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Limites et continuit ´e de fonctions
C H A P I T R E
La fonction de Thomae est une fonction d´efinie par le math´ematicien allemend Carl Thomae en 1875, il s’agit d’une fonction d´efinie surR, conti- nue en tout point d’une partie denseR\Qmais ´egalement discontinue sur une autre Q.
Limites de fonction
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1 1 Limite infinie en+∞
Si lorsque le r´eelxprend des valeurs de plus en plus grandes vers +∞ le r´eel f(x) devient de plus en plus grand et finit par d´epasser n’importe quel r´eelA, on dit quef a pour limite +∞en +∞
et on note lim
x→+∞f(x) = +∞.
C’est-`a-dire pour tout A > 0, il existe un r´eel x0 >0 tel que si x > x0 alors f(x)> A.
C
A
x
0f (x)
x
si x > x0alors f(x)> A
D´efinition 1
Remarques.
• Le r´eel −f(x) devient de plus en plus grand et finit par d´epasser n’importe quel r´eel M, on dit quef a pour limite −∞en +∞ et on note lim
x→+∞f(x) =−∞.
C’est-`a-dire pour toutA < 0, il existe un r´eel x0 < 0 tel que si x > x0 alors f(x)< A.
• On a le mˆeme type de d´efinition pour la limite infinie en−∞.
1 2 Limite finie en+∞
Soit f une fonction d´efinie sur un intervalle de la forme [a; +∞[ et Cf sa courbe repr´esentative dans un rep`ere (O;−→ı ;−→) du plan.
Dire que f admet pour limite le r´eel l lorquextend vers +∞signifie que tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs f(x) pour x assez grand et on note lim
x→+∞f(x) =l.
Interpr´etation graphique : on dit alors que la droite d’´equation y =l est asymptote horizontale `a Cf en +∞.
y = a
D´efinition 2
Remarque. Certaines fonctions n’admettent pas de limite en +∞. Par exemple les fonctions cosinus et sinus.
1 3 Limite et ordre
Soitf etg deux fonctions d´efinies sur un intervalle de la forme [a; +∞[.
3 Chapitre 3. Limites et continuit´e de fonctions
Si lim
x→+∞f(x) =let lim
x→+∞g(x) =l0 etf 6g alorsl6l0. Propri´et´e 1
dit des gendarmes
Soit l un r´eel et f, g et h trois fonctions d´efinies sur un intervalle de la forme [a; +∞[, telles que
g6f 6havec lim
x→+∞g(x) =let lim
x→+∞h(x) =l alors lim
x→+∞f(x) =l.
Th´eor`eme 1
D´emonstration.SoitJ un intervalle ouvert contenantl.
Comme lim
x→+∞g(x) =l, l’intervalleJ contient tous les r´eelsg(x) pourxsup´erieurM1. Comme lim
x→+∞h(x) =l, l’intervalleJ contient tous les r´eelsh(x) pourxsup´erieurM2. On pose M = max(M1;M2), pour tout xsup´erieur `a M, l’intervalleJ contient tous les r´eels g(x) eth(x), org(x)6f(x)6h(x) doncJ contient tous les r´eels f(x).
On en d´eduit que lim
x→+∞f(x) =l.
1 4 Th´eor`eme de comparaison
Soitf etg deux fonctions d´efinies sur un intervalle de la forme [a; +∞[.
• Si pour toutxde [a; +∞[,f(x)>g(x) et lim
x→+∞g(x) = +∞alors lim
x→+∞f(x) = +∞.
• Si pour toutxde [a; +∞[,f(x)6g(x) et lim
x→+∞g(x) =−∞alors lim
x→+∞f(x) =
−∞.
Th´eor`eme 2
1 5 Limite en un r´eela
On dit quef(x) tend vers +∞lorsquextend versaquand tout intervalle ouvert de la forme ]A; +∞[, avec A r´eel, contient toutes les images f(x) pour x assez proche dea.
On ´ecrit lim
x→af(x) = +∞.
Dans ce cas, la droite d’´equationx=aestasymptote`a Cf. On d´efinit de fa¸con analoguef a pour limite−∞ena.
D´efinition 3
Remarque.Le th´eor`eme des gendarmes et les th´eor`emes de comparaison restent va- lables pour les limites en−∞ou en r´eela.
1 6 Limites et op´erations 1. Somme
Limite def l l +∞ −∞
Limite deg l0 ±∞ +∞ −∞
Limite de (f+g) l+l0 ±∞ +∞ −∞
Dans le cas limf(x) = −∞ et limg(x) = +∞ on ne peut pas tirer de conclusion g´en´erale pour (f +g), il s’agit d’uneforme ind´etermin´ee.
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2. Produit
Limite def l l6= 0 +∞ +∞ −∞
Limite deg l0 ±∞ +∞ −∞ −∞
Limite de (f×g) l×l0 ∗∞ +∞ −∞ +∞
∗: + ou−appliquer la r`egle des signes.
Dans le cas limf(x) = 0 et limg(x) =±∞, on ne peut pas tirer de conclusion g´en´erale pour (f×g) , il s’agit d’uneforme ind´etermin´ee.
3. Quotient
Limite def l l +∞ −∞
Limite deg l06= 0 ±∞ l06= 0 l06= 0 Limite de
f
g
l
l0 0 ∗∞ ∗∞
∗: + ou−appliquer la r`egle des signes.
Dans les cas limf(x) = ±∞et limg(x) =±∞, limf(x) = 0 et limg(x) = 0, on ne peut pas tirer de conclusion g´en´erale pour
f
g
, il s’agit deformes ind´etermin´ees.
1 7 Quotient de polynˆomes
Soit deux fonctionsf et g, admettant des limites soit en−∞, +∞ou en un r´eela.
limites de Fonctions rationnelles
En +∞ et en −∞ uniquement, la limite de la fonction rationnelle d´efinie par anxn+. . .+a0
bpxp+. . .+b0
(avecan 6= 0 etbp6= 0 est celle dex→ anxn bpxp.
On dit qu’`a l’infini un quotient de polynˆomes a mˆeme limite que le quotient sim- plifi´e de ses termes du plus haut degr´e.
Th´eor`eme 3
