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1. Écrire une procédure evalue qui à un polynôme P et une matrice carrée A associe P (A).

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Academic year: 2022

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(1)

TP-test

1. Écrire une procédure evalue qui à un polynôme P et une matrice carrée A associe P (A).

Tester cette procédure sur

A =

1 2 3

0 −1 6

0 0 2

 , P (x) = x

3

− 2x

2

− x + 2.

2. Les permutations sont données sous forme de liste. Par exemple,

τ =

1 2 3 4 5 3 4 2 5 1

est donnée sous la forme tau: [3, 4, 2, 5, 1].

Écrire une procédure valeurinverse qui a une permutation σ est un entier i associe l’entier σ

−1

(i). L’utiliser pour écrire une procédure donnant l’inverse d’une permutation σ. Tester cette procédure sur la permutation τ ci-dessus. Remarque : on ne demandera pas à ces procédures de vérifier que σ est bien une permutation.

3. Écrire une procédure donnant la matrice de transvection T

i,j

(λ) de taille n.

4. On dit que n ∈ N satisfait au test de Fermat pour le témoin a ∈ {1, ..., n − 1} si a et n ne sont pas premiers entre eux ou bien si n est un diviseur de a

n−1

− 1. Écrire une procédure testFermat(n,a) qui retourne true si n passe le test de Fermat de témoin a et retourne false sinon. Par exemple la procédure retournera true pour n = 561 et a = 3 et a = 7 mais false pour n = 400 et a = 3

5. On dit que n ∈ N est pseudo-premier s’il passe le test de Fermat pour tous les témoins a ∈ {1, ..., n − 1}. Écrire une procédure estPseudoPremier(n) qui teste si n est un pseudo-premier. Vérifier que 561 est pseudo-premier.

6. Un nombre pseudo-premier qui n’est pas premier est appelé nombre de Carmichael. Écrire une procédure Carmichael retournant les nombres de Carmichael inférieur ou égaux à 3000.

Aide-mémoire

— hipow permet de calculer le degré d’un polynôme.

— coeff permet d’extraire les coefficients d’un polynôme.

— Aˆˆk calcule la puissance k-ième de A, lorsque A est une matrice carrée.

— ident permet de créer une matrice identité.

— ematrix permet de créer une matrice élémentaire.

— length permet d’obtenir la longueur d’une liste.

— append permet de concaténer des listes.

— gcd permet de calculer le pgcd de deux nombres.

— mod permet de tester si un nombre est divisible par un autre.

— primep permet de tester si un nombre est premier.

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