1
DEVELOPPEMENTS ET FACTORISATIONS Rappels :
1. Distributivité simple : c
a b a c b
a ⋅ ( + ) = ⋅ + ⋅
2. Double distributivité :
d b c b d a c a d c b
a + ) ⋅ ( + ) = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ (
3. Produits remarquables :
( a + b )² = a² + 2ab + b² ( a – b )² = a² - 2ab + b² ( a + b ) ( a – b ) = a² - b² ( a + b )³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ ( a – b )³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ a³ - b³ = ( a – b ).( a² + ab + b² ) a³ + b³ = ( a + b ).( a² - ab + b² )
Exercices:
1. Développer les expressions suivantes : a) 3( 1 – 5x)
b) -4(3x – 4) c) - (1 -5x)
d) 3(x – 5) + 4(1 –x) e) -2(x -5) + 2(4 – 3x)
2. Développer les expressions suivantes : a) (2x + 3) (x – 5) – (3 –x) (2x – 1)
b) (5x + 1) (2x + 3) + (2 – x)(1 – 5x) – (3x – 7)
c) (5x + 3) (2x + 1) + (2x – 1)(x + 2) -3(1 – x)
2
3. Développer les expressions suivantes : a) (5 + x) ²
b) (x – 2) ²
c) (2x – 3) (2x + 3) d)
2
3 1 4 3 ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ x +
e) ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ −
⎟ ⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ +
3 7 4 3 7 x 4 x
f) (7x – 3) ²
4. Développer les expressions suivantes : a) (3x + 1)² - (x – 5)²
b) (4x – 3) (4x + 3) + (6x – 5)² c)
2 2
7 1 ) 2 3 7 )( 5 2 3 (
1 7
4 ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ +
− + +
⎟ +
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ − x x
x x
d) -3(2x + 5)² + 4(x – 2)² e) 7x(x – 3)² - 5x (4 + x)²
f) 18
) 1 ( 4
) 2 ( 6
) 3
(
2 2+
2− +
− + x x
x
5. Factoriser les expressions suivantes:
a) 4 – 9x2 e) 9(x+1)2- (2x+3)2
b) 4x2+4x+1 f) (x+3)2+2(x+3)+1
c) (x+1)2-25 g) 9x2–12x+4=
d) 4x2 – 6x +9 h) 4x2–20x+25=
i) x2+10x+25=
3
6. Factoriser les expressions suivantes :
a) x
3– 5x² l) x
7+ 15x
6b) ( 2x + 1 )( x + 8 ) – ( 2x + 1 )(7x – 12 ) m) ( x + 9 )( x – 1 ) – ( x + 9 )( 1 – 5x ) c) ( x – 3 )( 5x + 1 ) + ( 3 – x )( x + 4 ) n) ( 3x – 2 )( x + 6 ) – ( 2 – 3x )( x + 7 ) d) ( 9x – 2 )( 2x + 3 ) – ( 2 – 3x )( x + 7 ) o) ( 9x – 2 )( 2x + 3 ) – ( 2 – 9x )( x + 1 ) e) ( x + 1 )( 7x + 2 ) + ( - x – 1 )(3x – 5 ) p)( - 2x + 3 )( -x – 5 ) + ( x + 5 )( x + 1 ) f) ( x + 7 )( x – 9 ) + ( x + 7 ) q) ( x – 5 )( 2x + 9 ) – ( 5 – x )
g) ( x + 3 )( x + 7 ) – ( 5x + 15 )(2x – 8 ) r) x
3– x² - ( x – 1 ) h) x
3– 3x² – x + 3 s) x
3– x
i) 16x
3– 64x t) 25x
7– 36x
5j) x
3– 10x² + 25x u) ( x + 2 )² – ( 5x – 7 )² k) ( x – 3 )² - 25( x + 2 )² v) 144( x – 1 )² – 16( x + 2 )²
7. Factoriser les expressions suivantes:
a)
4x
2- 9 h)x
2- 121
b)1 - 49x
2i)(5x - 1)
2- (3 - 2x)
2c)(2x + 5)
2- ( x - 3)
2j)(x + 2)
2- ( 4x - 1)
2d)15x - 25 k)ab + b
e)2a(3x + 1 ) - b( 3x + 1) l)11( x + 5) - (x + 5)
2f)( 6x - 1)
2+ 7(6x - 1) m)9x
2- 18x + 9
g)( 5x + 1)(2x + 3) + ( x - 2)( 5x + 1) - (5x +1)(7x - 4) n)( 2x - 1)
2- ( 2x - 1)(x - 6 )
4
8. Développer les identités remarquables suivantes :
) 1 )(
1 ( ) )
1 ( )
) 3 2 ( ) 1 3 ( ) )
1 3 ( )
) 1 3 ( ) )
5 2 ( )
) 5 2 ( ) )
2 ( )
) 2 ( ) )
1 ( )
2 3
3 3
3
3 3
3 3
3 3
+
− +
−
+
−
− +
− +
− +
− +
x x x j x
e
x x
i x
d
x h x
c
x g x
b
x f x
a
9. Factoriser les expressions suivantes :
27 8
)
27 )
1 )
) 2 3 ( ) 1 4 ( ) 25
) 2 3 ( 25 )
25 ) 8 5 ( 9 )
) 3 ( 4 )
) 3 2 ( ) 1 2 ( )
4 169 )
25 30 9 )
16 40 25
)
9 6 )
3 3 3
2 2 2
2 2
2 2
2
2 2
2
− + +
+
−
−
−
−
− +
−
−
−
−
−
−
− +
−
+
− + +
x l
x k
x j
x x i
x h
x g
x x f
x x
e x d
x x c
x x
b
x x a
) 1 ( 9 25 )
) 2 ( 1 2 )
) 4 9 )(
2 3 ( 4 9 )
) 3 ( 9 )
1 4 ) 1 2 ( 3 )
) 9 )(
4 4 ( 5 ) 2 )(
1 ( )
250 2
)
1 )
1 ( )
) 1 ( ) 1 ( )
) 2 ( ) 2 3 ( )
) 2 ( ) 1 3 ( )
27 ) 1 ( 125 )
2
2 2
2 2
2
2 2
4
3 3
2 3
3 3
3 3
3
x x
x
x x
x w
x x
x v
x x
u
x x
t
x x x x
x s
x x
r
x x
x q
x x
x p
x x
o
x x
n
x m
−
−
−
−
− +
−
−
−
−
−
+ +
−
− + +
− +
+
− + +
−
−
− +
+
− +
+
−
−
− + +
−
+
5
