Suites et séries de fonctions
I désigne un intervalle deR non vide et non réduit à un point.
RI =F(I,R)désigne le R-espace vectoriel des fonctions de I dans R.
On appelle suite de fonctions toute suite(fn)n∈Nà valeurs dansRI. Autrement dit, une suite de fonctions est une suite(fn) dont les éléments sont des fonctionsfn:I −→R.
Soit (un)n∈N une suite de fonctions dénies sur I à valeurs dans R. On pose Sn : I −→ R
x 7−→
n
X
k=0
uk(x)
On appelle série de fonctions deI dansR de terme généralun, la suite de fonctions (Sn)n∈N
appelée suite des sommes partielles. On la note plutôt X un. Souvent par abus, on parle de la série de fonctions X
un(x) où un(x) est une expression qui dépend de la variablex.
I Modes de convergence
I.1 Convergence simple
Soit (fn)n∈N une suite de fonctions dénies sur I à valeurs dans R et soit f :I −→R.
On dit que la suite de fonctions(fn)converge simplement versf surI si, et seulement si,
∀x∈I, fn(x) −→
(n→+∞)f(x) Dénition 1
Il y a unicité de la limite simple.
Si (fn) est une suite de fonctions de I dans R convergeant simplement sur I vers la fonction f :I −→R alors f s'appelle la
Exemple : étudier la convergence simple sur [0, 1]de la suite de fonctions (fn)n∈N où fn : [0, 1] −→ R
x 7−→ xn
On dit que la série de fonctions X
un converge simplement sur I si, et seulement si, pour tout réel x∈I, la série numérique X
un(x) converge.
Dénition 2
Autrement dit, la sérieX
un converge simplement sur I si, et seulement si, la suite de fonctions (Sn)n∈N . . . .
Exemple : soit un : R −→ R x 7−→ xn
n!
La série X
un converge simplement sur R vers
I.2 Convergence uniforme
Soit (fn)n∈N une suite de fonctions dénies sur I à valeurs dans R et soit f :I −→R.
On dit que la suite de fonctions (fn) converge uniformément vers f sur I si, et seulement si
∀ε >0, ∃N0 ∈N, ∀n>N0, ∀x∈I, ou de façon équivalente, si, et seulement si,
. . . . −→
(n→+∞)
0
Dénition 3
Remarque : la suite de fonctions(fn) converge uniformément versf surI ssi il existe une suite de réels positifs (αn)n∈N telle que
Exemple : étudier la convergence uniforme sur [−a , a] de la suite de fonctions (fn)n∈N où a∈]0, 1[ et fn : [−a , a] −→ R
x 7−→ xn
Si la suite(fn)converge uniformément versf surI, alors(fn)converge simplement vers f sur I.
Proposition 1
Pour montrer qu'une suite de fonctions (fn)n∈N ne converge pas uniformément vers f surI, il sut de trouver une suite de réels(xn)n∈N deI telle que
Proposition 2 (conséquence de la dénition 2)
On dit que la série de fonctions X
un converge uniformément sur I si, et seulement si, la suite de fonctions (Sn)n∈N de ses sommes partielles, converge uniformément sur I.
Dénition 4
Remarque : pour que la série de fonctions X
un converge uniformément sur I, il faut que la suite de fonctions (un) converge uniformément vers
Soit X
un une série de fonctions qui converge simplement sur I. Cette série converge uniformément sur I si, et seulement si, la suite de fonctions (Rn)n∈N converge unifor- mément vers la fonction nulle sur I où
∀x∈I, Rn(x) = Proposition 3 (reformulation de la dénition 4)
Ainsi, pour montrer queX
un converge uniformément surI, il sut de trouver une suite de réels positifs(αn)n∈N telle que :
∀n ∈N, ∀x∈I, |Rn(x)|6 . . . la suite réelle(αn) converge vers . . .
Exemple : pour tout entiern >1, on dénit la fonctionun sur[0, 1]par un(x) = (−1)n n xn Montrer que la série de fonctions X
un converge uniformément sur le segment [0, 1].
I.3 Convergence normale pour une série de fonctions
On dit que la série de fonctions X
un converge normalement sur I ssi . pour tout entier naturel n, la fonction un est . . .
. la série numérique de terme général Mn= sup
x∈I
|un(x)| est convergente.
Dénition 5
La série de fonctions X
un converge normalement sur I ssi il existe une suite de réels positifs (αn)n∈N telle que
. pour tout entier n∈N et pour tout réel x∈I, . . . . la série numérique X
αn est . . .
Proposition 4 (critère pratique de convergence normale)
Exemple : soit a un réel strictement positif et un : [−a , a] −→ R x 7−→ xn
n!
Montrer que la série de fonctions X
un converge normalement sur [−a , a].
La convergence normale entraîne la convergence uniforme (qui entraîne la convergence simple).
Proposition 5 (admise)
II Convergence uniforme et limites
II.1 Continuité
La limite uniforme d'une suite de fonctions continues est elle-même continue.
Plus précisément, si pour tout entier naturel n, le fonction fn est continue sur I et si la suite (fn)n∈N converge uniformément vers f surI,
alors f est Théorème 6 (continuité de la limite)
Preuve : soitaun réel quelconque appartenant àI. Soitεun réel strictement positif xé.
Remarque : le théorème précédent s'adapte aux séries de fonctions.
Soit X
un une série de fonctions dénies sur I à valeurs dans R.
On suppose que :
chaque fonction un est continue sur I la série de fonctionsX
un Alors la sommeS =
+∞
X
n=0
un est une fonction dénie et
II.2 Intégration sur un segment
Soit (fn)n∈N une suite de fonctions continues sur le segment [a , b].
Si la suite (fn)n∈N converge uniformément vers une fonction f sur[a , b]
Alors f est continue sur [a , b] et lim
n−→+∞
Z b
a
fn(t)dt = Proposition 7 (permutation avec une intégrale)
Preuve : on sait déjà, d'après le théorème 6, que
Soit (un)n∈N une suite de fonctions continues sur le segment [a , b]. Si la série de fonctions X
un converge uniformément sur [a , b]
Alors la fonction somme
+∞
X
n=0
un est continue sur[a , b] et
+∞
X
n=0
Z
ba
u
n(t) d t
=
Théorème 8 (permutation somme/intégrale)
II.3 Dérivation de la fonction limite
Soit (fn)n∈N une suite de fonctions dénies sur un intervalle I. On suppose que : . chaque fonction fn est de classe C1 sur I,
. la suite(fn)n∈N converge simplement vers une fonction f surI, . la suite des fonctions dérivées (fn0)n∈N converge . . .
Alors f est de classe C1 surI et
∀x∈I, f0(x) = Proposition 9 (dérivation de la limite)
Preuve : par convergence uniforme sur tout segment de I, la fonction g est continue sur I d'après le
théorème 6. Soita∈I. Chaque fonctionfn étant de classeC1 sur
Soit X
un une série de fonctions dénies sur un intervalle I. On suppose que : . chaque fonction un est de classeC1 surI,
. la série X
un converge simplement sur I, . la série des dérivées X
u0n converge . . .
Alors la fonction somme
+∞
X
n=0
un est de classeC1 surI et
∀ x ∈ I,
+∞
X
n=0
u
n!
0(x) =
Théorème 10 (dérivation terme à terme)
Exemple : on pose S(x) =
+∞
X
n=0
(−1)n
x+n. Justier que la fonction S est dénie sur R+∗. Montrer que S est de classe C1 surR+∗ et exprimer S0(x) sous la forme d'une somme de série.
III Passage à la limite sous l'intégrale
Soit (fn)n∈N une suite de fonctions continues par morceaux sur I à valeurs dans R telle que :
. la suite(fn) converge simplement vers une fonction f surI . la fonction f est continue par morceaux surI
. il existe une fonction ϕ:I −→R+ positive, continue par morceaux et intégrable surI telle que
∀ n ∈ N , ∀ t ∈ I,
Alors les fonctions fn etf sont intégrables sur I et
Z
I
f
n(t) d t −→
(n→+∞)
Théorème 11 (de convergence dominée, admis)
Le troisième point s'appelle l'hypothèse de domination.
Exemple : déterminer lim
n→+∞
Z +∞
0
1
1 +t2+tne−tdt
