MT241 Examen partiel du 16 novembre 2002 dur´ee : 2 heures Le poly est le seul document autoris´e.
Exercice I Etudier la convergence des s´eries num´eriques
X (−1)n 2 +√
n ; X sin(n) n3/2 .
Exercice II Pour tout entier n≥1 et tout x r´eel on pose
un(x) = sin(x/n)
n .
1. Montrer que la s´erie num´erique P
un(x) converge pour tout x ∈R.
2. Montrer que la s´erie de fonctions P
un() converge normalement sur tout intervalle born´e [−a, a].
3. Pour tout x∈Ron pose g(x) =P+∞
n=1 un(x). Montrer que la fonction g est d´erivable sur R. Donner une expression de g0(0).
4. La s´erie de fonctions P
un() converge-t-elle normalement sur R?
Exercice III
1. D´eterminer le rayon de convergence R de la s´erie enti`ere X 2n xn
n(n+ 2). 2. On pose lorsque |x|<R
f(x) =x2
+∞X
n=1
2n xn n(n+ 2).
Exprimer f0(x) au moyen d’une s´erie quand |x| < R, puis exprimer la d´eriv´ee de la fonction x→f0(x)/x sur ]−R,0[ et ]0,R[.
3. Calculer f0(x) quand |x|<R et en d´eduire que f(x) = 1
8(1−4x2) ln(1−2x) + 1
4(x2+x).
