Équations différentielles du second ordre à coefficients constants sans second membre ay

ANALYSE/DIFFERENTIELLES

Exercice

Équations différentielles du second ordre à coefficients constants sans second membre

ay ^′′ + by ^′ + cy = 0

Méthode : On écrit l’équation caractéristique : ar²+br+c= 0. Trois cas sont possibles : 1) b²−4ac > 0; il y a deux solutions r1 et r2 de l’équation caractéristique

Alors la solution générale de l’équation différentielle est donnée par : y =k1e^r1x+k2e^r2x, k1, k2 ∈R

2) b²−4ac= 0; il y a une solution r de l’équation caractéristique Alors la solution générale de l’équation différentielle est donnée par : y =k1e^rx+k2xe^rx, k1, k2 ∈R

3) b²−4ac < 0; Alors la solution générale de l’équation différentielle est donnée par : y =k1e^αxcos(βx) +k2e^αxsin(βx), avec α= ⁻2a^b , β= ^√4ac2a^−b2,k¹, k2 ∈R

Exemple

Énoncé

Trouver la solution de l’équationy^′′+ 2y^′+ 2y = 0 avecy(^π₄) = 2 (a) et y^′(^π₄) = −2(b)

Réponse

• Équation caractéristique : r²+ 2r+ 2 = 0, 2²−4·2·1<0

• Solution générale : y=k1e^−xcos(x) +k2e^−xsin(x) (1)

• Pour utiliser (b), il nous faut la dérivée de y : y^′ =k1e^−x(−cos−sinx) +k2e^−x(−sinx+cosx) (2)

• En introduisant (a) et (b) dans (1) et (2), on trouve :k1 =k2 =√ 2e^π4

• y=√

2e^π4(cosxe^−x+sinxe^−x)

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Exercice

Exercices :

Trouver toutes les solutions de :

y^′′+ 2y^′−15y = 0 (1)

y^′′+ 6y^′+ 9y= 0 (2)

y^′′−4y^′+ 13y = 0 (3)

y^′′+ 25y= 0 (4)

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Exercice

Réponses :

(1) y=k1e^3x+k2e^−5x, k1, k2 ∈R (2) y=k1e^−3x+k2xe^−3x, k1, k2 ∈R (3) y=e^2x(k¹cos3x+k2sin3x), k1, k2 ∈R (4) y=k1cos5x+k2sin5x, k1, k2 ∈R

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