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, on désigne par n un entier égal à 2 ou 3 et par A une matrice (n, n) symétrique dont les coecients a

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

MPSI B Année 2013-2014 Énoncé DM 18 pour le 26/05/14 29 juin 2019

Problème

Dans tout le problème

1

, on désigne par n un entier égal à 2 ou 3 et par A une matrice (n, n) symétrique dont les coecients a

ij

sont des entiers naturels non nuls. Les coecients de la diagonale principale de A sont des 1.

On désigne par M la matrice réelle carrée d'ordre n et de coecient m

ij

déni par : m

ij

= − cos π

a

ij

Dans le cas n = 2 , on notera

a = a

12

= a

21

, m = m

12

= m

21

= − cos

πa

On désigne par E un espace vectoriel euclidien orienté de dimension n dont le produit scalaire est noté (./.) . On se propose d'étudier les bases B = (e

1

, · · · , e

n

) telles que :

∀(i, j) ∈ J 1, n K

2

, (e

i

/e

j

) = m

ij

On dira alors que B vérie la propriété M .

Partie I. Existence d'une famille vériant M . 1. Calculer le déterminant de M pour n égal à 2 ou 3.

2. Montrer que s'il existe une base B vériant M alors a

ij

≥ 2 pour tous les couples (i, j) tels que i 6= j .

Dans toute la suite du problème, on suppose a

ij

≥ 2 pour tous les couples (i, j) tels que i 6= j .

3. Cas n = 2 . Construire une base directe vériant M .

4. Cas n = 3 . On veut construire une base directe B = (e

1

, e

2

, e

3

) vériant M . Soit (a

1

, a

2

, a

3

) une base orthonormée directe de E , on pose e

1

= a

1

.

a. Préciser un vecteur e

2

∈ Vect(a

1

, a

2

) tel que

(e

1

, e

2

, a

3

) directe et (e

1

/e

2

) = m

12

b. L'ensemble des vecteurs x de E tels que

( (x/e

1

) = m

13

(x/e

2

) = m

23 1d'après Centrale Supélec 2 PC 2005

forme une droite ane D .

Quelle est sa direction ? Calculer les coordonnées dans (a

1

, a

2

) du point d'inter- section D avec le plan Vect(a

1

, a

2

) . En déduire la distance du vecteur nul à la droite D .

c. Traduire par une propriété géométrique faisant intervenir D l'existence d'un vec- teur e

3

tel que (e

1

, e

2

, e

3

) vérie M .

d. Montrer que si det M > 0 il existe une base B vériant M . 5. Cas particulier n = 3 et

A =

1 3 2 3 1 4 2 4 1

Préciser M et montrer qu'il existe une base B vériant M . Partie II. Famille de réexions.

Dans cette partie, B = (e

1

, · · · , e

n

) est une base directe vériant M . On désigne par σ

i

la réexion telle que

σ

i

(e

i

) = −e

i

1. On considère deux vecteurs x et y de E admettant pour coordonnées dans B respecti- vement (x

1

, · · · , x

n

) et (y

1

, · · · , y

n

) . Comment peut-on traduire matriciellement qu'ils sont orthogonaux ?

2. Cas n = 2 .

a. Former les matrices S

1

, S

2

, T dans B de σ

1

, σ

2

et τ = σ

1

◦ σ

2

. Pour trouver S1 , on pourra par exemple considérer le vecteur me

1

− e

2

qui est orthogonal à e

1

. b. Soit C = (a

1

, a

2

) une base orthonormée directe avec a

1

= e

1

. Former les matrices

dans C de σ

1

, σ

2

et τ . En déduire la nature et les éléments géométriques de τ . 3. Cas n = 3 . Former les matrices S

1

, S

2

, S

3

dans B de σ

1

, σ

2

, σ

3

. On pourra par exemple

considérer les vecteurs m

12

e

1

− e

2

et m

13

e

1

− e

3

qui sont orthogonaux à e

1

. 4. Cas particulier n = 3 et

A =

1 3 2 3 1 4 2 4 1

 a. Former la matrice T de τ = σ

1

◦ σ

2

◦ σ

3

dans B .

b. Déterminer un vecteur unitaire u tel que τ(u) = −u puis une base orthonormée directe D = (u, v, w) . On choisira un vecteur v combinaison linéaire de e

1

et e

3

. c. Former la matrice de τ dans D . En déduire sa nature et ses éléments géométriques.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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Rémy Nicolai M1318E

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