Montrer que la s´erie de fonctions P un() converge normalement sur tout intervalle born´e [−a, a]

MT241 Examen partiel du 16 novembre 2002 dur´ee : 2 heures Le poly est le seul document autoris´e.

Exercice I Etudier la convergence des s´eries num´eriques

X (−1)ⁿ 2 +√

n ; X sin(n) n^3/2 .

Exercice II Pour tout entier n≥1 et tout x r´eel on pose

un(x) = sin(x/n)

n .

1. Montrer que la s´erie num´erique P

un(x) converge pour tout x ∈R.

2. Montrer que la s´erie de fonctions P

un() converge normalement sur tout intervalle born´e [−a, a].

3. Pour tout x∈Ron pose g(x) =P_+∞

n=1 un(x). Montrer que la fonction g est d´erivable sur R. Donner une expression de g⁰(0).

4. La s´erie de fonctions P

un() converge-t-elle normalement sur R?

Exercice III

1. D´eterminer le rayon de convergence R de la s´erie enti`ere X 2ⁿ xⁿ

n(n+ 2). 2. On pose lorsque |x|<R

f(x) =x²

+∞X

n=1

2ⁿ xⁿ n(n+ 2).

Exprimer f⁰(x) au moyen d’une s´erie quand |x| < R, puis exprimer la d´eriv´ee de la fonction x→f⁰(x)/x sur ]−R,0[ et ]0,R[.

3. Calculer f⁰(x) quand |x|<R et en d´eduire que f(x) = 1

8(1−4x²) ln(1−2x) + 1

4(x²+x).