1 et h : {0,1}2n → {0,1}n une fonction de hachage

Université Bordeaux M1 CSI, Cryptologie

Mathématiques, Informatique Année 2017 – 2018

FEUILLE D’EXERCICES n^o8 Fonctions de hachage

Exercice 1 – Soient un entier n > 1 et h : {0,1}²ⁿ → {0,1}ⁿ une fonction de hachage. On considère H :{0,1}⁴ⁿ→ {0,1}ⁿ définie par

H(x₁kx₂) = h h(x₁)kh(x₂)

, si x₁, x₂ ∈ {0,1}²ⁿ. Montrer que si h est résistante aux collisions, H l’est aussi.

Exercice 2 – Soit F = (f_K)_K∈K une famille de fonctions indexées par un para- mètreK, destiné à être utilisé comme clé. Chaque fonction prend ses entrées dans Met est à valeurs dans S. On suppose que |S|² divise |K|. On dit queF est une famille universelle de fonctions de hachage si elle vérifie la propriété suivante : pour tous x, x⁰ ∈ M, x6=x⁰ ety, y⁰ ∈ S,

|{K ∈ K;f_K(x) =y et f_K(x⁰) =y⁰}|= |K|

|S|².

1) Si la clé K est choisie au hasard avec loi uniforme, que vaut la probabilité Pr(f_K(x) =y et f_K(x⁰) = y⁰) pourx6=x⁰, y, y⁰ fixés ?

2) Montrer que pour tousx, y on a :

|{K ∈ K;f_K(x) = y}|= |K|

|S|.

3)On réalise un système cryptographique à des fins d’authentification de la forme C = (M, f_K(M)) appelé aussi un “MAC” (Message Authentication Code). Que vaut la probabilité d’imposture P_I pour ce système ?

4) Pourquoi ce résultat est-il optimal ?

5) Calculer la probabilité de substitution P_S du système. Pourquoi est-elle opti- male ?

6)Soient pun nombre premier. On poseM=S =Fp etK=Fp×Fp. On définit la famille F = (f_a,b)(a,b)∈K par f_a,b(x) = ax+b. Montrer que F est une famille universelle de fonctions de hachage.

7) Soient M={0,1}ⁿ\ {(0,0, . . . ,0)} oùn>2, et S ={0,1}^r où r>1. SoitF la famille des restrictions à M des applications linéaires de{0,1}ⁿ dans {0,1}^r. Montrer qu’il s’agit d’une famille universelle de fonctions de hachage.