Les polynômes

Exercices d’application PROF : ATMANI NAJIB Tronc CS Avec solutions http:// xriadiat.e-monsite.com

Exercice1 :

Déterminer parmi les expressions suivantes ceux qui sont des polynômes et déterminer si c’est possible leurs degrés :

a 

 

^{1 3 2 2} 3

4 2

P x  x  x  ;^{Q x}

 

^{2x2 x x}

 

^{5 2 4 5}

R x  x  x ;

 

^{5 2 2 7 4}

M x 3x   x x

 

^{2 1} 3 N x x

  x ; ^{O x}

 

^{4 ; E x}

  

^{ a 1}



^{x4  x2 x 1}

Solution

:

 

P x est un polynôme et d P3

 

Q x et ^{R x}

 

^{et N x}

 

ne sont pas des polynômes

 

M x est un polynôme et

d M  4

 

O x est un polynôme et

d O  0

 

E x est un polynôme

Si a 1 0 cad a1 alors

d E  4

Si a1 alors

d E  2

Exercice2 :

Exercice1 : Déterminer un polynôme P de degré 2 tel que :

^P   ^{0  P}   ^{1  5}

^{et P}

 

^{ 2 3}

Solution

: P de degré 2 donc P s’écrit sous la forme :

 

²

P x  ax  bx  c

On a

^P   ^{0  5}

^donc

^{a      0}

²

^{b 0 c 5}

^donc

c  5

On a

^P   ^{1  5}

^donc

^{a      1}

²

^{b 1 c 5}

^donc

5

a    b c

donc

a    b 5 5

donc

a   b 0

①

On a

^P   ^{  2 3}

^donc

^{a  }   ²

²

^{     b}   ^{2 5 3}

donc

4 a  2 b   5 3

donc

4 a  2 b   2

②

donc On a le système suivant : 4 2 2 0 a b a b

  

  

 donc

4a 2b 2

b a

  

  

 donc

4 a  2 a   2

donc

6 a   2

donc

1

a   3

donc

1

b  3

Alors :

 

^{1 2 1 5}

3 3

P x   x  x

Exercice3 :

Lesquels des polynômes ci-dessous sont égaux ? Expliquez

 

^{2 3 2 2 3}

P x  x  x  x et ^{Q x}

 

^{2x x2}



^{  2}

  

^{x 1 2x3}



^et

  ²

³

³

²

^{2 3}

R x  x  x  x  Solution

:

deg (Q) = 3 deg (P) =3

Donc :

^{P x}   ^{ Q x}  

car deg (P) = deg (Q) et les coefficients de leurs monômes de même degré sont égaux Mais

^{P x}   ^{ R x}  

car les coefficients de leurs monômes de même degré ne sont pas égaux

Exercice4 :

soit :

^{P x}   ^{ x}

⁴

^{ 2 x}

³

^{ x}

²

^{ 1}

^et

 

⁵

 

⁴

 

^{3 2}

Q x  ax  b  c x  c  d x  dx  e

Déterminer

a

;

b

;

c

et

d

pour que :

P  Q Solution

:

P  Q

c a d

^{P x}   ^{ Q x}  

donc On a le système suivant :

0 1

2 1

1 a b c c d d c

 

  

   

 

  



donc

0; 1; 1

2 2 1 3

1 1 3 4

a d c

c d

b c

   

         

      



donc

^{Q x}   ^{ x}

⁴

^{ 2 x}

³

^{ x}

²

^{ 1}

Exercice5 :

soit les polynômes suivants :

  ¹²

⁴

³⁶

³

⁴⁷

²

^{30 7}

P x  x  x  x  x 

   ²

²

^{3 1} 

²



Q x  x  x  ax  bx  c

Déterminer

a

;

b

;

c

pour que :

P  Q Solution

:

P  Q

ssi

^{P x}   ^{ Q x}  

pout tout x

  

²



²



4 3 2 3 2 2

2 3 1

2 2 2 3 3 3

Q x x x ax bx c

ax bx cx ax bx cx ax bx c

    

        

  ²

⁴

 ^{2 3} 

³

 ^{2 3} 

²

 ³ 

Q x  ax  b  a x  c   b a x   b c x c 

Donc :

2 12

2 3 36

3 2 47 3 30

7 a b a

a b c

b c c

 

   

   

    

 



Donc :

0 9 7 a b c

 

  

  



On vérifie que :

a   3 b 2 c  47

est vraie Donc :

^{Q x}   ^  ^{2 x}

²

^{ 3 x  1 6}  ^x

²

^{ 9 x  7} 

  ²

²

 ²    ^{1 2 3}  ²

³

⁴

²

²

²

^{3 2 3}

Q x  x x    x x   x  x  x    x x

  ²

³

²

²

³

Q x  x  x   x

  ²

³

²

²

³

P x  x  x   x

Les polynômes

Exercice6 :

étudier l’égalité des polynômes dans les cas suivants :

1)^{P x}

 

^{ x3 2x2}



^{x 1}



^{x et Q x}

 

^x2



^{3x 2}



^x

2) ^{P x}

  

^{ x 1}



^{3 et Q x}

 

^{ x3 3x2 3x 1}

Solution

:

1)^{P x}

 

^{ x3 2x x2}



^{   1}



^{x x3 2x32x2 x 3x32x2x}

 

²



^{3 2}



^{3 3 2 2}

 

Q x x x  x x  x  x P x

  

¹



³

P x  x 2)  x³ 3x² 3x 1 Donc : ^{Q x}

 

^{ P x}

 

^car



^{3 3}



Exercice7 :

1): soient

^{P x}  

^et

^{Q x}  

deux polynômes I)Calculer dans chacun des cas suivants :

   

P x  Q x

;

^{P x}   ^{ Q x}  

^;

^{3 P x}   ^{ 2 Q x}  

1)

^{P x}   ^{ x}

³

^{ 2 x}

²

^{ 1}

^;

^{Q x}   ^{ 3 x}

⁴

^{ x}

³

^{ x}

2)

^{P x}   ^{ x}

⁵

^{ x}

²

^{ 3}

^;

^{Q x}   ^{   x}

⁵

^x

²

^{ 5}

II)Calculer

^{P x}   ^{ Q x}  

^et

 ^{P x}   

²

Dans chacun des cas suivants et comparer : deg (PQ) et deg (P) +deg (Q)

1)

^{P x}   ^{ x}

²

^{ 1}

;

^{Q x}   ^{ x}

²

^{ 2 x  3}

2)

^{P x}   ^{ x}

⁴

^{ x}

²

^{ 2}

^;

^{Q x}   ^{ 3 x  2}

Solution

: I) 1)

^{P x}   ^{ x}

³

^{ 2 x}

²

^{ 1}

^;

  ³

^{4 3}

Q x  x  x  x

On a :

^{P x}     ^{ Q x   x}

³

^{2 x}

²

^{  1 3 x}

⁴

^{  x}

³

^x

donc

^{P x}   ^{ Q x}   ^{ 3 x}

⁴

^{ 2 x}

²

^{  x 1}

On a :

^{P x}     ^{ Q x   x}

³

^{2 x}

²

^{  1 3 x}

⁴

^{  x}

³

^x

    ³

⁴

²

³

²

²

¹

P x  Q x   x  x  x   x

    

^{3 2}

 

^{4 3}



3 P x  2 Q x  3 x  2 x   1 2 3 x   x x

   

^{3 2 4 3}

3 P x  2 Q x  3 x  6 x   3 6 x  2 x  2 x

   

^{4 3 2}

3 P x  2 Q x   6 x  5 x  6 x  2 x  3

 

deg P  3

;

^deg   ^{Q  4}

^;

^deg  ^{P  Q}  ^{ 4}

^;

 

deg P  Q  4

I) 2)

^{P x}   ^{ x}

⁵

^{ x}

²

^{ 3}

^;

^{Q x}   ^{   x}

⁵

^x

²

^{ 5}

On a :

^{P x}     ^{ Q x}         ^x

⁵

^x

²

^{3 x}

⁵

^x

²

^{5 2}

On a :

^{P x}     ^{ Q x}        ^x

⁵

^x

²

^{3 x}

⁵

^x

²

^{8 2 x}

⁵

 ^{2 x}

²

 ⁸

    

^{5 2}

 

^{5 2}



3 P x  2 Q x  3 x  x     3 2 x x  5

   

^{5 2 5 2}

3 P x  2 Q x  3 x  3 x   9 2 x  2 x  10

   

^{5 2}

3 P x  2 Q x  5 x  5 x  19

 

deg P 5 ;

^deg   ^{Q  5}

^;

^deg  ^{P  Q}  ^{ 0}

^;

 

deg P Q   5

II) 1) on a

^{P x}   ^{ x}

²

^{ 1}

^;

^{Q x}   ^{ x}

²

^{ 2 x  3}

     

²

¹

²

^{2 3} 

⁵

²

⁴

³

^{3 2}

^{2 3}

P x Q x   x  x     x x x     x x x

 ^{P x}   

²

^  ^x

²

^{ 1}   

²

^{ x}

^{2 2}

^{ 2 x}

²

^{    1 1 x}

⁴

^{2 x}

²

^{ 1}

2)

^{P x}   ^{ x}

⁴

^{ x}

²

^{ 2}

^;

^{Q x}   ^{ 3 x  2}

     ^{3 2}  

^{4 2}

²  ³

⁵

²

⁴

³

³

²

²

^{6 4}

P x Q x    x x    x x  x   x x   x

 ^{P x}   

²

^  ^x

⁴

^{  x}

²

²  

²

^{ x}

⁴

^{  x}

²

²  ^x

⁴

^{  x}

²

² 

 ^{P x}   

²

^  ^x

⁴

^{ x}

²

^{ 2} 

²

^{ x}

⁸

^{ 2 x}

⁶

^{ 5 x}

⁴

^{ 4 x}

²

^{ 4}

 

deg P Q   5

^deg   ^{P  4}

^;

^deg   ^{Q  1}

Donc

^deg  ^{P Q }  ^{ deg}   ^{P  deg}   ^Q

^et

 

²

^{ }

deg P  2deg P

Exercice8 :

soit le polynôme : ^{P x}

 

^{ x3 2x2 5x 6}

Est-ce que les nombres suivants sont des racines du polynôme ^{P x}

 

(justifier) ? 1 ;2 ;3 ; -2

Solution

:

 

^{1 13 2 12 5 1 6 1 2 5 6 0}

P            donc 1 est racine du polynôme ^{P x}

 

 

^{2 23 2 22} 5 2 6 8 8 10 6 4 0 P             donc 2 n’est pas racine du polynôme ^{P x}

 

 

^{3 33 2 32 5 3 6 27 18 15 6 0}

P            donc 3 est racine du polynôme ^{P x}

 

   

^{2 23 2}

 

^{2 2 5}

 

^{2 6 8 8 10 6 0}

P                 donc -2 est racine du polynôme ^{P x}

 

Exercice9 :

soit le polynôme : ^{P x}

 

^{ x3 2x2 5x 6}

1)verifier que 1 est racine du polynôme ^{P x}

 

2)factoriser ^{P x}

 

Solution

:1)^P

 

^{1     2 12 1 1 0}

Donc : 1 est racine du polynôme ^{P x}

 

2) 1 est racine du polynôme ^{P x}

 

^{donc :}

^{P x}  

est divisible par

x  1

en Effectuant la division euclidienne de ^{P x}

 

par

x  1

On trouve : ^{Q x}

 

^2x1

donc : ^{P x}

  

^{ x 1 2}



^x1



Exercice10 :

soit le polynôme :

^{P x}   ^{  x}

³

^{3 x}

²

^{  2 x 6}

1) calculer

^P   ^{ 3}

et que peut-on dire ? 2)déterminer le le polynôme

^{Q x}  

tel que :

  

³

  

P x  x Q x

Solution

: 1)en remplaçons x par -3 dans le polynôme

 

³

³

²

^{2 6}

P x  x  x  x 

on a :

P                     ^{3 3}

³

^{3 3}

²

^{2 3}   ⁶ 27 27 6 6 0

donc -3 est racine du polynôme

^{P x}  

2)donc :

^{P x}  

est divisible par

x  3

Donc il existe un polynôme

^{Q x}  

tel que :

  

³

  

P x  x Q x et puisque le degré de

^{P x}  

est 3 donc le degré de

^{Q x}  

est 2 donc : ^{Q x}

 

^{ax2 bx c}

 ^{a  0} 

Methode1 :

^{P x}   ^{ x}

³

^{ 3 x}

²

^{ 2 x  6}

   ³  

²



P x   x ax   bx c

Donc :

^x

³

^{ 3 x}

²

^{ 2 x   6}  ^{x  3}   ^ax

²

^{ bx c } 

   

3 2

3 3 3

ax b a x c b x c

     

3 2

3

2

3 3

ax bx cx ax bx c

     

Donc :

a  1

et

b  3 a  3

et

3 c   6

Donc :et

b  0 a  1

et

c   2

Donc :^{Q x}

 

^x22

Methode2 :

^{P x}   ^{ x}

³

^{ 3 x}

²

^{ 2 x  6}

   

2

3 2 3

x x x

    ^{ }  ^{x 3}   ^x

²

^{ 2} 

^{donc :Q x}

 

^x22

Methode3 : Effectuer la division euclidienne de

 

³

³

²

^{2 6}

P x  x  x  x 

par

x  3

et déterminer le quotient et le reste

On a donc :

          ^{3 3 3}  

²

^{2 0   3}  

²

²

P x   x Q x     P x x     x x 

 

²

²

Q x  x 

est le quotient et ^P

 

^{ 3 0} le reste

Exercice11 :

Soit :

^{P x}   ^{ 2 x}

³

^{ 5 x}

²

^{ 4 x  3}

1)Montrer que

^{P x}  

est divisible par

x  3

2)factoriser

^{P x}  

Solution

:1) ^P

 

^{3 0 donc}

^{P x}  

est divisible par

x  3

2)en Effectuant la division euclidienne de

  ²

³

⁵

²

^{4 3}

P x  x  x  x 

par

x  3

On aura :^{P x}

  

^{  x 3}

 

^{2x2 x 1}



 

³

²

²

^{5 6}

P x   x x   x

1) Effectuer la division euclidienne de

 

P x

par

x  2

et déterminer le quotient

^{Q x}  

^{et le}

reste

2)montrer que

^{Q x}  

est divisible par

x  3

3) en déduire une factorisation du polynôme

P

on polynômes de 1ere degrés

Solution

:1)

Donc :

^{Q x}   ^{ x}

²

^{ 4 x  3}

le reste 0

2) ^Q

 

^{3 0} donc 3 est racine du polynôme ^{Q x}

 

Donc

^{Q x}  

est divisible par

x  3

3)on a :^{P x}

  

^{  x 2}

 

^x24x3



en Effectuant la division euclidienne de

 

Q x

par

x  3

On aura :^{Q x}

  

^{   x 3}

 

^{x 1}



Donc :^{P x}

  

     ^{x 2}

 

^{x 3}

 

^{x 1}



Exercice13 :

Soit :

^{P x}   ^{ x}

³

^{ 3 x}

²

^{ 6 x  8}

1)montrer que1 est racine du polynôme

P

2)montrer que

^{P x}    ^{ x  1}    ^{Q x}

Ou

^{Q x}  

est un polynôme a déterminer 3) montrer que -2 est racine du polynôme

Q

4) en déduire une factorisation du polynôme

P

on polynômes de 1ere degrés

5) résoudre dans l’équation

^{P x}   ^{ 0}

Solution

:1)

On a

P   ¹            ¹

³

^{3 1}

²

6 1 8 1 3 6 8 0

donc 1 est racine du polynôme

P

Donc

^{P x}  

est divisible par

x  1

2)Effectuons la division euclidienne de

^{P x}  

^par

x  1

On trouve :

^{P x}    ^{ x  1}   ^x

²

^{ 2 x  8} 

^①

donc :

^{Q x}   ^{ x}

²

^{ 2 x  8}

3)on a :

^Q     ^{   2 2}

²

       ²   ^{2 8 4 4 8 0}

Donc -2 est racine du polynôme

Q

Donc

^{Q x}  

est divisible par

x  2

4)Effectuons la division euclidienne de

^{Q x}  

par

x  2

On trouve :

^{Q x}    ^{ x  2}  ^{x  4} 

^②

D’après ① et ② on a : ^{P x}

  

^{ x1}



^x2



^x4



5)

^{P x}    ⁰

ssi



^x1



^x2



^x4



^0

ssi

x   1 0

ou

x   2 0

ou

x   4 0

  ⁰

P x 

ssi

x  1

ou

x   2

ou

x  4

les racines du polynôme

^{P x}  

Donc :

^{S  }  ^{2;1; 4} 

Exercice14 :

Soit :

^{P x}   ^{ 2 x}

³

^{ 3 x}

²

^{ ax  b}

Avec

a 

et

b 

1)déterminer

a

et

b

tels que a)

^{P x}  

soit divisible par

x  2

b)le reste de la division euclidienne de

^{P x}  

par

x  1

est

 12

2) factoriser

^{P x}  

dans ce cas

Solution

:1)

^{P x}   ^{ 2 x}

³

^{ 3 x}

²

^{ ax  b}

a)

^{P x}  

soit divisible par

x  2

donc :

^P   ^{2  0}

Donc :

2 2       

³

3 2

²

a 2 b 0

Donc :

2 a b   28 0    ¹

b) le reste de la division euclidienne de

^{P x}  

par

x  1

est

 12

donc : ^P

 

^{1  12 donc :}

^{a b    17 0}   ²

donc le couple

  ^{a b ,}

est solution du système suivant :

2 28 0

17 0 a b

a b

  

    



On résolvant le système on trouve :

a   11

et

b   6

Donc :

^{P x}   ^{ 2 x}

³

^{ 3 x}

²

^{ 11 x  6}

2) factorisation de

^{P x}  

dans ce cas :

 

P x

soit divisible par

x  2

donc :

   ^{2 2}  

²

^{7 3} 

P x  x  x  x 

Exercice15 :

Soit :

^{P x}   ^{ x}

³

^{ 3 x  2}

1)a)calculer

^P   ¹

et déterminer

^{Q x}  

^{tel que :}

   ¹   

P x  x  Q x

b)verifier que

^{P x}    ^{ x  2}  ^{x  1} 

²

2)soit



un réel tel que :

1    2

Donner un encadrement de

  2

et de :

 ^{  1} 

²

Et en déduire que :

^{0  P}   ^{  4}

Solution

:1)a)

^{P x}   ^{ x}

³

^{ 3 x  2}

  ^{1 1}

³

^{3 1 2 1 3 2 0}

P        

Donc

^{P x}  

soit divisible par

x  1

Effectuons la division euclidienne de

^{P x}  

^par

x  1

Donc :

^{P x}    ^{ x  1}   ^x

²

^{  x 2} 

b)vérifions que

^{P x}    ^{ x  2}  ^{x  1} 

^{2 ?}

 ^{x  2}  ^{x  1}  

²

^{ x  2}   ^x

²

^{ 2 x  1} 

 

3 2 2 2

2 2 4 2 4 2

x x x x x x x P x

         

2)

1    2

donc

3     2 4   ¹

Donc :

0     1 1

donc

^{0 }  ^{  1} 

²

^{ 1}   ²

De

  ¹

^et

  ²

on a alors :

^{0 }  ^{  2}  ^{  1} 

²

^{ 4}

Donc

^{0  P}   ^{  4}

Exercice16 :

Soit :

^{P x}   ^{ 2 x}

⁴

^{ 9 x}

³

^{ 14 x}

²

^{ 9 x  2}

1) verifier que 0 n’est pas racine du polynôme ^{P x}

 

2)montrer que si



est racine du polynôme ^{P x}

 

^alors

_ ¹

Est aussi racine du polynôme ^{P x}

 

3) verifier que 2 est racine du polynôme ^{P x}

 

4) en Effectuant la division euclidienne de^{P x}

 

^par

^{x  2}

Trouver un polynôme

^{Q x}  

tel que :

  

²

  

P x  x  Q x

5) en déduire que ¹ ₀ Q    2

6) déterminer les réels

a

;

b

;

c

tel que :

 

¹₂



²



Q x x   ax bxc

7) en déduire une factorisation du polynôme

P

on polynômes de 1ere degrés

Solution

:1)^P

 

^{0  2 0}Donc 0 n’est pas racine du polynôme ^{P x}

 

2) ^{P x}

 

racine du polynôme est



Ssi ^P

  ^

^{0 ssi}

^{2 }

⁴

^{ 9 }

³

^{ 14 }

²

^{ 9    2 0}

On calcul

1

P ؟

   

   

4 3 2

1 1 1 1 1

2 9 14 9 2

P^^^{ }^ ^{ }^ ^{ }^ ^{ }^^

4 3 2

1 1 1 1 1

2 9 14 9 2

P^ ^^{ } ^^{ } ^^{ } ^^{ }^^

2 3 4

4 4 4 4 4

1 2 9 14 9

2

P    

     

   

 

       

     

         

2 3 4

4

1 2 9 14 9 2

P    

 

   

  

 

 

Et puisque 2



⁴9



³14



²9



 2 0

Donc : 1 0₄

0

P

 

   

 

  Donc :

1



Est aussi racine du polynôme ^{P x}

 

3)P

 

2              2 2⁴ 9 2³ 14 2² 9 2 2 32 72 56 18 2

  ^{2 2 2}

⁴

^{9 2}

³

^{14 2}

²

^{9 2} 2 32 72 56 18 2

⁰

P               

Donc :2 est racine du polynôme ^{P x}

 

4)en Effectuant la division euclidienne de^{P x}

 

^par

^{x  2}

On trouve que :

^{P x}    ^{   x 2}   ^{2 x}

³

^{ 5 x}

²

^{ 4 x  1} 

5) on a 2 est racine du polynôme ^{P x}

 

Donc : 1

Est aussi racine du polynôme P x

 

Donc : 1 2 0

P     et puisque

^{P x}    ^{ x  2}    ^{Q x}

Alors : ¹ ₂ ¹ ₀

2 Q 2

    

   

    or ¹ 2 0

2

  

 

  Donc : 1

2 0 Q    

6)en Effectuant la division euclidienne de^{Q x}

 

^{par 1}

x2 On trouve :

 

¹



^{2 2 4 2}



Q x x2 x  x Donc : a2 et b 4 et c2

7)on a : ^{P x}

  

^{ x2}

  

^{Q x et}

 

¹



^{2 2 4 2}



Q x x2 x  x

Donc :

  

²



¹



^{2 2 4 2}



P x  x x2 x  x On factorise aussi : 2x²4x2

On remarque que 1 est racine

en Effectuant la division euclidienne de2x²4x2 par



^x1



On trouve :

^{2 x}

²

^{ 4 x   2}  ^{x  1}  ^{2 x  2} 

finalement :

  

²



¹



^{1 2}



²



P x  x x2 x x

 

 

²



²



¹



¹



¹



P x  x x2 x x

  

²



^{2 1}



¹



²

P x  x x x

« C’est en forgeant que l’on devient forgeron » Dit un proverbe.

C’est en s’entraînant régulièrement aux calculs et exercices Que l’on devient un mathématicien