A de N et tout entier n ≥ 1 , on pose S

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MPSI B DS 05 10 janvier 2020

Problème I. Densité de Schnirelmann

Pour toute partie

¹

A de N et tout entier n ≥ 1 , on pose S

n

(A) = Card(A ∩ J 1, n K ) et on appelle densité de Schnirelmann de A le réel

σ(A) = inf{ S

n

(A)

n , n ≥ 1}

Si A et B sont deux parties de N, on pose

A + B = {a + b, a ∈ A, b ∈ B}

1. a. Justier la dénition de σ(A) et montrer que σ(A) ≤ 1 . b. Que vaut σ(A) si 1 6∈ A ?

c. Sous quelle condition a-t-on σ(A) = 1 ? d. Si A ⊂ B , comparer σ(A) et σ(B ) . 2. Calculer σ(A) pour les parties suivantes :

a. A est une partie nie de N.

b. A est l'ensemble des entiers impairs.

c. Soit k ≥ 2 entier xé et A l'ensemble des puissances k -ièmes d'entiers.

A = {m

^k

, m ∈ N

^∗

}

3. Soit A et B deux parties de N contenant 0 , soit n ≥ 1 un nombre entier. En considérant C = {n − b, b ∈ J 0, n K ∩ B}

montrer que

S

n

(A) + S

n

(B) ≥ n ⇒ n ∈ A + B 4. Soit A et B deux parties de N contenant 0 .

a. Montrer que si σ(A) + σ(B) ≥ 1 alors A + B = N.

b. Montrer que si σ(A) ≥

¹₂

alors tout entier est la somme de deux éléments de A .

1D'après le problème 1 de l'ouvrage "Problèmes choisis de mathématiques supérieure" (Springer).

Problème II. Suites de Engel

Soit T l'ensemble des suites croissantes de nombres entiers supérieurs ou égaux à 2.

À chaque suite (q

n

)

n∈N^∗

élément de T on associe la suite (s

n

)

n∈N^∗

dénie par : s

1

= 1

q

₁

, s

2

= 1 q

₁

+ 1

q

₁

q

₂

, · · · , s

n

= 1 q

₁

+ 1

q

₁

q

₂

+ · · · + 1 q

₁

q

₂

· · · q

_n

1. a. Soit λ un nombre réel strictement supérieur à 1. Montrer que ( P

n

k=1 1

λ^k

)

n∈N^∗

est convergente et que sa limite est un élément de i

1 λ

,

_λ−1¹

i

. b. Montrer que

∀p ∈ N

^∗

, ∀n ≥ p, s

_n

≤ s

_p−1

+ 1

q

1

· · · q

p−1

(q

p

− 1)

c. Démontrer que, pour toute suite (q

n

)

_n∈N^∗

élément de T la suite (s

n

)

_n∈N^∗

converge et que sa limite x est un élément de ]0, 1] . On dira, dans la suite du problème, que (q

n

)

n∈N^∗

est un développement de Engel de x .

2. a. Soit (q

_n

)

_n∈_N^∗

une suite stationnaire de T . Montrer que x est un nombre rationnel.

b. Montrer

q

₁

= 1 + b 1

x c et ∀k ∈ N

^∗

, q

_k+1

− 1 =

1 q

1

q

2

· · · q

k

(x − s

k

)

3. a. Soit (q

_n

)

_n∈_N^∗

et (q

_n⁰

)

_n∈_N^∗

deux suites dans T . Les suites qui leurs sont respective- ment associées sont notées (s

_n

)

_n∈_N^∗

et (s

⁰_n

)

_n∈_N^∗

de limites x et x

⁰

. On suppose :

∃p ∈ N

^∗

tq q

p

< q

⁰_p

et ∀n ∈ {1, . . . , p − 1} , q

n

= q

_n⁰

Montrer que x

⁰

< x .

b. Montrer que l'application de T dans ]0, 1] qui, à chaque suite (q

n

)

n∈N^∗

, associe la limite de (s

_n

)

_n∈_N∗

est injective.

4. Fonction de Briggs.

On dénit une fonction β dans [0, 1[ par :

∀x ∈]0, 1[: β(x) =







0 si x = 0

qx − 1 avec q = b 1

x c + 1 si x > 0

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a. Montrer que 0 < β(x) ≤ x pour x ∈]0, 1[ .

b. En un point x de ]0, 1[ , étudier les limites à gauche et à droite (strictement ou largement). Préciser les points où β est continue, les points où β(x) = x , quelle est la limite strictement à droite de ces points ?

c. La fonction β est-elle continue en 0 ? d. Tracer le graphe de β .

5. Algorithme de Briggs

Pour tout x de ]0, 1[ et tout entier n , on pose x

n

= β ◦ · · · ◦ β

| {z }

nfois

(x) = β

ⁿ

(x) . a. Montrer que la suite (x

n

)

_n∈

N

est convergente. Dans tout le reste du problème, cette limite est notée r(x) .

b. Soit x ∈]0, 1[ tel que r(x) > 0 , montrer qu'il existe q et N entiers tels que :

∀n ≥ N : x

_n

= 1 q

6. a. Montrer que tout x ∈]0, 1[ admet un unique développement de Engel.

b. Soient a et b deux entiers naturels tels que 0 < a < b . Montrer que β( a

b ) = a − r b

où r est le reste de la division euclidienne de b par a .

c. Montrer que le développement de Engel d'un nombre est stationnaire si et seule- ment si ce nombre est rationnel.

7. Déterminer la suite (q

n

)

_n∈N^∗

telle que la limite de la suite (s

n

)

_n∈N^∗

associée soit

x = 1

2 (1) x = 3

4 (2)

8. Soit x l'approximation décimale de

_π¹

fournie par votre calculatrice. Calculer, en jus- tiant, les premiers entiers q

₁

, q

₂

, · · · , q

_n

jusqu'à ce que

1 q

1

q

2

· · · q

n

< 10

⁻¹⁰

Exercice. Équivalent pour une suite dénie par récurrence.

Soit u un réel strictement positif, la suite (u

n

)

_n∈N

est dénie par les relations u

0

= u, ∀n ∈ N : u

n+1

= ln(1 + u

n

).

Soit λ un réel non nul, la suite (v

n

)

n∈N

est dénie par

∀n ∈ N : v

n

= u

^λ_n+1

− u

^λ_n

.

1. Former le tableau de variation de la fonction x → ln(x + 1) − x .

Soit (x

_n

)

_n∈_N

une suite qui converge vers 0. Préciser (sans démonstration) des suites équivalentes pour (e

^xⁿ

− 1)

_n∈_N

et (ln(1 + x

_n

) − x

_n

)

_n∈_N

2. Soit (w

_n

)

_n∈_N

une suite de réels qui converge vers un nombre C non nul. Montrer que w

₁

+ w

₂

+ · · · + w

_n

∼ n C.

(rédiger la démonstration)

3. Les suites (u

_n

)

_n∈_N

et (v

_n

)

_n∈_N

sont-elles bien dénies ? 4. Montrer que (u

_n

)

_n∈_N

converge, préciser sa limite.

5. A-t-on u

_n+1

∼ u

_n

? Justier.

6. Montrer que

v

_n

∼ − λ 2 u

^λ+1_n

. On pourra utiliser que, pour x au voisinage de 0 ,

ln(1 + x) = x − x

²

2 + o(x

²

).

7. En utilisant une valeur de λ bien choisie, trouver un équivalent simple de u

n

.

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