Suites et séries de fonctions

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le 6 D´ecembre 2010 UTBM MT26

Arthur LANNUZEL http ://mathutbmal.free.fr

Suites et S´ eries de fonctions

Dans ce chapitre, on travaille avec des fonctions de Rdans K=R ouC.

1 Les suites de fonctions.

1.1 D´ efinition.

Soit K=Rou C.

D´efinition 1.1 (Suite de fonction)

Soit D ⊂ R et ∀n∈N, n ≥n₀, f_n:D −→K.

(fn)n≥n0 est appel´ee suite de fonctions (r´eelles ou complexes).

Exemples 1.2

i) Pour(a_n)n∈N⊂R, on peut d´efinir la suite de fonctions r´eelles de terme g´en´eralf_n(x) =a_nxⁿ. ii) Pour(a_n)_n∈N⊂Ret(b_n)_n∈N⊂R, on peut d´efinir les suites de fonctions r´eelles(a_ncos(nx))_n et (b_nsin(nx))_n.

iii) On ne peut pas d´efinir une suite de fonction du type(ln(x−n))_ncar ces fonctions ne peuvent ˆ

etre d´efinies sur un mˆeme sous-ensemble de R.

1.2 Convergence simple.

D´efinition 1.3 On dit que (fm)m, suite de fonction d´efinies sur D, converge simplement vers f ssi

∀x∈ D, lim

m→+∞f_m(x) = f(x).

i.e. ∀x∈ D,∀ >0,∃N ∈N,∀n≥N,|f(x)−f_n(x)|< . Exemples 1.4 convergence de x7→(sin(x))ⁿ sur R? et sur [0, π]?

1.3 Convergence uniforme.

D´efinition 1.5 On dit que(fm)m, suite de fonction d´efinies surD, converge uniform´ement vers f ssi :

∀ >0,∃N ∈N,∀n≥N,∀x∈ D,|f(x)−f_n(x)|< . Remarque 1.6 1) CU =⇒CS

2) f_n converge unif orm´ement vers f sur D ⇐⇒ sup{|f_n(x)−f(x)|, x∈ D} −→n→+∞0.

Exemples 1.7 1) Paradoxe de la diagonale.

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2) Convergence de la suite de fonction d´efinie par f_n(x) = nx

1 +n²x².

3) Convergence sur [0,1] de la suite de fonction d´efinie par fn(x) = ne^−x+x²

n+x .

4) Convergence de la suite de fonction d´efinie par f_n(x) = nx³

1 +nx².

Convergence uniforme et limite.

Proposition 1.8 Soit (f_n)_n une suite de fonctions convergeant uniform´ement sur D vers f.

Soit a ∈ D

(D=D ∪ {limites de suites d⁰el´ements de´ D}).

Supposons que

∀n,lim

x→afn(x) =ln. Alors (l_n)_n converge vers une limite l et

x→alimf(x) = l.

Preuve.

1) Montrons que (l_n)_n est de Cauchy (ce qui montrera qu’elle converge).

[Soit >0.

La convergence est uniforme, donc ∃N ∈N,∀n ≥N,∀x∈ D,|f(x)−fn(x)|< ₂ Donc ∀p, q ≥N,∀x∈ D,|f_p(x)−f_q(x)|< .

Donc, en faisant tendre x vers a, ∀p, q ≥N,|l_p−l_q|< .]

Donc (ln)n converge vers une limite l ∈K.

2) Montrons que f(x) converge versl quand x→a.

[Soit >0.

La convergence est uniforme, donc ∃N1 ∈N,∀n ≥N1,∀x∈ D,|f(x)−fn(x)|< ₃ (l_n)_n converge vers l, donc ∃N₂ ∈N,∀n≥N₂,|l_n−l|< ₃.

Soit N = max{N₁, N₂}.

fN(x) converge verslN quand x→a, donc, ∃η >0,∀x∈ D,(|x−a|< η =⇒ |fN(x)−lN|< ₃. Donc ∀x∈ D(|x−a|< η =⇒ |f(x)−l|< ).]

Donc limx→af(x) =l.

CQFD

Corollaire 1.9 (IMPORTANT)

Soit (f_n)_n une suite de fonctions continues sur D, convergeant uniform´ement sur D vers f.

Alors f est continue sur D.

Exercice 1.10 Domaine de convergence et limite de (tⁿ)_n. La convergence est elle uniforme sur ce domaine ? Est-elle uniforme sur [0,1[? sur [0, a] (0< a <1) ?

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Convergence uniforme et int´egrale.

Proposition 1.11 Soit (fm)m une suite de fonctions continues sur [a, b], convergeant uni- form´ement sur [a, b] vers f.

Z b a

f(t)dt= lim

m→+∞

Z b a

fm(t)dt.

Preuve.

Pour m assez grand −≤f_m−f ≤, donc pourm assez grand−(b−a)≤Rb

a f_m−Rb

af ≤(b−a).

CQFD

Exemples 1.12 Etudier la convergence sur [0,1] de fn(x) = n²xⁿ(1−x).

Remarque 1.13 ATTENTION !

Le th´eor`eme pr´ec´edent ne se g´en´eralise pas tel quel aux int´egrales g´en´eralis´ees.

Exemple : Soit f_n: [0,+∞[−→R definie par







f_n(x) = 0 si x∈[0, n²−n]∪[n²+n,+∞[

f_n(x) = _n¹2x+ (_n¹ −1) si x∈]n²−n, n²] fn(x) = −_n¹2x+ (_n¹ + 1) si x∈]n², n²+n]

On a besoin, en plus, dans le cas des int´egrales g´en´eralis´ees d’une hypoth`ese de convergence domin´ee (hors programme).

Convergence uniforme et d´eriv´ee.

Proposition 1.14 Soit(fm)mune suite de fonctions d´erivables sur un intervalleI, convergeant sur I vers f. Supposons que (f_m⁰ )_m converge uniform´ement sur I vers g.

Alors f est d´erivable et g =f⁰.

Preuve.

Soit a∈I.

D’apr´es la proposition pr´ec´edente

∀x∈I, lim

n→+∞

Z x a

f_n⁰(x)dx= Z x

a

g(x)dx.

Mais Rx

a f_n⁰(x)dx=f_n(x)−f_n(a) qui tend versf(x)−f(a). Donc Rx

a g(t)dt =f(x)−f(a).

Donc f(x) =f(a) +Rx

a g(t)dt est d´erivable de d´eriv´eeg(x).

CQFD

Exercice 1.15 Montrer que la suite de fonction (f_n)n∈N^∗ par fn: [−1,1] −→ R

x 7→ p

x²+ 1/n

converge uniform´ement vers f non-d´erivable sur [−1,1].

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2 S´ eries de fonctions.

2.1 D´ efinition.

D´efinition 2.1 On appelle (S_n)n≥n₀, s´erie de fonctions, une suite du type

S_n=

k=n

X

k=n0

f_k

avec f_n :D ⊂R−→K=R ou C. On la note

Xf_n.

2.2 Convergence simple et absolue.

D´efinition 2.2 On dit qu’une s´erie de fonction P

f_n converge simplement sur D ssi la suite des sommes partielles S_n converge simplement sur D.

On dit qu’une s´erie de fonction P

fn converge absolument sur D ssi la suite des sommes partielles Pk=n

k=n0|f_n| converge simplement sur D.

Remarque 2.3

CA=⇒CS.

Exercice 2.4 Convergence simple de P xⁿ.

2.3 Convergence uniforme.

D´efinition 2.5 On dit qu’une s´erie de fonction P

f_n converge uniform´ement sur D ssi la suite des sommes partielles Sn converge uniform´ement sur D.

Exemples 2.6 P(−1)ⁿ

n+x sur [0,+∞[.

2.4 Convergence normale.

D´efinition 2.7 On dit qu’une s´erie de fonction P

f_n converge normalement sur D ssi il existe uune s´erie P

a_n convergente avec ∀n ∈N,∀x∈ D,|f_n(x)| ≤a_n. Remarque 2.8

CN =⇒CU =⇒CS.

CN =⇒CA=⇒CS.

ATTENTION ! Dans l’exemple ci-dessus la convergence n’est pas normale car sup{|⁽⁻¹⁾_n+xⁿ|, x∈ [0,+∞[}= _n¹.

Exemples 2.9 1) Etude de Psin(nx) n!

2) et P

nx²e^−x

√n.