Montrer queδ(0) =δ(1

Problème : Dérivation dans un anneau

Soit(A,+,·) un anneau. On note1 le neutre multiplicatif et0le neutre additif.

On note0_A l’application nulle deA, c’est-à-dire l’application qui à tous éléments deAassocie0.

Une applicationδ:A→A est appelée une dérivation si

∀a, b∈A, δ(a+b) =δ(a) +δ(b), (H₁) et si

∀a, b∈A, δ(ab) =δ(a)b+aδ(b). (H₂) Partie N^o1

Soitδ une dérivation.

1. Montrer queδ(0) =δ(1) = 0.

2. Montrer que pour touta∈A,δ(−a) =−δ(a).

3. Montrer que

∀a∈A, ∀n∈N, δ(na) =nδ(a).

4. Montrer que si a∈A^? alorsδ(a⁻¹) =−a⁻¹δ(a)a⁻¹. 5. Donner un exemple simple de dérivation.

6. PosonsDδ={a∈A / δ(a) = 0}.

(a) Montrer queDδ est un sous-anneau de(A,+,·).

(b) Montrer que si (A,+,·) est un corps alors Dδ est un sous-corps de (A,+,·).

7. Soient n > 2 et a₁,· · · , a_n ∈ A. Calculer δ(a₁· · ·a_n) en fonction des δ(a_k) et des a_k pour 16k6n.

8. En déduire, pourn>2eta∈A,δ(aⁿ)en fonction de n,a etδ(a).

Que devient cette formule siA est commutatif ?

9. On pose δ⁰= Id_Aetδ¹ =δ et, pourn>1,δⁿ=δ◦δⁿ⁻¹. Montrer que

∀n∈N, ∀a, b∈A, δⁿ(ab) =

n

X

k=0

n k

δ^k(a)δ^n−k(b).

Partie N^o2

Dans cette partie, δ1,δ2 etδ3 désignent des dérivations quelconques deA.

1. δ1+δ2 etδ1◦δ2 sont-elles des dérivations de A? 2. On note[δ1, δ2] =δ1◦δ2−δ2◦δ1.

Montrer que[δ₁, δ₂]est une dérivation deA.

3. Montrer que

[δ₁,[δ₂, δ₃]] + [δ₂,[δ₃, δ₁]] + [δ₃,[δ₁, δ₂]] = 0_A Partie N^o3

Pour tout a∈A, on définit

da: A → A x 7→ ax−xa 1. Montrer queda est une dérivation deA.

1

2. Montrer que

∀n∈N, ∀a, x∈A, dⁿ_a(x) =

n

X

k=0

(−1)^k n

k

a^n−kxa^k.

3. En déduire que si aest nilpotent alors il existe un entierm tel que d^m_a = 0A. 4. Montrer que, pour tout dérivationδ de A,

[δ, da] =d_δ(a).

5. Soienta, b∈A. On pose [a, b] =ab−ba. Montrer que [da, d_b] =d_[a,b].

* * * FIN DU SUJET * * *

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