A20325. Série base zéro Pour tout entier

A20325. Série base zéro

Pour tout entier n ≥ 1, je note z(n) le nombre de zéros de son écriture binaire. Soit la série de terme général un = x^z(n)

n . Supposant x > 0, quel est son rayon de convergence ? Quand elle converge, pouvez-vous encadrer sa somme ?

Solution

Un entier n de c chiffres binaires est au moins 2^c−1 et au plus 2^c−1. Les entiers de cchiffres dont q zéros (0≤q < c) sont en nombre C_c−1^q , nombre de façons de choisir dans l’écritureq rangs (autres que le premier) pour les zéros.

Regroupons les termes un tels que z(n) = q; c’est sans incidence sur la convergence, s’agissant de termes positifs ; le coefficient aq de x^q dans la série regroupée vérifie l’encadrement

∞

X

c=q+1

2^−cC_c−1^q < aq ≤

∞

X

c=q+1

2^1−cC_c−1^q

c’est à dire 1< aq ≤2. La série est de même nature que la série ^Px^q, son rayon de convergence est 1, et sa sommeS vérifie 1/(1−x)< S ≤2/(1−x) pour 0< x <1.