élément de T on associe la suite (s n ) n∈ N∗ dénie par : s 1 = 1

MPSI B Année 2015-2016 DM 6 pour vendredi 4/12/15 29 juin 2019

Soit T l'ensemble des suites croissantes de nombres entiers supérieurs ou égaux à 2.

À chaque suite (q n ) n∈ N

élément de T on associe la suite (s n ) n∈ N

dénie par : s 1 = 1

q ₁ , s 2 = 1 q ₁ + 1

q ₁ q ₂ , · · · , s n = 1 q ₁ + 1

q ₁ q ₂ + · · · + 1 q ₁ q ₂ · · · q _n 1. a. Soit λ un nombre réel strictement supérieur à 1. Montrer que ( P n

k=1 1

λ

) n∈ N

est convergente et que sa limite est un élément de i

1 λ , _λ−1 ¹ i

. b. Montrer que

∀p ∈ N ^∗ , ∀n ≥ p, s _n ≤ s _p−1 + 1

q 1 · · · q p−1 (q p − 1)

c. Démontrer que, pour toute suite (q n ) n∈ N

élément de T la suite (s n ) n∈ N

converge et que sa limite x est un élément de ]0, 1] . On dira, dans la suite du problème, que (q n ) n∈ N

est un développement de Engel de x .

2. a. Soit (q n ) _{n∈ N}

une suite stationnaire de T . Montrer que x est un nombre rationnel.

b. Montrer

q ₁ = 1 + b 1

x c et ∀k ∈ N ^∗ , q _k+1 − 1 =

1

q ₁ q ₂ · · · q _k (x − s _k )

3. a. Soit (q _n ) _{n∈ N}

et (q ⁰ _n ) _{n∈ N}

deux suites dans T . Les suites qui leurs sont respective- ment associées sont notées (s _n ) _{n∈ N}

et (s ⁰ _n ) _{n∈ N}

de limites x et x ⁰ . On suppose :

∃p ∈ N ^∗ tq q p < q ⁰ _p et ∀n ∈ {1, . . . , p − 1} , q n = q ⁰ _n Montrer que x ⁰ < x .

b. Montrer que l'application de T dans ]0, 1] qui, à chaque suite (q _n ) _{n∈ N}

, associe la limite de (s _n ) _{n∈ N}

est injective.

4. Fonction de Briggs.

On dénit une fonction β dans [0, 1[ par :

∀x ∈]0, 1[: β (x) =







0 si x = 0

qx − 1 avec q = b 1

x c + 1 si x > 0 a. Montrer que 0 < β(x) ≤ x pour x ∈]0, 1[ .

b. En un point x de ]0, 1[ , étudier les limites à gauche et à droite (strictement ou largement). Préciser les points où β est continue, les points où β (x) = x , quelle est la limite strictement à droite de ces points ?

c. La fonction β est-elle continue en 0 ? d. Tracer le graphe de β .

5. Algorithme de Briggs

Pour tout x de ]0, 1[ et tout entier n , on pose x n = β ◦ · · · ◦ β

| {z }

n fois

(x) = β ⁿ (x) . a. Montrer que la suite (x _n ) _n∈

N est convergente. Dans tout le reste du problème, cette limite est notée r(x) .

b. Soit x ∈]0, 1[ tel que r(x) > 0 , montrer qu'il existe q et N entiers tels que :

∀n ≥ N : x _n = 1 q

6. a. Montrer que tout x ∈]0, 1[ admet un unique développement de Engel.

b. Soient a et b deux entiers naturels tels que 0 < a < b . Montrer que β( a

b ) = a − r b

où r est le reste de la division euclidienne de b par a .

c. Montrer que le développement de Engel d'un nombre est stationnaire si et seule- ment si ce nombre est rationnel.

7. Déterminer la suite (q n ) _{n∈ N}

telle que la limite de la suite (s n ) _{n∈ N}

associée soit x = 1

2 (1) x = 3

4 (2)

8. Soit x l'approximation décimale de _π ¹ fournie par votre calculatrice. Calculer, en jus- tiant, les premiers entiers q 1 , q 2 , · · · , q n jusqu'à ce que

1 q 1 q 2 · · · q n

< 10 ⁻¹⁰

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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