Programme de colles MP2 Semaine 10 (5-9 d´ecembre 2016)
Fonctions vectorielles, suites de fonctions
Plan de cours
Fonctions vectorielles
Tous les evn consid´er´es sont de dimension finie.
Int´egration d’une fonction vectorielle continue par morceaux sur un segment. D´efinition `a l’aide des fonc- tions coordonn´ees dans une base (et ind´ependance du vecteur obtenue par rapport `a la base choisie). Pas de d´emonstration.
Lin´earit´e, relation de Chasles, sommes de Riemann.
In´egalit´e R
[a,b]f
6R
[a,b]kfk.
Primitive. Lien entre int´egrale et primitive.
In´egalit´e des accroissements finis.
Int´egration par parties, changement de variable, image d’une int´egrale par une application lin´eaire.
Formules de Taylor : avec reste int´egral(e), in´egalit´e de Taylor-Lagrange, formule de Taylor-Young.
Suites de fonctions
Convergence simple d’une suite de fonctions : d´efinition, exemples, propri´et´es conserv´ees, propri´et´es non conserv´ees.
Convergence uniforme d’une suite de fonctions : d´efinition, exemples, propri´et´es conserv´ees (notamment la continuit´e), propri´et´es non conserv´ees.
Th´eor`eme de la double limite (pas de d´emonstration).
Th´eor`eme d’int´egration d’une suite de fonctions.
Th´eor`eme de d´erivation d’une suite de fonction.
Approximation uniforme : approximation d’une fonction continue par morceaux sur un segment par des fonctions en escalier (pas de d´emonstration).
Th´eor`eme de Weierstrass (pas de d´emonstration).
Exercices
Tout sur les fonctions vectorielles, sauf les arcs param´etr´es. Suites de fonctions.
