Cécile Bertrand Racines Carrées – 2nde Page 1 sur 2
Racines Carrées
1) Définition et premières propriétés
Définition : Soit a un nombre positif.
La racine carrée de a, notée a est le nombre positif dont le carré vaut a. Le symbole est appelé radical.
Exemples :
• …… et …… sont les deux seuls nombres dont le carré vaut 25. 25est le nombre positif donc 25= ……
• 49= …… car ……2 = 49 et …… > 0 • 0,81= …… car ……2 = 0,81 et …… > 0
• 16
9 = …… car ...
...
2 = 16
9 et …… > 0 • 10 = …… car (……)6 2 = 106 et …… > 0
Remarque :
La calculatrice propose pour 2 : 1,414 213 562.
Le nombre 1,414 213 562 n’est qu’une valeur approchée de 2 . La valeur exacte de 2 est 2 !!
« les carrés parfaits » : des valeurs à connaître :
0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144
Propriétés : • Pour tout réel a > 0 :
( )
a 2= a • Pour tout réel a : a2 = |𝑎|Exemples :
( 5)2 = ………… 4, 42 = ………… ( 6)− 2 = …………
( )
2 7 2= ………(
2+ 3)(
2− 3)
= ………Méthode : Rendre rationnel un dénominateur (niveau 1) Soient a, b et c trois réels avec b ≠ 0 et c > 0.
Pour écrire le nombre a
b c avec un dénominateur rationnel, on multiplie numérateur et dénominateur par c.
Exemples : 2
3 = ………
5 2 2
− = ………
Cécile Bertrand Racines Carrées – 2nde Page 2 sur 2 2) Opérations sur les racines carrées
Propriétés : Pour tous nombres a et b positifs :
• ab = a b « La racine d’un produit est égale au produit des racines »
• a a (avec 0)
b = b b « La racine d’un quotient est égale au quotient des racine »
Démonstration : Démonstration algébrique par comparaison des carrés
( )
ab 2 =... et(
a b)
2 =...Exemples : 12 3 = ……… 98 = ………
14 =
7 ……… 9
4 = ………
Propriétés : Pour tous nombres a et b strictement positifs :
• a b+ a+ b • a b+ a+ b (avec a et b non nuls)
Démonstrations : • Contre - exemple : ………
• Démonstration géométrique :
Méthode : Ecrire sous la forme a b où a et b sont des entiers naturels avec b le plus petit possible On fait apparaître un « carré parfait » sous le radical (le plus grand possible) et on applique la règle de la racine d’un produit.
Exemples : 75 = ……… 288 = ………
150−7 24 =………
Méthode : Rendre rationnel un dénominateur (niveau 2) Soient a, b, c et d trois réels avec b c d+ ≠ 0 et d > 0.
Pour écrire a
b+c d avec un dénominateur rationnel, on multiplie numérateur et dénominateur parb c d− et on utilise l’identité remarquable (A + B) (A – B) = A2 – B2.
L’expression b c d− s’appelle l’expression conjuguée de b c d+ .
Exemples : 2
1+ 3= ………
2
7−2= ………
