1. g est born´ee car continue 1-p´eriodique et b −a ∈ ]0, 1[ donc la s´erie d´efinissant W est normalement convergente sur R . On a | W (x) | 6 k g k ∞ P

Ecoles Normales Sup´ ´ erieures Math´ ematiques II MP 2007

Partie I G´ en´ eralit´ es

1. g est born´ee car continue 1-p´eriodique et b ^−a ∈ ]0, 1[ donc la s´erie d´efinissant W est normalement convergente sur R . On a | W (x) | 6 k g k ∞ P

n>0

b ^−an = k g k ∞

1 − b ^−a , donc W est born´ee sur R . 2. Chaque terme de la s´erie l’est.

3. a. Calcul imm´ediat.

b. L’´equation ´etant lin´eaire en f , il suffit de prouver que si f est continue, born´ee, solution de f = T f alors f = 0. De fait, on a k f k ∞ = k T f k ∞ = k f k ∞ /b ^a , ce qui implique k f k ∞ = 0 d’o` u f = 0.

4. a. Regrouper W (x) − W (y) dans une seule s´erie, puis d´ecouper en somme pour 0 6 n < N et somme pour n > N . La majoration demand´ee vient de suite.

b. Soient x, y ∈ R . Si | x − y | < 1, on note N l’unique entier naturel tel que b ^−N 6 | x − y | < b ^1−N . Alors, d’apr`es la question pr´ec´edente,

| W (x) − W (y) | 6 k g k ^Lip

b ^1−a − 1 (b/ | x − y | ) ^1−a | x − y | + 2 k g k ^∞

1 − b ^−a | x − y | ^a = C | x − y | ^a . Si | x − y | > 1 on a | W (x) − W (y) | 6 2 k W k ^∞ 6 2 k W k ^∞ | x − y | ^a .

D’o` u | W (x) − W (y) | 6 max(C, 2 k W k ∞ ) | x − y | ^a dans tous les cas.

5. a. Formule de Taylor avec reste int´egral : g(x + h) = g(x) + hg ^′ (x) +

Z h

t=0

(h − t)g ^′′ (x + t) dt = g(x) + hg ^′ (x) + h ² Z 1

u=0

(1 − u)g ^′′ (x + hu) du.

En rempla¸cant h par − h et en additionnant il vient :

| g(x + h) + g(x − h) − 2g(x) | = h ²

Z 1

u=0

(1 − u)(g ^′′ (x + hu) + g ^′′ (x − hu)) du

6 h ² k g ^′′ k ∞ . Rmq : la condition | h | 6 1 est inutile.

b. D’apr`es l’in´egalit´e pr´ec´edente, pour x, h ∈ R et pour N ∈ N on a :

| W (x + h) + W (x − h) − 2W (x) | 6

N −1

X

n=0

Cb ⁿ | h | ² +

∞

X

n=N

4 k g k ∞ b ⁻ⁿ 6 | h | ² b ^N

b − 1 + 4 k g k ∞

b ^−N 1 − b ⁻¹ . Si | h | 6 1, on choisit N tel que b ^−N 6 h < b ^1−N et on obtient l’in´egalit´e demand´ee.

Partie II Inversion de Fourier

1. a. La fonction x 7→ x ² f (x) est continue et a des limites finies en ±∞ donc elle est born´ee par un r´eel C. On en d´eduit | f (nh) | 6 C

n ² h ² pour h > 0 et n > 1, ce qui prouve la convergence absolue.

b. L’int´egrale Z +∞

x=0

f (x) dx est convergente puisqu’elle n’est g´en´eralis´ee qu’en + ∞ et f (x) 6 C/x ² comme on l’a vu pr´ec´edemment. De plus, on a :

Z +∞

t=0

f (x) dx =

∞

X

n=0

Z (n+1)h

x=nh

f (x) dx =

∞

X

n=0

h Z 1

t=0

f ((n + t)h) dt.

On doit donc prouver que lim

h→0

⁺

∞

P

n=0

h Z 1

t=0

(f ((n + t)h) − f (nh)) dt → 0. Soit h > 0 et N ∈ N ^∗ ` a fixer en fonction de h. Pour n > N on a :

h

Z 1

t=0

(f ((n + t)h) − f (nh)) dt 6 h

Z 1

t=0

C

(n + t) ² h ² + C n ² h ²

= 1 h

C

n(n + 1) + C n ²

6 1

h × 3C n(n + 1) (car n ² > ¹ ₂ n(n + 1)). On en d´eduit :

∞

X

n=N

h Z 1

t=0

(f ((n + t)h) − f (nh)) dt 6 1

h

∞

X

n=N

3C

n(n + 1) = 3C N h .

Soit alors ε > 0 : f est uniform´ement continue sur R (car continue ayant des limites finies en ±∞ ) donc il existe δ > 0 tel que ∀ x, y ∈ R , | x − y | 6 δ ⇒ | f (x) − f (y) | 6 ε. Pour 0 < h 6 δ, et N ∈ N ^∗

1

2

on a donc :

∞

X

n=0

h Z 1

t=0

(f ((n + t)h) − f (nh)) dt 6

N −1

X

n=0

h Z 1

t=0

ε dt + 3C

N h = (N + 1)hε + 3C N h .

Choisissons N ∈ N ^∗ de sorte que (N + 1)h 6 2/ √ ε et N h > 1/ √ ε : c’est possible si h 6 1/ √ ε, ce qu’on suppose d´esormais. On obtient finalement :

∞

X

n=0

h Z 1

t=0

(f ((n + t)h) − f (nh)) dt

6 (2 + 3C) √ ε pour tout h suffisamment proche de z´ero, ce qui suffit ` a conclure.

c. On pose P

n∈Z

hf(nh) =

∞

P

n=0

hf (nh) +

∞

P

n=0

hf ( − nh) − hf(0), sous r´eserve de convergence des 2 s´eries.

La premi`ere converge, et sa somme tend, lorsque h tend vers 0 ⁺ , vers Z +∞

x=0

f (x) dx, on l’a vu. La deuxi`eme converge et sa somme tend, lorsque h tend vers 0 ⁺ , vers

Z +∞

x=0

f ( − x) dx = Z 0

x=−∞

f (x) dx par remplacement de f (x) en f ( − x), et le dernier terme tend vers z´ero lorsque h tend vers 0 ⁺ . 2. Soit [a, b] un intervalle compact et N ∈ N tel que a + N T > 0 et b − N T < 0. Pour x ∈ [a, b] et k > N

on a | f (x + kT ) | 6 C

(x + kT ) ² 6 C

(a + kT ) ² et de mˆeme | f (x − kT ) | 6 C

(b − kT ) ² . Ceci prouve que les s´eries

∞

P

k=N

f (x + kT ) et

∞

P

k=−N

f (x − kT ) sont normalement convergentes sur [a, b] ; il en est donc de mˆeme de la s´erie P

n∈ Z

f (x + kT ). La continuit´e et la T -p´eriodicit´e de f T sont alors ´evidentes.

3. f T (x) exp( − 2iπnx/T ) = P

k∈ Z

f (x + kT ) exp( − 2iπnx/T ), s´erie normalement convergente sur [0, T ] donc on peut int´egrer terme ` a terme :

c n (f T ) = 1 T

X

k∈Z

Z T

x=0

f (x + kT ) exp( − 2iπnx/T ) dx = 1 T

X

k∈Z

Z T

x=0

f (x + kT ) exp( − 2iπn(x + kT )/T ) dx

= 1 T

X

k∈Z

Z (k+1)T

x=kT

f (x) exp( − 2iπnx/T ) dx = 1 T

Z +∞

x=−∞

f (x) exp( − 2iπnx/T ) dx

=

√ 2π

T F f (2πn/T ).

Le regroupement P

k∈ Z

Z (k+1)T

x=kT

= Z +∞

x=−∞

est justifi´e par la convergence de cette derni`ere int´egrale.

4. a. Cela r´esulte de l’in´egalit´e | c n (f T ) | 6

√ 2π

T × C ^′ T ²

4π ² n ² avec C ^′ = sup { y ² |F f (y) | , y ∈ R } . b. C’est, en substance, le th´eor`eme de Parseval.

c. Soit S T (x) =

+∞

P

n=−∞

c n (f T ) exp(2iπnx/T ) : la s´erie convergeant uniform´ement sur R , S T est une fonction continue T -p´eriodique et pour n ∈ Z , c n (S T ) = c n (f T ) par int´egration terme ` a terme.

Ainsi f T et S T sont deux fonctions continues T -p´eriodiques ayant mˆemes coefficients de Fourier ; elles sont ´egales.

5. Soit x ∈ R fix´e. On suppose T suffisamment grand pour que x + T > 0 et x − T < 0. Alors :

| f T (x) − f (x) | =

∞

X

k=1

f (x + kT ) +

∞

X

k=1

f (x − kT ) 6

∞

X

k=1

C (x + kT ) ² +

∞

X

k=1

C (x − kT ) ²

6 C

(x + T ) ² + Z +∞

u=1

C du

(x + uT ) ² + C (x − T ) ² +

Z +∞

u=1

C du (x − uT ) ²

= C

(x + T ) ² + C

T (x + T ) + C

(x − T ) ² + C

T (T − x) −−−−→

T→∞ 0.

6. Soit x ∈ R , avec h = 2π

T et g(u) = 1

√ 2π F f (u) exp(iux), on a f T (x) = P

n∈Z

hg(nh). g est continue, g(u) = o( _u ¹

2

) en + ∞ , on peut appliquer 1c : f T (x) −−−−→

T→∞

Z +∞

u=−∞

g(u) du = FF f (x).

3

Partie III Construction d’une ondelette

1. a. (x, y) 7→ f (x) exp( − iyx) satisfait aux hypoth`eses du th´eor`eme de Leibniz : la fonction et sa d´eriv´ee partielle par rapport ` a y sont continues par rapport ` a chaque variable et domin´ees par une fonction int´egrable sur R par rapport ` a x.

On a donc ( F f ) ^′ (y) = 1

√ 2π Z +∞

x=−∞

( − ix)f (x) exp( − iyx) dx = F g(y) avec g(x) = − ixf (x). Ceci d´emontre la formule demand´ee pour n = 1. Le cas g´en´eral se traite par r´ecurrence sur n.

b. On a en int´egrant par parties : F (f ^′ )(y) = iy F f (y) et plus g´en´eralement : F (f ⁽ⁿ⁾ )(y) = (iy) ⁿ F f (y) pour n ∈ N et y ∈ R . Comme f ⁽ⁿ⁾ est int´egrable sur R , il en r´esulte que y 7→ (iy) ⁿ F f (y) est born´ee sur R , ce qui implique y ⁿ⁻¹ F f (y) −−−−→

|y|→∞ → 0.

2. abc. Questions ´el´ementaires.

d. Prendre f (x) = ψ 0 (x − a)ψ 0 (b − x).

3. On suppose b > 1 pour que l’intervalle ]1/b, b[ soit bien d´efini. On pose f (x) = ψ 0 ( − x − 1/b)ψ 0 (b + x) et ψ b = F f . Donc ψ b ∈ S , ce qui implique que ψ b et y 7→ yψ b (y) sont int´egrables sur R . De plus, x ² f (x) et y ² ψ b (y) ont des limites nulles ` a l’infini donc F ψ b (x) = f ( − x), d’apr`es la formule d’inversion de Fourier. Cette derni`ere quantit´e est bien strictement positive entre 1/b et b, et nulle ailleurs. Enfin, Z +∞

y=−∞

ψ b (y) dy = √

2π F f (0) = 0 et Z +∞

y=−∞

yψ b (y) dy = i √

2π ( F f ) ^′ (0) = 0.

Partie IV Non d´ erivabilit´ e de W dans le cas g(x) = cos(2πx) 1. Prendre ε x (h) = f (x + h) − f (x)

h − f ^′ (x) pour h 6 = 0 et ε x (0) = 0. Par construction ε x est continue en tout point h 6 = 0 ; elle est aussi continue en h = 0 par d´efinition de f ^′ (x). Enfin ε x est born´ee sur R car continue, de limite − f ^′ (x) pour | h | → ∞ puisque f est born´ee.

2. a. f est born´ee et ψ b est int´egrable donc l’int´egrale d´efinissant c(α, x) est convergente.

b.

c(α, x) = 1 α

Z +∞

t=−∞

f (x + αt)ψ b (t) dt

= 1 α

Z +∞

t=−∞

f (x)ψ b (t) dt + Z +∞

t=−∞

f ^′ (x)tψ b (t) dt + Z +∞

t=−∞

ε x (αt)tψ b (t) dt

= Z +∞

t=−∞

ε x (αt)tψ b (t) dt.

Le th´eor`eme de convergence domin´ee s’applique ` a cette derni`ere int´egrale car la fonction ε x est born´ee, t 7→ tψ b (t) est int´egrable sur R et ε x (αt) − α → 0 <sup>+</sup> → 0 ` a t fix´e.

3. a. Avec f = W on a : c(α, 0) = 1

α Z +∞

t=−∞

∞

X

n=0

b ^−an cos(2πb ⁿ αt)ψ b (t) dt

= 1 α

∞

X

n=0

b ^−an Z +∞

t=−∞

cos(2πb ⁿ αt)ψ b (t) dt

= 1 α

∞

X

n=0

b ^−an √

2π F ψ b (2πb ⁿ α) + F ψ b ( − 2πb ⁿ α)

2 .

L’int´egration terme ` a terme est justifi´ee par le fait que Z +∞

t=−∞ | b ^−an cos(2πb ⁿ αt)ψ b (t) | dt 6 b ^−an Z +∞

t=−∞ | ψ b (t) | dt, terme g´en´eral d’une s´erie convergente.

Prenons α = 1

2πb ^k avec k ∈ N . Alors c(α, 0) = b ^−ak √

2π F ψ b (1)

2α = ¹ ₂ (2π) ^a+1/2 F ψ b (1)α ^a−1 car seul le terme pour n = k est non nul. Ainsi, c(α, 0) ne tend pas vers z´ero quand k tend vers l’infini. On contredit 2b, donc W n’est pas d´erivable en 0.

b. Soit x ∈ R , par des calculs similaires on a c(α, x) = 1 2α

∞

P

n=0

b ^−an √

2π exp(2iπb ⁿ x) F ψ b (2πb ⁿ α). En

particulier pour α = 1/(2πb ^k ), | c(α, x) | = | c(α, 0) | − k → ∞ → + ∞ , donc W n’est pas d´erivable

en x.

4

Partie V Une alternative pour W 1. Imm´ediat.

2. a. Par hypoth`ese il existe x 0 ∈ R , h > 0, u > 0 tel que | W (x 0 +h) − W (x 0 ) | /h > k g k Lip (1+u)/(b ^1−a − 1).

Si h < 1, c’est bon.

Si h = 1 alors par continuit´e on a | W (x 0 + k) − W (x 0 ) | /k > k g k Lip (1 + u/2)/(b ^1−a − 1) pour tout k suffisamment proche de 1, donc c’est encore bon.

Enfin, si h > 1, on peut remplacer h par h − 1, le premier membre augmentant alors. De proche en proche, c’est bon pour tout h > 0.

b. On peut remplacer x 0 par x 0 + n pour tout entier relatif n. Ainsi, ℓ = 1 + h convient car si I est un intervalle de longueur strictement sup´erieure ` a 1 + h alors I ∩ (I − h) contient un segment de longueur 1, donc contient un x I = x 0 + n et par construction, x I + h ∈ I.

c. L´eg`ere erreur d’´enonc´e : on a ℓ(I) > ℓ alors qu’il faudrait l’in´egalit´e stricte. On choisit donc plutˆ ot N ∈ N tel que ℓb ^−N < ℓ(J) 6 ℓb ^1−N (c’est possible puisque ℓ(J ) < 1 < ℓb), ce qui assure l’existence de x I d´efini en 2b. On a alors

| W (b ^−p (x I + h)) − W (b ^−p x I ) |

b ^−p h > k g k ^Lip

b ^1−a − 1 (1 + b ^p(1−a) u) > u k g k ^Lip b ^p(1−a) b ^1−a − 1 par r´ecurrence sur p, et pour p = N : b ^−N x I , b ^−N (x I + h) ∈ J .

d. Car | W (x J ) − W (y J ) | > hu k g k Lip

b ^1−a − 1 b ^{−N a} > hu k g k Lip

(b ^1−a − 1)(ℓb) ^a × ℓ(J ) ^a .

3. Remarque pr´eliminaire : si W est lipschitzienne, alors on a n´ecessairement k W k Lip 6 k g k Lip

b ^1−a − 1 . En effet, soit ε > 0 et x, y ∈ R distincts tels que | W (x) − W (y) | > ( k W k Lip − ε) | x − y | . On a alors :

| g(x/b) − g(y/b) | = | b ^−a (W (x) − W (y)) − (W (x/b) − W (y/b)) |

> b ^−a | W (x) − W (y) | − | W (x/b) − W (y/b) |

> ( k W k ^Lip (b ^1−a − 1) − b ^1−a ε) | x/b − y/b | ,

ce qui prouve que k g k ^Lip > k W k ^Lip (b ^1−a − 1) − b ^1−a ε, et ce pour tout ε > 0. Ainsi, la propri´et´e (i) est ´equivalente au caract`ere lipschitzien de W . Il s’agit donc de prouver que W est lipschitzienne si et seulement si elle est d´erivable en au moins un point.

Si W n’est pas lipschitzienne alors x, u, h d´efinis en 1 existent et donc le r´esultat de 2d est valide.

Consid´erons alors un ´eventuel x ∈ R tel que W soit d´erivable en x : on a W (y) = W (x) + (y − x)W ^′ (x) + (y − x)ε x (y − x) (cf. IV-1). Soit J un intervalle ouvert quelconque contenant x : pour tout y ∈ J on a | W (y) − W (x) | 6 ℓ(J )( | W ^′ (x) | + k ε x k ∞ ) et donc sup(W (J )) − inf(W (J)) = O(ℓ(J )) contrairement ` a 2d. Ceci prouve que W est nulle part d´erivable.

Si W est lipschitzienne alors elle est d´erivable presque partout au sens de la mesure de Lebesgue. Ceci est une cons´equence du th´eor`eme de Lebesgue suivant : toute fonction num´ erique ` a variation born´ ee sur un intervalle est presque partout d´ erivable sur cet intervalle. Il s’agit d’un th´eor`eme tr`es au del` a du programme des classes MP ^∗ , et on ne peut pas attendre des candidats qu’ils le connaissent. Il existe peut-ˆetre une d´emonstration ´el´ementaire de la d´erivabilit´e en au moins un point, mais je ne l’ai pas trouv´ee. . .

4. Soit W une fonction 1-p´eriodique lipschitzienne non constante quelconque et g = W − T W . Donc g

est 1-p´eriodique, lipschitzienne et puisque W = g + T W , d’apr`es I-3b, W est la fonction associ´ee ` a g

par (1). De plus, g n’est pas constante sinon W le serait.