MPSI B Année 2013-2014 Énoncé DM 18 pour le 26/05/14 29 juin 2019
Problème
Dans tout le problème
1, on désigne par n un entier égal à 2 ou 3 et par A une matrice (n, n) symétrique dont les coecients a
ijsont des entiers naturels non nuls. Les coecients de la diagonale principale de A sont des 1.
On désigne par M la matrice réelle carrée d'ordre n et de coecient m
ijdéni par : m
ij= − cos π
a
ijDans le cas n = 2 , on notera
a = a
12= a
21, m = m
12= m
21= − cos
πaOn désigne par E un espace vectoriel euclidien orienté de dimension n dont le produit scalaire est noté (./.) . On se propose d'étudier les bases B = (e
1, · · · , e
n) telles que :
∀(i, j) ∈ J 1, n K
2
, (e
i/e
j) = m
ijOn dira alors que B vérie la propriété M .
Partie I. Existence d'une famille vériant M . 1. Calculer le déterminant de M pour n égal à 2 ou 3.
2. Montrer que s'il existe une base B vériant M alors a
ij≥ 2 pour tous les couples (i, j) tels que i 6= j .
Dans toute la suite du problème, on suppose a
ij≥ 2 pour tous les couples (i, j) tels que i 6= j .
3. Cas n = 2 . Construire une base directe vériant M .
4. Cas n = 3 . On veut construire une base directe B = (e
1, e
2, e
3) vériant M . Soit (a
1, a
2, a
3) une base orthonormée directe de E , on pose e
1= a
1.
a. Préciser un vecteur e
2∈ Vect(a
1, a
2) tel que
(e
1, e
2, a
3) directe et (e
1/e
2) = m
12b. L'ensemble des vecteurs x de E tels que
( (x/e
1) = m
13(x/e
2) = m
23 1d'après Centrale Supélec 2 PC 2005forme une droite ane D .
Quelle est sa direction ? Calculer les coordonnées dans (a
1, a
2) du point d'inter- section D avec le plan Vect(a
1, a
2) . En déduire la distance du vecteur nul à la droite D .
c. Traduire par une propriété géométrique faisant intervenir D l'existence d'un vec- teur e
3tel que (e
1, e
2, e
3) vérie M .
d. Montrer que si det M > 0 il existe une base B vériant M . 5. Cas particulier n = 3 et
A =
1 3 2 3 1 4 2 4 1
Préciser M et montrer qu'il existe une base B vériant M . Partie II. Famille de réexions.
Dans cette partie, B = (e
1, · · · , e
n) est une base directe vériant M . On désigne par σ
ila réexion telle que
σ
i(e
i) = −e
i1. On considère deux vecteurs x et y de E admettant pour coordonnées dans B respecti- vement (x
1, · · · , x
n) et (y
1, · · · , y
n) . Comment peut-on traduire matriciellement qu'ils sont orthogonaux ?
2. Cas n = 2 .
a. Former les matrices S
1, S
2, T dans B de σ
1, σ
2et τ = σ
1◦ σ
2. Pour trouver S1 , on pourra par exemple considérer le vecteur me
1− e
2qui est orthogonal à e
1. b. Soit C = (a
1, a
2) une base orthonormée directe avec a
1= e
1. Former les matrices
dans C de σ
1, σ
2et τ . En déduire la nature et les éléments géométriques de τ . 3. Cas n = 3 . Former les matrices S
1, S
2, S
3dans B de σ
1, σ
2, σ
3. On pourra par exemple
considérer les vecteurs m
12e
1− e
2et m
13e
1− e
3qui sont orthogonaux à e
1. 4. Cas particulier n = 3 et
A =
1 3 2 3 1 4 2 4 1
a. Former la matrice T de τ = σ
1◦ σ
2◦ σ
3dans B .
b. Déterminer un vecteur unitaire u tel que τ(u) = −u puis une base orthonormée directe D = (u, v, w) . On choisira un vecteur v combinaison linéaire de e
1et e
3. c. Former la matrice de τ dans D . En déduire sa nature et ses éléments géométriques.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/