Problèmes sur les séries de fonctions

Problèmes sur les séries de fonctions

1. Séries et intégrales.

2. Lemmes de pincement.

3. Fonctions eulériennes.

4. La fonction eulérienne ψψψ. ψ 5. Fonctions eulériennes.

6. Une série double.

7. Une série eulérienne alternée.

8. Séries associées à une fonction décroissante.

9. Fonctions ΓΓΓΓ incomplètes.

10. Zéros de la dérivée de X(X −−−− 1) … (X −−−− n).

11. Une série de fonctions.

12. Une série de fonctions.

13. Fonction ζζζζ de Riemann.

14. Fonction ηηηη de Dirichlet.

14 bis. Fonction ηηηη de Dirichlet.

15. Fonction ζζζζ complexe.

16. Fonction θθθθ de Jacobi.

17. Fonctions d’Abel.

18. Fonctions continues nulle part dérivables.

19. Un opérateur fonctionnel et ses applications.

20. Fonctions de Weierstrass et ondelettes.

Pierre-Jean Hormière ___________

Problème 1 : séries et intégrales

Ce problème explore les relations entre séries et intégrales. Les parties sont largement indépendantes. Il pourra être utile d’illustrer les raisonnements par des figures, tout en veillant à la rigueur des justifications.

Partie I : fonction décroissante.

1) Soient a ∈ N, f une fonction décroissante : [a, +∞[ → R⁺ .

Montrer que la série de terme général w_n =

∫

_nⁿ₋₁^{f(t).dt −} f(n) est convergente.

En déduire que la série

∑

^+∞

=a n

n

f )( converge si et seulement si la fonction f est intégrable.

2) Montrer qu’il existe une constante γ telle que 1 + 2 1 ₊

3

1 _{+ … +} n

1 = ln n + γ + o(1) Interpréter de diverses façons 1 −γ et γ comme une aire, et démontrer que 0 < γ < 1.

3) a) Domaine de définition réel de ζ(a) =

∑

^+∞

=1

1

n

na ? Montrer que ζ est continue sur ce domaine.

b) Montrer que la formule ζ(a) = limn→∞ 1+ _a 2

1 ₊ 3a

1 _{+ … +} na

1 ₋ a n ^a

−

−

1

1

permet de prolonger la fonction ζ à D = ]0, 1[ ∪ ]1, +∞[. Montrer que la fonction ainsi prolongée est continue sur D.

Partie II : fonction croissante, puis décroissante.

1) Soit f : R⁺ → R⁺ une fonction telle que f(0) = 0, croissante sur [0, A], décroissante sur [A,+∞[. Montrer que f est intégrable sur R⁺ si et seulement si la série

∑

^+∞

=0

) (

n

n

f converge.

Montrer qu’alors :

| ∫

₀^{+∞f(x).dx −−−−}

^∑

^+∞

=0

) (

n

n

f

|

≤ M = f(A).

2) a) Pour tout k ∈ N, montrer que la série

∑

^+∞

=

− 0

.

n

k nn

e converge. Soit A_k sa somme. Donner un équivalent de la suite (A_k) quand k → +∞.

b) Montrer que la fonction F(x) =

∑

^+∞

=

− 0

)

² cos(

.

n

n n x

e est définie, de classe C^∞ sur R, mais que sa

série de Taylor en 0, ^k

k k

k x

F .

! ) 0 (

0 )

∑

^+∞ (

=

, diverge en tout point x ≠ 0.

Partie III : lemmes de pincement.

1) Soit f : ]0, +∞[ → R₊ décroissante et intégrable. Montrer que la série

∑

^+∞

=1

) (

n

nh

f converge pour tout h > 0 , et que lim_h→0+ h.

∑

^+∞

=1

) (

n

nh

f =

∫

₀^+∞f(x).dx.

2) Quel est le domaine de définition réel de la fonction F(h) =

∑

^+∞

=

−

1 n

nh

n e ? Continuité, variations, limites au bord.

Equivalent de F(h) quand h → 0+ ? ( On rappelle que

∫

₀^{+∞e−t².dt =} ₂

^π

^).

En déduire que

∑

^+∞

=1 n

n

n x ∼

−x

1

π

quand x → 1−0.

3) Domaine de définition réel de G(x) =

∑

^+∞

=0

² n

xn ? Equivalent au V(1−) ? 4) Domaine de définition réel de H(x) =

∑

^+∞

=₁ 1+

n n n

x

x ? Equivalent au V(1−) ?

Partie IV : fonctions oscillantes.

1) Soit f : [a, b[ → R₊ une fonction réglée sur tout segment, a = a₀ < a₁ < a₂ < ... une suite croissante tendant vers b. Soit I_n =

∫

_a^a_n^n+1f(t).dt. Montrer que f est intégrable sur [a, b[ si et seulement si la série

∑

^+∞

=0 n

In converge, et, si tel est le cas, on a :

∫

[a,b[ f(t).dt =

∑

^+∞

=0 n

In . 2) Convergence et calcul de

∫

₀¹⁽¹_t ⁻

^[

¹_t

^]

^{).dt ?}

3) Soient a et b > 0. Montrer que l’intégrale

∫

₀^{+∞xa.exp(−xb.sin²x).dx} converge ssi b > 2a + 2.

Partie V : critère de Hardy.

1) Soit f : [0, +∞[ → C une fonction de classe C¹, telle que f ' soit intégrable sur [0, +∞[.

Montrer que la série de terme général w_n=

∫

_nⁿ₋₁^{f(t).dt −} f(n) est absolument convergente.

On pourra noter que w_n = −

∫

_nⁿ₋₁^{(t−n+1).f'(t).dt .}

2) Application : Natures des séries

∑

^+∞

=1

) cos(ln

n n

n ,

∑

^+∞

=1

) sin(

n n

n ?

Partie VI : intégrales de Jackson.

Soit b un réel > 0 , f : [0, b] → R ou C une fonction continue.

1) Montrer que, pour tout 0 < q < 1, la série ( 1 − q ).b

∑

^+∞

=0

) ( .

n

n nf q b

q converge.

Sa somme est appelée intégrale de Jackson de f et notée

∫

₀^bf(x).dqx.

2) Montrer que f →

∫

₀^bf(x).dqx est linéaire continue (pour la norme uniforme) ; quelle est sa norme triple ?

3) Montrer que lim_q→1−0

∫

₀^{bf(x).dqx =}

∫

₀^bf(x).dx.

4) Application (Fermat) : Calculer par ce moyen

∫

₀^bxα.dx pour α ≥ 0 .

Partie VII : fonction de comptage d’une suite.

Soit (a_n) une suite de réels > 0 tendant vers 0. Pour tout x > 0, soit N(x) = card{ n ∈ N ; an ≥ x }.

Montrer que la fonction N est bien définie et monotone ; limites en 0+ et + ∞ ? Montrer que la série

∑

^+∞

=0 n

an converge si et seulement si la fonction N est intégrable sur ]0, +∞[, et qu’alors

∑

^+∞

=0 n

an=

∫

₀^+∞N(x).dx.

___________

Problème 2 : lemmes de pincement

1) a) Soit a un paramètre réel. Etudier les variations de la fonction f_a : t → t^a−1e^−t . b) Discuter selon les valeurs de a la nature de l’intégrale

∫

₀^{+∞ta−1e−t.dt.}

c) On pose Γ(a) =

∫

₀^{+∞ta−1e−t.dt} pour a > 0. Montrer que Γ(a + 1) = a.Γ(a).

d) On admet que Γ(½) =

π

. En déduire la valeur de

∫

₀^{+∞e−t².dt.}

2) Soit f : ]0, +∞[ → R⁺ une fonction décroissante et intégrable. Montrer que, pour tout h > 0, la série

∑

^+∞

=1

) (

n

nh

f converge, et que : lim _h→0+ h

∑

^+∞

=1

) (

n

nh

f =

∫

₀^{+∞f( dtt). .}

3) Soit f : [0, +∞[ → R une fonction réglée, décroissante sur [A, +∞[, et intégrable. Montrer que, pour tout h > 0, la série

∑

^+∞

=1

) (

n

nh

f converge, et que : lim _h→0+ h

∑

^+∞

=1

) (

n

nh

f =

∫

₀^{+∞f( dtt). .}

On pourra écrire h.

∑

^+∞

=1

) (

n

nh

f = h.

∑

= N

n

nh f

1

)

( + h

∑

^+∞

+

= 1

) (

N n

nh

f , où N =

[

h A

]

^.

4) Soit f : ]0, +∞[ → E (Banach) une fonction réglée. On suppose qu’existe g : ]0, +∞[ → R décroissante et intégrable, telle que (∀x > 0) ||f(x)|| ≤ g(x). Montrer que f est intégrable, que, pour tout h > 0, la série

∑

^+∞

=1

) (

n

nh

f converge, et que : lim _h→0+ h

∑

^+∞

=1

) (

n

nh

f =

∫

₀^{+∞f( dtt). .}

5) a) Domaine de définition de la fonction F_a(x) =

∑

^+∞

=

−

− 1

1.

n

nx

a e

n ?

Montrer que 6)

a) Domaine de définiton réel de

∑

^+∞

=1 n

n

n

x ; équivalent au V(1−) [ poser x = e^−h] .

b) Domaine de définition réel de

∑

^+∞

=0

² n

xn ; équivalent au V(1−) . c) Mêmes questions pour

∑

^+∞

=₁ 1+

n n n

x

x ,

∑

^+∞

=₁ 1−

n n n

x

nx et

∑

^+∞

=₁ −1 ) ln(

n n

n

x x .

d) Montrer que

∑

^+∞

=₁ 1−

n n n

x x =

x

−−x

− 1

) 1

ln( +

−x 1

γ _{+ o(}

−x 1

1 _{) au V(1−) .}

[

Indication : On rappelle que γ =

∫

^+∞e−t( ₋ ¹ ₋ ^{−1).dt .}

^]

__________

Corrigé

1) Rappelons qu’une fonction décroissante est réglée sur tout segment.

On a l’encadrement intégral :

∫

_h^{(N+1)hf(x).dx ≤ h.}

^∑

= N

n

nh f

1

)

( _≤

∫

₀^{Nhf(x).dx ≤}

∫

₀^+∞f(x).dx.

La suite N →

∑

= N

n

nh f

1

)

( est croissante majorée, donc elle converge, et la série

∑

^+∞

=1

) (

n

nh

f converge.

Fixons h > 0 et faisons tendre N vers l’infini. Il vient :

∫

_h^{+∞f ).(x dx ≤ h.}

^∑

^+∞

=1

) (

n

nh

f _≤

∫

₀^+∞f(x).dx.

En vertu du lemme des gendarmes, h.

∑

^+∞

=1

) (

n

nh

f tend vers

∫

₀^{+∞f(x).dx quand h} tend vers 0+.

2) Soit f : [0, +∞[ → R une fonction réglée, décroissante sur [A, +∞[, et intégrable.

Pour tout h > 0, la série

∑

^+∞

=1

) (

n

nh

f converge, pour la même raison qu’en 1).

Ecrivons h.

∑

^+∞

=1

) (

n

nh

f = h.

∑

= N

n

nh f

1

)

( + h

∑

^+∞

+

= 1

) (

N n

nh

f , où N =

[

h A

]

^.

D’une part, h.

∑

= N

n

nh f

1

)

( _→

∫

₀^Af(x).dx par un argument de sommes de Riemann.

D’autre part, h

∑

^+∞

+

= 1

) (

N n

nh

f _→

∫

_A^{+∞f ).(x dx} par encadrement comme ci-dessus.

4) Applications.

a) Equivalent de

∑

^+∞

=1 n

n

n

x au V(1−) .

Cette série entière a pour rayon de convergence 1. Son domaine de définition exact est [−1, 1[.

Soit F(x) sa somme. La série converge uniformément sur [−1, 0] en vertu de la majoration du reste dans le critère des séries alternées, et normalement sur tout segment [0, r], 0 < r < 1.

Par conséquent, F est continue sur [−1, 1[ .

Lorsque x tend vers 1− , F(x) → +∞ par associativité de bornes supérieures.

Posons x = e^−h ; alors F(x) =

∑

^+∞

=

−

1 n

nh

n e =

h h

∑

^+∞

=

−

1 n

nh

nh e =

h h

∑

^+∞

=1

) (

n

nh f , où f(x) =

x e^−x

est positive, décroissante et intégrable sur ]0, +∞[ (pourquoi ?).

En vertu de 1), F(x) ∼ h

1

∫

₀^{+∞f(x).dx = 1}_h ^{Γ(1/2) =}

^π

_h ⁼ _−ln

^π

_x ^∼ ₁₋

^π

_x ^.

b) Équivalent de

∑

^+∞

=0

² n

xn au V(1−) . La fonction F(x) =

∑

^+∞

=0

² n

xn est définie sur ]−1, 1[.

En effet, pour |x| < 1, la série converge absolument par d’Alembert.

Pour |x| ≥ 1, elle diverge grossièrement. Pour |x| ≤ r < 1, |x^n²| ≤r^n²; il y a convergence normale.

Donc F est continue sur ]−1, 1[. Elle croit sur [0, 1[ et tend vers +∞ quand x tend vers 1−, par associativité de bornes supérieures. Posons x = e^−h ; alors F(x) =

∑

^+∞

=

− 0

² n

h

e n .

Comme f(x) = e^−x² est positive, décroissante et intégrable sur [0, +∞[ (pourquoi ?), on a :

h

∑

^+∞

=

− 0

²

² n

h

e n _→

∫

₀^{+∞f(x).dx =}

^π

^{, donc h}

^∑

^+∞

=

− 0

² n

h

e n _→

π

^{, et F(x)} ∼

π

h ₌ x

−ln

π

_∼

−x 1

π

_.

c) Équivalents de

∑

^+∞

=₁ 1+

n n n

x

x ,

∑

^+∞

=₁ 1−

n

n n

x

nx et

∑

^+∞

=₁ −1 ) ln(

n n

n

x

x au V(1−) .

La fonction F(x) =

∑

^+∞

=₁ 1+

n n n

x

x est définie sur ]−1, 1[.

En effet, pour |x| < 1, la série converge absolument par d’Alembert.

Pour |x| > 1 ou x = 1, elle diverge grossièrement. Pour x = −1, elle n’est pas définie.

Pour |x| ≤ r < 1,

|

+1

n n

x x

|

≤

+1

n n

r

r ≤ rⁿ ; il y a convergence normale de la série.

Par conséquent, F est continue sur ]−1, 1[. De plus, elle est croissante sur [0, 1[ comme somme de fonctions croissantes, et tend vers +∞ en 1– par associativité de bornes supérieures.

Posons x = e^−h ; alors F(x) =

∑

^+∞

= −

− 11+

n

nh nh

e

e =

∑

^+∞

=1

) (

n

nh

f , où f(x) = _x

x

e e

−

−

+

1 ^{= 1 −} 1+1e^−x est positive, décroissante et intégrable sur [0, +∞[ (pourquoi ?).

En vertu de 1), F(x) ∼ h

1

∫

₀^{+∞f(x).dx = ln}_h^{2 =} ₋^ln_ln²_x ^∼ ₁^ln₋²_x^.

d) Montrons que

∑

^+∞

=₁ 1−

n n n

x x =

x x

−−

− 1

) 1

ln( +

−x 1

γ _{+ o(}

−x 1

1 _{) au V(1−) ;}

[ Indication : On rappelle que γ =

∫

₀^+∞e−t(_1−exp(¹ _−t)⁻¹_t ^{).dt .]}

_________

Problème 3 : fonctions eulériennes

1) Une équation fonctionnelle.

Dans cette question, on s’intéresse aux fonctions continues ω : ]0, +∞[ → R vérifiant : ω(1) = 0 et (∀x > 0) ω(x + 1) −ω(x) = ln x (1) a) Si ω₀ est une fonction vérifiant ces propriétés, comment trouver les autres ?

b) Montrer que (∀x > 0) (∀n ≥ 1) ω(x + n) = ω(x) + ln x + ln(x + 1) + ... + ln(x + n − 1).

Calculer ω(n).

c) Soit ϕ la restriction de ω à ]0, 1]. Montrer que ϕ est continue et vérifie : ϕ(1) = 0 et ϕ(x) = − ln x + o(1) au V(0+) .

d) Réciproquement, montrer que toute fonction ϕ : ]0, 1] → R vérifiant ces propriétés est restriction d’une unique fonction ω . Exemple de fonction ω ?

e) Au moyen d’un encadrement intégral, montrer que ω(x) = x.ln x − x + O(ln x) au V(+∞) . 2) La fonction ΩΩΩΩ.

On suppose qu’existe une fonction Ω : ]0, +∞[ → R , convexe et vérifiant (1) .

a) Montrer que : (∀x ∈ ]0, 1]) (∀n ≥ 2) x.ln(n − 1) ≤Ω(x + n) −Ω(n) ≤ x.ln n . En déduire : ∀x > 0 lim_n→+∞ Ω(x + n) − Ω(n) − x.ln n = 0 . ( Commencer par x ∈ ]0, 1], etc. )

b) En déduire : Ω(x) = lim_n→+∞ x.ln n − ln x −

∑

= +

n

k k

x

1

) 1

ln( (2)

Ω_n(x) = x.ln n − ln x −

∑

= +

n

k k

x

1

) 1

ln( converge,

et que sa limite Ω(x) est convexe et vérifie les conditions (1). Conclusion ? d) On rappelle que γ = lim_n→+∞ 1 +

2

1 _{+ ... +} n

1 ₋ ln n . Montrer que : (∀x > 0) Ω(x) = − γ.x − ln x +

∑

^+∞

=1 n

{ n

x _{− ln(1 +} n

x_{) }} (3) Domaines de convergence uniforme de cette série ?

e) Montrer que Ω est de classe C¹ et exprimer sa dérivée Ψ sous forme de série.

f) Montrer que Ψ est C^∞. En déduire que Ω est C^∞. Variations et graphe de Ω. g) Montrer qu’au V(0+) Ω(x) = − ln x + Ψ(1).x + Ψ'(1).

! 2

²

x _{+ ... + Ψ(p−1)(1).}

! p x^p

+ O(x^p+1) 3) La fonction ΨΨΨΨ.

On rappelle que : Ψ(x) = − γ − x 1 ₊

∑

^+∞

=1 n

{n 1 ₋

x+1n_{} (4)}

a) Montrer que Ψ est monotone, concave sur ]0, +∞[, et que (∀x > 0) Ψ(x + 1) −Ψ(x) = x 1_. b) Exprimer Ψ(1) , Ψ(2) , ... , Ψ(p) ( p ∈ N* ), à l’aide de γ .

c) Limite et d. a. de Ψ(x) en 0+ ? Montrer que Ψ(x) = ln x + o(1) au V(+∞) . Graphe de Ψ ? d) Montrer que :

(∀x > 0) Ψ(x) = lim_n→+∞ ln n −( x 1 ₊

1 1+

x ^{+ ... +} x+1n₎ (5) (∀x > 0) Ψ(x) = ln x +

∑

^+∞

=0 k

{ ln(1 +

x+1k _{) −}

x+1k _{} (6)} Domaines de convergence de cette série ? Retrouver que Ψ(x) = ln x + o(1) au V(+∞) . e) Montrer que Ψ est développable en série entière au V(1), et que pour |x| < 1 :

Ψ(1 + x) = −γ +

∑

^+∞

=

− + 1

) 1

1 (

p

p ζ(p + 1).x^p .

Plus généralement, montrer que ψ est dse en tout point x₀ de ]0, +∞[.

4) Applications.

a) Soit (a_n)_n≥1 une suite T-périodique. Montrer que la série

∑

^+∞

=1 n

n

n

a converge si et seulement si

∑

= T

n

an 1

= 0. Exprimer alors sa somme à l’aide de la fonction Ψ . b) Montrer la convergence des séries

∑

^+∞

=0( +1)( + 2) 1

n n n ^et

∑

^+∞

=⁰ + + )( +2) 3 )( 1 1 (

1

n n n n ^.

Exprimer leurs sommes à l’aide de la fonction Ψ [Utiliser 1.e).]

5) La fonction ΓΓΓΓ.

a) Quel est le domaine de définition réel de : Γ(x) = e ^t.t^x .dt

0

∫

^{+∞ − −}1 ^?

b) Montrer que Γ est de classe C² et vérifie : (∀x > 0) Γ(x).Γ"(x) ≥Γ'²(x) . c) Montrer que : (∀x > 0) Ω(x) = ln Γ(x) et Ψ(x) =

) (

) '(

x Γ x Γ .

d) En déduire : Γ(x) = lim_n→+∞ n^x.

) )...(

1 (

! n x x

x

n +

+ (Gauss)

Γ(x) = x e^−γx

∏

^+∞_{= +}

1 /

1

n n x

n x

e (Weierstrass)

6) La fonction ΒΒΒΒ.

a) Domaine de définition réel de Β(x, y) =

∫

₀^{1 tx−1( 1 − t )y−1.dt ?}

b) Montrer que B(x, y) = B(y, x) et B(x + 1, y) = y x

+x .B(x, y) (∀x & y > 0) c) Montrer que Β(x, y) = 2

∫

₀^{π2 cos2x−1(θ).sin2y−1(θ).dθ .}

d) Soient I un intervalle quelconque, f et g deux fonctions I → R*₊ continues par morceaux et inégrables, a et b deux réels ≥ 0 tels que a + b = 1.

Montrer que t → (f(t))^a.(g(t))^b est intégrable, et que

∫

_I f(t)^a.g(t)^b.dt ≤ a

∫

_I f(t).dt + b

∫

_I g(t).dt . e) Montrer la formule d’Euler : B(x, y) =

) (

) ( ).

( y x

y x

+ Γ Γ

Γ _(∀x & y > 0) [ On considérera, à y > 0 fixé, la fonction x → B(x, y).Γ(x + y)/Γ(y) ]

f) Calculer Γ(1/2). Existence et valeur de

∫

₀^{+∞e−t².dt ?}

___________

Corrigé : les fonctions eulériennes ΩΩΩΩ, ΓΓΓΓ, ΨΨΨ Ψ Le but de ce problème est de démontrer le théorème suivant :

Il existe une et une seule fonction Γ : ]0, +∞[ → ]0, +∞[ vérifiant :

i) Γ(1) = 1 ; ii) (∀x > 0) Γ(x + 1) = x.Γ(x) ; iii) la fonction x → ln Γ(x) est convexe.

Cette fonction vérifie

La formule de Gauss : Pour tout x > 0, Γ(x) = limn→+∞ ( 1)...( )

! .

n x x

x

n n^x

+

+ ^.

La formule de Weierstrass : Pour tout x > 0, ) ( 1

Γ x ^{= x eγx}

∏

_n^+∞₌₁ ^{e−nx( 1 +} _n^x)

Si l’on considère la fonction Ω : x → ln Γ(x), ce théorème est équivalent à celui-ci : Il existe une et une seule fonction Ω : ]0, +∞[ → R vérifiant :

i) Ω(1) = 0 ; ii) (∀x > 0) Ω(x + 1) −Ω(x) = ln x ; iii) la fonction Ω est convexe.

Cette fonction vérifie

La formule de Gauss : Pour tout x > 0, Ω(x) = lim_n→+∞ x.ln n – ln x −

∑

= +

n

k kx

1

) 1 ln( . La formule de Weierstrass : Pour tout x > 0, Ω(x) = − γ.x − ln x +

∑

^+∞

=1 n

{n

x _{− ln(1 +} n x_{) }.}

1) Une équation fonctionnelle.

Soit ω une fonction continue : ]0, +∞[ → R vérifiant :

ω(1) = 0 et (∀x > 0) ω(x + 1) −ω(x) = ln x (1)

a) Si ω0 est une fonction vérifiant ces propriétés, par soustraction, les autres sont de la forme ω = ω0 + p, où p est une fonction continue 1-périodique ]0, +∞[ → R telle que p(1) = 0.

b) Fixons x > 0. Par récurrence sur n, ω(x + n) = ω(x) + ln x + ln(x + 1) + ... + ln(x + n − 1).

En particulier ω(n) = ω(1) + ln 1 + ln 2 + ... + ln(n – 1) = ln (n – 1)!

c) La restriction ϕω à ]0, 1] est continue en tant que restriction, et vérifie : ϕ(1) = 0 et ϕ(x) = ω(x) = − ln x + ω(x + 1) = − ln x + o(1) au V(0+), car ω(x + 1) → ω(1) quand x → 0+.

d) Réciproquement, soit ϕ une fonction : ]0, 1] → R vérifiant ces propriétés.

Si ω prolonge ϕ, on a nécessairement en vertu des résultats précédents : ω(x) = ϕ(x) pour 0 < x ≤ 1

ω(x) = ϕ(x − n + 1) + ln(x − n + 1) + … + ln(x − 1) pour n − 1 < x ≤ n.

Cela montre l’unicité de la fonction cherchée.

La fonction ainsi définie vérifie bien : ω(1) = 0 et ω(x + 1) −ω(x) = ln x . Elle est continue sur chaque intervalle ]n−1, n[, et elle est continue en 1, car : lim_x→1−0ω(x) = lim_x→1−0ϕ(x) = ϕ(1) = 0 et

lim_x→1+0ω(x) = lim_h→0+ω(1 + h) = lim_h→0+ϕ(h) + ln h = 0.

Par appels répétés de la formule ω(x + 1) = ω(x) + ln x, c’est-à-dire par récurrence, on en déduit que ω est continue en tous les entiers n ≥ 1.

Exemple de fonction ω : il suffit de prendre pour fonction ϕ(x) = − ln x.

Cependant nous allons voir dans la suite que ce choix n’est pas le plus pertinent.

e) Montrons que ω(x) = x.ln x − x + O( ln x ) au V(+∞) .

Notons tout d’abord la fonction b(x) = ω(x) + ln x est bornée sur ]0, 1], car continue et delimites nulles en 0 et 1. Si n − 1 < x ≤ n.ω(x) =

∑

⁻

=² −

1

) ln(

n

k

k

x + b(x – n + 1).

Un encadrement intégral basé sur la croissance du ln donne : ln(x + n – 2) +

∫

_x^x₋⁻_n¹₊₂ ^{lnt.dt ≤}

∑

⁻

=² −

1

) ln(

n

k

k

x _≤

∫

_x^x_−n+2 ^lnt.dt, où 1 < x – n + 2 ≤ 2.

(x – 1).ln(x – 1) – (x – 1) = (x – 1).(ln x − x 1 _{+ O(}

² 1

x ^{) ) −} x + 1 = x.ln x – x + O( ln x ) D’où, par encadrement, ω(x) = x.ln x − x + O( ln x ) au V(+∞) .

2. Théorème de Bohr-Mollerup (1922).

Nous nous proposons de démontrer le théorème suivant :

Théorème : Il existe une unique fonction Ω : ]0, +∞[ → R vérifiant :

i) Ω(1) = 0 ii) ∀x > 0 Ω(x + 1) − Ω(x) = ln x iii) Ω est convexe Analyse. Soit f une fonction satisfaisant les hypothèses de ce théorème.

Tout d’abord, pour tout entier n ≥ 1, f(n) = ln (n − 1)! . Cela découle par récurrence de i) et ii).

Je dis que ∀x ∈ ]0, 1] ∀n ∈ N* x.ln(n − 1) ≤ f(n + x) − f(n) ≤ x.ln n.

En effet, la convexité de f implique que la pente de la corde joignant les points M(n, f(n)) et P(n + x, f(n + x)) est comprise entre la pente de la corde joignant les points A(n−1, f(n−1)) et M, et la pente de la corde joignant les points M et B(n + 1, f(n + 1)). Faire un dessin !

Du coup, pour tout x ∈ ]0, 1] , f(n + x) = f(n) + x.ln n + o(1) quand n → + ∞.

Cette formule est également vraie pour x + 1, x + 2, etc., et de proche en proche pour tout x > 0.

En effet f(n + x) = f(n) + x.ln n + o(1) implique

f(n + x + 1) = f(n + x) + ln(n + x) = f(n) +x.ln n + ln n + o(1) = f(n) + ( x + 1 ).ln n + o(1).

Fixons x > 0. f(x) = f(x + n) – ln x – ln(x + 1) − … − ln(x + n)

= f(n) + x.ln n – ln x – ln(x + 1) − … − ln(x + n) + o(1) = lim_{n →+∞} x.ln n – ln x −

∑

= +

n

k k

x

1

) 1 ln( . Cela montre l’unicité de la fonction f cherchée.

Synthèse. Notons Ωn(x) = x.ln n – ln x −

∑

= +

n

k kx

1

) 1 ln( .

Démontrons que (Ωn(x)) converge. Pour cela, fixons x et transformons cette suite en série : Ωn(x) =

∑

= n

k k x u

1

)

( , où pour n > 1 u_n(x) = Ωn(x) −Ωn−1(x) = − x.ln(1 − n

1) – ln(1 +

nx_{) = O(}

² 1 n ^).

Ainsi, (Ωn(x)) converge en tant que suite des sommes partielles d’une série absolument convergente.

On peut aussi montrer qu’elle est de Cauchy. Il reste à montrer que Ω(x) vérifie les trois hypothèses.

i) Ωn(1) = ln n −

∑

= + −

n

k

k k

1

)]

ln(

) 1

[ln( = − ln( 1 +

n

1_{) → 0.}

ii) ∀x > 0 Ωn(x + 1) −Ωn(x) = ln n – ln(x + 1) + ln x − ln(x + n + 1) + ln(x + 1) = ln x − ^{ln(1 +}

n

x 1+ _{) → ln x.}

iii) Chaque fonction Ωn est convexe, comme somme de fonctions convexes, ou parce que Ωn’’(x) =

∑

= +

n

k ₀(x1k)². Or une limite simple de fonctions convexes est convexe.

Reste à montrer la continuité de Ω. Nous la démontrerons dans la question suivante, mais, à vrai dire, une fonction convexe sur un intervalle ouvert est toujours continue, car dérivable à droite et à gauche en tout point.

d) Montrons que (∀x > 0) Ω(x) = − γ.x − ln x +

∑

^+∞

=1 n

{n

x _{− ln(1 +} n

x_{) }} (3) Ωn(x) = x.ln n – ln x −

∑

= +

n

k kx

1

) 1

ln( = x.ln n − x

∑

= n

k₁k1 _{– ln x +}

∑

= − +

n

k kx

k x

1

)]

1 ln(

[ = −γ.x − ln x + [ ln(1 )]

1

∑

ⁿ= − +

k kx

kx _{+ o(1).}

On en déduit par soustraction que la série [ ln(1 )]

1

∑

^+∞

=

+

−

k k

x k

x (ce qu’on peut d’ailleurs montrer directement), et en passant à la limite, que (∀x > 0) Ω(x) = −γ.x − ln x + [ ln(1 )]

1

∑

^+∞

= − +

k k

x k

x _{. cqfd}

Cherchons des domaines de convergence uniforme de cette série.

Partons de la formule ∀u ≥ 0 u – 2²

u _≤ ln(1 + u) ≤ u.

Elle implique 0 ≤ uk(x) =

kx _{− ln(1 +} kx_{) ≤}

² 2²

k x _≤

² 2 ² k A _. La série converge normalement sur tout segment [0, A].

e) Montrons que Ω est de classe C¹ .

Considérons la série de fonctions U(x) =

∑

^+∞

=1

) (

k k x

u = [ ln(1 )]

1

∑

^+∞

= − +

k k

x k

x _.

Nous savons qu’elle converge simplement sur R₊. Formons la série dérivée

∑

^+∞

=1

) ( '

k k x

u = [1 1 ]

1

∑

^+∞

= − +

k k x k ⁼

∑

^+∞

=₁ ( + )

k k xxk _.

Cette série converge normalement sur tout segment [0, A], car 0 ≤ uk’(x) ≤

² kA_. En vertu du théorème de dérivation terme à terme des séries,

∑

^+∞

=1

) (

k k x

u est une fonction de classe C¹ et ayant pour dérivée

∑

^+∞

=1

) ( '

k k x

u = [1 1 ]

1

∑

^+∞

= − +

k k x k ⁼

∑

^+∞

=₁ ( + )

k k x k

x _. Par conséquent, Ω est de classe C¹ et a pour dérivée

Ω’(x) = Ψ(x) = − γ − x 1 ₊

∑

^+∞

=1 n

{n 1 ₋

x+1n_{} = − γ −} x 1 ₊

∑

^+∞

=₁ ( + )

k k xxk _. f) Montrons que Ψ est C^∞.

Formons les séries dérivées successives de

∑

^+∞

=1

) ( '

k k x

u = [1 1 ]

1

∑

^+∞

= − +

k k x k ^.

Ce sont

∑

^+∞

=1

) ( ''

k k x u =

∑

^+∞

=₁( +1)²

k x k ^,

∑

^+∞

=1

) ( '''

k

k x

u =

∑

^+∞

= −+

1

)3

( 2

k x k ^{, ...,}

∑

^+∞

=1 ) ( ( )

k p

k x

u =

∑

^+∞

= − + −

1 ( )

)!

1 ( ) 1 (

k

p p

k x

p .

Toutes ces séries convergent normalement sur R₊. Par applications répétées du théorème de dérivation terme à terme des séries, U est C^∞sur R₊, donc Ψ est C^∞ sur ]0, +∞[, ainsi que Ω.

Ω’’(x) = Ψ’(x) =

∑

^+∞

=₀( +1 )²

k x k ^{, Ω’’’(x) = Ψ’’(x) =}

∑

^+∞

= −+

0

)3

( 2

k x k , ... , et plus généralement : Ω^(p+1)(x) = Ψ^(p)(x) =

∑

^+∞

= +

−

−

1 ( )

)!

1 ( ) 1 (

k

p p

k x

p . On peut maintenant étudier les variations de Ω.

Comme Ω(1) = Ω(2) = 0, en vertu du théorème de Rolle ∃c ∈ ]1, 2[ Ω’(c) = 0.

Ω’ étant croissante, Ω est décroissante sur ]0, c], croissante sur [c, +∞[.

Elle tend vers +∞ en 0+, et vers +∞ en +∞, avec une direction asymptotique verticale.

g) Montrons qu’au V(0+) Ω(x) = − ln x + Ψ(1).x + Ψ'(1).

! 2

²

x _{+ ... + Ψ}^(p−1)_(1).

! p x^p

+ O(x^p+1) . Cela découle de la formule de Taylor-Young :

Ω(x) = − ln x + Ω(1 + x) = − ln x + Ω(1) + Ω’(1).x + Ω’’(1).

! 2

²

x _{+ ... + Ω}^(p)_(1).

! p x^p

+ O(x^p+1) . = − ln x.Ψ(1).x + Ψ'(1).

! 2

²

x _{+ ... + Ψ}^(p−1)_(1).

! p x^p

+ O(x^p+1) .

A noter que Ψ(1), Ψ'(1), ... , Ψ^(p−1)(1) s’expriment à l’aide de la fonction ζ.

Avec Maple, qui connaît très bien ces sujets…

> with(plots):

> p:=plot(GAMMA(x),x=0..8,-0.5..10,thickness=2):

q:=plot(ln(GAMMA(x)),x=0..9,-0.5..10,thickness=2,color=blue):

display({p,q});

> Omega:=x->ln(GAMMA(x));

Ω := x → ln(Γ( )x )

> series(Omega(1+x),x=1,6);

(1 − γ)(x − 1) 

 



− + 1 2

1

12π² (x − 1)² 

 



1 − 3

1

3ζ( )3 (x − 1)³ 

 



− + 1 4

1 360π⁴

+ + +

(x − 1)⁴ 

 



1 − 5

1

5ζ( )5 (x − 1)⁵ O (( x − 1)⁶)

+ +

> series(Omega(x),x=0,7);

− ln x( ) − + γx 1 − + − + +

12π²x² 1

3ζ( )3 x³ 1

360π⁴x⁴ 1

5ζ( )5 x⁵ 1

5670π⁶x⁶ O x( ⁷)

> asympt(Omega(x),x,8);

+ − + − + +

(ln x( ) − 1 x) ln( 2 π) 1 2ln x( )

1 12

x 1 360

1 x³

1 1260

x⁵



 



O 1 x⁷ 3) La fonction ΨΨΨΨ. On rappelle que : Ψ(x) = − γ −

x 1 ₊

∑

^+∞

=1 n

{n 1 ₋

x+1n_{} (4)} a) Ψ est monotone, concave sur ]0, +∞[, et (∀x > 0) Ψ(x + 1) −Ψ(x) =

x 1_.

Tout cela découle aussitôt de ce qui précède. La dernière formule s’obtient par dérivation.

ψ^(p)(x) = (−1)^p+1 p!

∑

^+∞

=0 + +

) 1

( 1

n

n p

x ^.

b) Ψ(1) = − γ , Ψ(2) = − γ + 1 , ... , Ψ(p) = − γ + 1 + … + 1 1−

p si p ∈ N* . Remarque : ainsi H_n = γ + ψ(n + 1) ; c’est aussi ce que pense Maple.

c) Etude de Ψ en 0+ et en +∞. En 0+, Ψ(x) = −

x

1 _{−γ + U(x) = −} x

1 _−γ + o(1). Plus précisément :

Ψ(x) = − x

1 _{−γ +} ^{n p}

p

p (p 1).x )

1 (

0

1 +

∑

−

=

+

ζ

^{+ O(xn+1) .}

Au V(+∞), Ψ(x) = ln x + o(1) et même Ψ(x) = ln x + O(

x

1). Cela découle de b) si x est entier, et l’on conclut par croissance en encadrement pour x réel.

d) Montrons que : (∀x > 0) Ψ(x) = limn→+∞ ln n − ( x 1 ₊

1 1+

x ^{+ ... +} x+1n) (3) Notons Ψn(x) = − γ −

x 1 ₊

∑

= − +

n

k₁(k1 x1k) et F_n(x) = ln n − ( x 1 ₊

1 1+

x ^{+ ... +} x+1n_{) .} Ψn(x) − F_n(x) = −γ− ln n +

∑

= n

k₁ k1 _→ 0, donc F_n(x) → Ψ(x).

Comme Ψn(x) − Fn(x) est une constante, et que (Ψn(x)) converge uniformément sur tout segment [a, A], 0 < a < A, il en est de même de la suite (F_n(x)).

Graphe de ΨΨΨΨ, avec Maple.

> plot(Psi(x),x=0..6,-5..3,thickness=2);

plot(Psi(x),x=-6..6,-5..5,thickness=2);

e) Montrons que : (∀x > 0) Ψ(x) = ln x +

∑

^+∞

=0 k

{ ln(1 + k x+1 _{) −}

k

x+1 _{} (4)} ln x +

∑

= n

k 0

{ ln(1 + k x+1 _{) −}

k

x+1 _} = ln(x + n + 1) −

k x

n

k +

∑

=

1

0

= ln nn x+ +1 _{+ F}

n(x) → 0 + ψ(x).

Considérons la série

∑

^+∞

=0

) (

k k x

w , où w_k(x) = ln( 1 + k x+1 ₎₋

k x+1 _. La formule u −

2

²

u _≤ ln(1 + u) ≤ u pour u ≥ 0 implique pour x ≥ a > 0 : 0 ≤ − w_k(x) ≤

)² ( 2 1

k

x+ ^≤ 2( 1 )² k a+ ^.

On en déduit que la série est normalement convergente sur [a, +∞[ pour tout a > 0.

Par suite, le théorème d’interversion de limites s’applique, et lim _x→+∞

∑

^+∞

=0

) (

k k x

w =

∑

^+∞

=

+∞

→ 0

) ( lim

k

x wk x = 0.

On retrouve ainsi que Ψ(x) = ln x + o(1) au V(+∞) . 4) Applications.

Je renvoie au problème suivant.

___________

Problème 4 : la fonction ψψψψ

A. Première partie.

1) On considère la série de fonctions

∑

^+∞

=1

) (

n n x

u , où u_n(x) = n 1 ₋

n

x+1 _{et x ∈ ]−1, +∞ [.}

a) Etudier la convergence simple de cette série.

b) Indiquer des domaines de convergence uniforme.

c) Montrer que la somme U(x) de la série est continue et de classe C^∞ sur ]−1, +∞[.

Quel est le développement limité de U en 0 ? d) Monotonie, convexité de U ? Limite en +∞ ? e) Vérifier que ∀x > −1 U(x + 1) = U(x) +

1 1+

x ^{. (1)}

f) Limite et équivalent de U(x) quand x → −1+0 ?

g) Calculer U(0), U(1), …, U(p), pour p ∈ N. Equivalent de U(x) en +∞ ? h) Représenter graphiquement la fonction U.

2) On rappelle que la constante d’Euler est définie par γ = lim_n→+∞ 1 + 2

1 _{+ ... +} n

1 _{− ln n .}

On définit sur R*₊ la fonction Ψ(x) = −γ− x 1 ₊

∑

^+∞

=1 n

{n 1 ₋

n x+1 _{} .} a) Montrer que Ψ est monotone, concave, et (∀x > 0) Ψ(x + 1) − Ψ(x) =

x

1 ₍₂₎ b) Exprimer Ψ(1) , Ψ(2) , ... , Ψ(p) ( p ∈ N* ), à l’aide de γ .

c) Limite et d. a. de Ψ(x) en 0+ ? Montrer que Ψ(x) = ln x + o(1) au V(+∞). Graphe de Ψ ? d) Montrer que : (∀x > 0) Ψ(x) = lim_n→+∞ ln n −

(

x 1 ₊

1 1+

x ^{+ ... +} x+1n

)

(3) la convergence de cette suite étant uniforme sur tout segment [a, A], 0 < a < A.

e) Montrer que : (∀x > 0) Ψ(x) = ln x +

∑

^+∞

=0 k

{ ln(1 + k x+1 _{) −}

k

x+1 _{} (4)} Montrer que cette dernière série est uniformément convergente sur [a, +∞[ pour tout a > 0.

Retrouver que Ψ(x) = ln x + o(1) au V(+∞) .

3) a) Quel est le domaine de définition exact D de la fonction Ψ ? b) Montrer que Ψ est l’unique fonction : D → R vérifiant : i) ∀x ∈ D Ψ(x + 1) −Ψ(x) =

x

1 ii) Ψ(x) = ln x + o(1) quand x → +∞ 4) On note Ω la primitive de Ψ s’annulant en 1.

Etablir que (∀x > 0) Ω(x + 1) = Ω(x) + ln x, et que Ω est convexe.

Etudier les variations de Ω.

a) Montrer que : (∀x ∈ ]0, 1]) (∀n ≥ 2) x.ln(n − 1) ≤Ω(x + n) −Ω(n) ≤ x.ln n . En déduire : lim_n→+∞ Ω(x + n) − Ω(n) − x.ln n = 0 .

b) Étendre ce résultat à tout x > 0 . En déduire : Ω(x) = lim_n→+∞ x.ln n − ln x −

∑

= +

n

k kx

1

) 1

ln( (2)

c) Réciproquement, montrer que, pour tout x > 0 , la suite :