère mathématique dont l'origine est un point du solide de référence, et une base vectorielle unitaire permettant de s'orienter dans le référentiel (voir exemple dans le paragraphe suivant)

On lui attache aussi un repère de temps.

Importance du référentiel pour décrire la trajectoire:

Dans le premier cas, le référentiel est attaché au labo, ce qui correspond au cas où la feuille est immobile dans ce même référentiel.

Dans le deuxième cas, la feuille se déplace par rapport au référentiel du labo. La trajectoire observée est sinueuse dans le référentiel de la feuille mobile.

Référentiel terrestre: Un observateur est situé au sol.

sur la figure on y indique un repère particulier.

On constate que vu du référentiel géocentrique ce référentiel décrit un cercle autour de l'axe passant par les pôles .

Référentiel géocentrique: Ce référentiel est lié à la Terre dans son mouvement autour du Soleil, mais pas dans son mouvement propre. On lui associe en général le repère illustré sur la figure ci-contre. Les trois étoiles sont suffisamment éloignées pour apparaître fixe dans ce référentiel.

On utilise ce référentiel pour décrire le mouvement d'un satellite artificiel tournant autour de la Terre.

Repérage d'un point. Vecteur position.

Par exemple, si on choisit le repère cartésien (O,

i

, j,k), la position d'un point matériel M dans le référentiel

sera décrite par ses coordonnées cartésiennes (x,y,z) .

Le vecteur position du point M sera OM =

x.

i

+ y j + z k

En classe de première on se limitera très souvent à l'étude des mouvements dans un plan, dans ce cas la donnée de deux coordonnées (par exemple x et y ) suffiront.

remarquons que la distance de O à M est égale à la norme du vecteur OM : OM = OM = x²+y²

Trajectoire d'un point:

Dans un référentiel donné, la trajectoire d'un point est l'ensemble des positions successives occupées par ce point au cours du mouvement.

Expérimentalement, la trajectoire d'un point peut s'obtenir par chronophotographie ou par enregistrement vidéo

I.B Vitesse d'un point matériel dans un référentiel:

I.B.1Vitesse moyenne:

Lorsqu'un point parcourt une portion de trajectoire de M₁ à M₂ correspondant à une longueur ∆L, pendant une durée ∆t = t₂ − t₁ quelconque, la vitesse moyenne est <v> =

t L

∆

∆ unité S.I: [∆L] = m ; [∆t] = s; [<v>] = m/s = m.s⁻¹

I.B.2Vitesse instantanée:

I.B.2.a. Définition:

Pour avoir une connaissance de la vitesse de déplacement à chaque instant sur une trajectoire, on calcule une vitesse instantanée en considérant une portion de trajectoire, ∆L, la plus courte possible et en notant ∆t l'intervalle de temps correspondant. On notera en mathématique la vitesse instantanée sous la forme :

v =

_t

∆ ∆ t l

→

∆

lim

0 où ∆t –> 0 signifie que l'on prend un intervalle le plus petit possible.

Cette limite porte en mathématiques le nom de dérivée .On écrit aussi de façon plus condensée

dt dl v=

(dérivée de l par rapport à la variable temps t) I.B.2.b. Détermination expérimentale:

Si on réalise un enregistrement des positions d'un point matériel à l'aide d'une table à coussin d'air ou d'une chronophotographie par exemple, on pourra s'approcher de cette vitesse moyenne de la façon suivante:

Repérer le point M_i correspondant à l'instant t_i . Repérer les points immédiatement voisins M_i–1 (t_i–1) et M_i+1 (t_i+1) qui encadrent ce point. La vitesse instantanée du point mobile à l'instant ti sera alors égale à

1 1

1 1

− +

+

−

−

=

i i i i i

t t M v M

On reconnaîtra ici l'expression de la vitesse moyenne entre les instants ti–1 et ti+1

I.B.3.Vecteur vitesse:

I.B.3.a. Définition:

Pour décrire complètement le mouvement d'un point matériel il faut aussi savoir dans quel sens et dans quelle direction s'effectue celui-ci : le vecteur vitesse va nous permettre de nous renseigner .

Définition :

Le vecteur vitesse instantanée

v

d'un point mobile M à l'instant t est défini par :

• son origine ou point d'application: c'est la position de M à cet instant.

• sa direction : celle de la tangente à la trajectoire au point occupé par M.

• son sens : celui du mouvement

• une norme ou intensité: égale à la vitesse instantanée de M à cet instant.

On le note en mathématique

V = dO dt M

où

O M

est le vecteur position de M par rapport à un repère de centre O. Les coordonnées s'écriront: v=

dt dx

i

+

dt

dy j (dans le plan xoy)

Remarque: on utilise parfois la notation : dt x=dx , et

dt y=dy

I.B.3.b Détermination expérimentale à partir du vecteur position:

Si l'on connaît les coordonnées de la position du point M à l'instant t on peut alors en déduire les coordonnées approchées du vecteur vitesse au même instant:

) (_i

x t

v =

1 1

1 1

− +

− +

−

−

i i

i i

t t

x

x ; v_y(t_i)=

1 1

1 1

− +

− +

−

−

i i

i i

t t

y

y ; de même pour la coordonnée selon z

I.B.3.c. Exemple:

II. Accélération.

II.A Définitions.

L'accélération exprime la façon dont se modifie la vitesse au cours du temps.

Par analogie avec le vecteur vitesse, on se définit un vecteur accélération

a

de la façon suivante:

II.A.1. Accélération moyenne :

Accélération moyenne sur une durée ∆t : a

m

=

^→∆v

∆t

II.A.2. Accélération instantanée:

accélération instantanée :

a

= dv







→→→→

dt

( = lim

∆τ–>0^→∆v

∆t

) on lit : le vecteur accélération est la dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse.

unités S.I. : a est en m.s

^–2

II.B Déterminations du vecteur accélération:

II.B.1 Détermination expérimentale.

Détermination d'un vecteur accélération à l'aide d'un enregistrement de trajectoire:

On procède par analogie avec le vecteur vitesse.

Ainsi on calculera le vecteur accélération d'un point mobile M situé en M

i

à la date t

i

en écrivant:

ai







→→→→

=( Vⁱ⁺¹





→→→→

– Vi–1







→→→→

(ti+1 – ti–1) )

. On trace les vecteurs vitesses concernés, la différence des deux vecteurs donnera alors la direction et le sens du vecteur accélération. La norme se calculera en divisant par le temps la longueur du vecteur obtenu.

Sur le schéma ci-contre, a

3

est parallèle et de même sens que ∆ v = v

₄

− v

₂

II.B.2. Détermination par le calcul:

On pourra aussi calculer les composantes vectorielles (coordonnées) de a

i

→

à partir de celles des vecteurs vitesses, ou des vecteurs positions:

2 2

dt OM d dt

OM d dt

d dt

v

a = d = =

D'où, en coordonnées cartésiennes:

k a j a i a

a =

_x

+

_y

+

_z

= ( v i v j v k ) dt

d

z y

x

+ +

a = k

dt j dv dt i dv dt

dv

x

+

y

+

_z

a = k

dt z j d dt

y i d dt

x d

2 2 2

2 2

2

+ +

II.B.3. Expression de l'accélération dans le repère de Frenet.

Un repère fort utile pour simplifier les calculs dans le cas de mouvements curvilignes est le repère de Frenet qui se déplace avec le point sur la trajectoire.

On fixe une origine sur la trajectoire, et on repère la position du point M par son abscisse curviligne s = OM

Le repère de Frenet se déplace avec le point M et comporte deux vecteurs

unitaires T et N , avec :

T tangent à la trajectoire au point M et orienté dans le sens du mouvement.

N perpendiculaire à T et toujours dirigé vers l'intérieur de la concavité.

Dans ce repère les coordonnées de v = v. T avec v = dt ds

Les coordonnées du vecteur accélération sont a = a

T

. T +a

N

N

III. C. Quelques exemples de mouvements :

On se propose ici de montrer comment caractériser un mouvement à partir de la connaissance de l'accélération et de la vitesse.

III.C.1. Mouvement rectiligne uniforme :

C'est le mouvement le plus simple, sans accélération (a = 0) et avec une vitesse constante au cours du temps.

Les positions successives du point sont alignées : la trajectoire est rectiligne.

Les positions successives sont régulièrement espacées (les intervalles de temps sont supposés égaux) : le mouvement est uniforme.

On a: v est une constante.

On retiendra: un mouvement est rectiligne uniforme ssi v est une constante Traduisons cela sous forme d'équations horaires :

On a les équations du mouvement suivantes:

a = 0

v(t) = v0 = constante

x(t) = v0.t + x0 où x0 est la position initiale et v0 la vitesse initiale, à t = 0.

allure typique des diagrammes

:

III.C.2. Mouvement rectiligne uniformément varié.

Illustration:

Sur cet exemple, le vecteur vitesse garde une direction constante au cours du temps, mais croît proportionnellement au temps.

Dans ce cas l'accélération reste constante : a = a0 Deux cas se présentent en fait:

soit

a

= a0

i

avec a0 >0 , on a v(t) = a0.t+v0 avec

v

= v(t)

i

La vitesse augmente proportionnellement au cours du temps dans la direction de

i

. La position x(t) = 1/2. a₀.t² + v₀t + x₀ est représenté par une portion de parabole.

soit a0 < 0, on a toujours v(t) = a0.t+v0 avec

v

= v(t)

i

, mais sa valeur algébrique décroît régulièrement au cours du temps, comme l'illustre le graphique ci-dessous.

Plus généralement, on retrouve donc les mêmes équations horaires , quel que soit le signe de a0, il suffira alors d'examiner la situation physique pour en déduire le comportement du mobile sur la trajectoire.

Rappelons les équations horaires (on exprime a, v et x en fonction du temps):

a = a0 = constante v(t) = v0 + a0.t (droite)

x(t) = x0 + v0.t + a.t2 (branche de parabole)² où x0 et v0 sont les valeurs de x et v à t = 0.

remarque: une formule utile est v²–v02 = 2a(x–x0)

:

III.C.3.Mouvement circulaire uniforme

La norme de v reste constante, mais sa direction et son sens changent tout en restant tangents à la trajectoire circulaire.

Dans le repère de Frenet, vitesse et accélération s'expriment facilement:

v

= v .

T

avec v =

θ θ _R ω dt R d dt

R d dt

ds = ( ) = =

On appelle ω la vitesse angulaire qui s'exprime en rad.S ¹ (dans le langage courant on parle de tours/mn ou tours/s . Un tour correspond à un angle de 2π radians).

L'accélération s'écrit dans le cas d'un mouvement circulaire:

R v dt dv

a =

₂ mais si en plus le mouvement est uniforme : v = cste donc

aT = 0, et l'accélération est toujours dirigée vers le centre du cercle :

a

=

R v

²

.

N

donc ²

R . ω

²

v . ω R

a

_N

= v = =

III.C.4. Mouvement curviligne

C'est le cas le plus général

III.C.3.a. Curviligne uniforme:

La trajectoire est quelconque, le vecteur vitesse change de direction et de sens au cours du mouvement, mais sa norme reste constante.

III.C.3.b. Curviligne varié

La trajectoire est quelconque, le vecteur vitesse et sa norme changent au cours du mouvement.

III.C.3.c. Mouvement plan à accélération constante.

C'est un mouvement très important car il régit en première approximation le comportement des projectiles lancés dans l'air et soumis à leur poids seul (voir cours suivant sur la relation entre mouvements et forces appelé dynamique).

On constate que l'on peut écrire :

→a

= ax ^→.i + ay. j^→ avec ax = 0 et ay = a0 = constante.

Vx = vx0 (constant) et vy = ay.t + v0y (droite) x = x0 + vx0.t (droite) ; y = y0 + vy0.t +ay.t²

2 (branche de parabole).

Selon un axe Ox, le mouvement se confond avec un mouvement rectiligne uniforme.

Selon un axe Oy, le mouvement est d'abord décéléré jusqu'à ce que vy s'annule, puis il est accéléré car vy augmente à nouveau (en valeur absolue)

III.C.5. Savoir si un mouvement est accéléré ou décéléré:

L'étude du produit scalaire de

a

.

v

permet de savoir si un mouvement est accéléré, freiné (ralenti) ou uniforme:

IV. Mouvements simples d'un solide

IV.A Définition d'un solide:

Rappelons ici ce que l'on entend par solide:

C'est on objet non déformable, c'est à dire dont la distance entre deux points donnés et quelconques du solide reste constante au cours du temps.

IV.B Principaux types de mouvements plans.

L'étude du mouvement quelconque d'un solide peut se révéler très complexe, mais il existe des mouvements particulièrement simples que l'on rencontre dans la vie pratique.