Exercices - Suites et séries de fonctions

Exercice 1 - Vrai/Faux- L2/Math Spé - ?

1. VRAI/VRAI (les inégalités larges se conservent par passage à la limite).

2. FAUX/FAUX (penser à fn(x) =xⁿ sur [0,1/2]).

3. VRAI/VRAI

4. FAUX (penser à f_n(x) = xⁿ sur [0,1]) / VRAI (c’est tout l’intérêt des convergences uniformes).

Convergence de suites de fonctions

Exercice 2 - Premières études de convergence uniforme- L2/Math Spé - ? 1. On a :

fn(x) = 1−xⁿ 1−x ,

et donc la suite converge simplement vers f(x) = _1−x¹ sur ] −1,1[. Posons ϕ_n(x) = f(x)−fn(x). On a :

ϕn(x) =− xⁿ 1−x,

qui tend vers −∞ si x tend vers 1. D’où kf_n−fk_∞ = +∞ et la convergence n’est pas uniforme sur ]−1,1[. Dans le deuxième cas, on vérifie aisément en étudiant ϕn que :

sup

x∈[−a;a]

|ϕ_n(x)|= aⁿ 1−a, ce qui garantit la convergence uniforme sur [−a, a].

2. Il est clair que f_n converge simplement vers la fonction nulle sur [0,1] (séparer les cas x= 0,x= 1, x∈]0,1[). D’autre part, on a :

f_n⁰(x) =−nxⁿ⁻¹(nlnx+ 1), et la dérivée s’annule en e^−1/n. Or,

f_n(e^−1/n) =−e⁻¹ =⇒ kf_nk_∞≥e⁻¹. La convergence n’est pas uniforme.

3. L’inégalité |f_n(x)| ≤ e^−nx prouve que fn converge simplement vers la fonction nulle.

Posonsg(x) =e^−xsin(2x). On af_n(x) =g(nx), et donc la suite kf_nk_∞=kgk_∞>0

vaut une constante strictement positive, elle ne peut pas tendre vers 0 quand n→+∞ : la convergence n’est pas uniforme surR⁺. En revanche, sia >0 et x≥a, on a :

|f_n(x)| ≤e^−na, ce qui prouve la convergence uniforme sur [a,+∞[.

Exercice 3 - Avec paramètre- L2/Math Spé - ?

Pourx= 1, on afn(1) = 0 quelque soitn. Pourx∈[0,1[, par comparaison entre puissances et exponentielles, on sait quefn(x) tend vers 0. Donc la suite (fn) converge simplement vers 0.

Pour étudier la convergence uniforme, on doit étudier la suitekf_n−0k_∞. Pour cela, on dérive f_n :

f_n⁰(x) =n^a+1xⁿ⁻¹(1−x)−n^axⁿ=n^axⁿ⁻¹(n(1−x)−x).

Ainsi, f_n⁰ s’annule en 0 et en xn = _n+1ⁿ qui sont tous les deux des points de [0,1]. Puisque f_n(0) =f_n(1) = 0, on trouve que

kf_nk_∞ = |f_n(x_n)|

= n^a n

n+ 1 n

1− 1 n+ 1

= n^a n+ 1

n n+ 1

n

.

Or, en passant par l’exponentielle et le logarithme, on prouve facilement que n

n+ 1 n

→e⁻¹. On en déduit que

kf_nk_∞∼_+∞e⁻¹n^a−1.

Ainsi, (f_n) converge uniformément vers 0 (ie (kf_nk_∞) tend vers 0) si et seulement si a <1.

Exercice 4 - - L2/Math Spé -?

Les fonctionsf_nsont paires, on peut restreindre l’étude à [0,+∞[.f_n(0) =net donc (f_n(0)) diverge. Pourx >0, la comparaison des fonctions puissance et exponentielle fait que (ne^−n2x2) tend vers 0. Donc la suite (fn) converge simplement vers la fonction nulle sur R\{0}.

Passons à l’étude de la convergence uniforme. Sur [a,+∞[, les fonctions (f_n) sont positives et décroissantes. On a donc

sup

x∈[a,+∞[

|f_n(x)−0| ≤fn(a)

et comme (f_n(a)) tend vers 0, il en est de même de (sup_x∈[a,+∞[|f_n(x)−0|)_n. La convergence est donc uniforme sur [a,+∞[. Sur ]0,+∞[, on a

sup

x∈]0,+∞[

|f_n(0)| ≥fn(1/n) =ne⁻¹ →+∞.

La convergence n’est donc pas uniforme sur ]0,+∞[.

Exercice 5 - Étude qualitative- L2/Math Spé - ??

1. Pour x = 0, on afn(x) = 0. Pour x 6= 0, on afn(x) ∼_{+∞ n2}²ⁿn^xx² →0. Donc la suite (fn) converge simplement vers la fonction nulle.

2. On a

I_n = Z 1

0

2ⁿx 1 + 2ⁿnx²dx

= 1

2nln 1 + 2ⁿnx² 1

0

= 1

2nln(1 + 2ⁿn).

Ainsi, on trouve que

I_n∼_+∞ 1

2nln(2ⁿn) = nln 2 + lnn

2n → ln 2

2 .

Si la suite (fn) convergeait uniformément sur [0,1], on aurait d’après le théorème d’inver- sion limite/intégrale

ln 2

2 = lim

n→+∞

Z 1 0

f_n(t)dt= Z 1

0

limn f_n(t)dt= Z 1

0

0dt= 0.

Ce n’est pas le cas, donc on n’a pas convergence uniforme de (f_n) sur [0,1].

3. Posonsxn= ₂¹n. Alors

f_n(x_n) = 1

1 +₂ⁿ_n →1.

En particulier, pournassez grand, on a

kf_n−0k_∞≥f_n(x_n)≥1/2.

Ceci prouve directement que la suite (fn) ne converge pas uniformément sur [0,1].

Exercice 6 - Exemples plus difficiles -L2/Math Spé - ??

1. Puisque

|f_n(x)| ≤ 1 n√

x,

il est clair que la suitef_nconverge simplement vers 0 sur R⁺. Pour étudier la convergence uniforme, remarquons quef_n s’écrit :

f_n(x) = 1

√n

sin(nx)

√nx = 1

√ng(nx),

oùg(x) = ^sin√_x^x,g(0) = 0. Prouvons queg est bornée : d’abord,gest continue sur [1,+∞[, et elle admet une limite finie (=0) en +∞:gest bornée sur [1,+∞[. D’autre part, puisque sinx∼x, limx→0g(x) = 0, etgest continue sur [0,1] : elle y est donc bornée, et finalement g est bornée surR⁺. Maintenant,

kf_nk∞=

√1 ng

∞

= 1

√nkgk∞→0, ce qui prouve la convergence uniforme vers 0.

2. Par périodicité, on peut se ramener à l’intervalle [−π, π]. Prouvons d’abord la convergence simple vers 0. Si |sin(x)| 6= 1, le résultat est simple car alors sinⁿx tend vers 0. Si

|sinx|= 1, alors cosx= 0 et dans ce cas fn(x) = 0. Prouvons désormais la convergence uniforme de (f_n) vers 0 en étudiant, pour chaque n fixé, la fonction f_n. Remarquons que f_n étant continue bornée et 2π-périodique, elle admet un maximum et un minimum sur R. En ce maximum et en ce minimum, on a nécessaire f_n⁰(x) = 0. Mais, f_n⁰(x) = sinⁿ⁻¹(x)(ncos²x−sin²x). On remplace encore sin²x par 1−cos²x, pour trouver que

f_n⁰(x) = sinⁿ⁻¹(x) (n+ 1) cos²x−1.

Les points où la dérivée s’annule sont ceux pour lesquels sinⁿ⁻¹(x) = 0 ou cos²x= _n+1¹ . Les premiers donnent fn(x) = 0. Pour les seconds, on ne peut malheureusement pas calculer expliciter les valeurs de x pour lesquelles cos²x = _n+1¹ . Mais si on remplace directement dans l’expression de f_n, on trouve qu’en ces points

|f_n(x)| ≤1× 1

√n+ 1. Ainsi, on a démontré que

sup

x∈R

|f_n(x)| ≤ 1

√n+ 1

ce qui achève la preuve de la convergence uniforme surR de (f_n) vers 0.

Exercice 7 - - L2/Math Spé -??

1. On a ^(n−1)x_n →xet donc, par théorème de composition des limites,f_n(x)→e^x pour tout x∈R.

2. Fixonsb∈Rqu’on peut supposer positif, et prenonsx∈]− ∞, b]. Alors, d’après l’inégalité des accroissements finis,

exp

(n−1)x n

−exp(x)

≤

(n−1)x

n −x

sup

t∈I_x

|exp(t)|

≤ |x|

n sup

t∈Ix

|exp(t)|

oùIxest l’intervalle^h(n−1)x_n , xⁱsix >0, l’intervalle^hx,^(n−1)x_n ⁱsix≤0. Mais, six∈[0, b], alors

|x|

n sup

t∈Ix

|exp(t)| ≤ bexpb n . Six <0, alors

|x|

n sup

t∈Ix

|exp(t)| ≤ |x|exp(x/2)

n .

Or, il est très facile de vérifier que la fonction x7→ |x|exp(x/2) est majorée sur ]− ∞,0].

C’est en effet une fonction continue qui tend vers 0 en −∞. Ainsi, il existe M tel que, pour toutx <0,

|x|exp(x/2)≤M.

On en déduit, pour tout x∈]− ∞, b],

exp

(n−1)x n

−exp(x)

≤ max(be^b, M)

n ,

ce qui prouve la convergence uniforme sur ]− ∞, b].

3. On a

exp(n)−f(n) = exp(n)−exp(n−1)

= exp(n) (1−exp(1−1/n))

∼ exp(n)

n →+∞.

Ceci prouve que la convergence n’est pas uniforme sur Rtout entier.

Exercice 8 - Une belle bosse -L2/Math Spé - ???

Soit x ∈ R+. Il existe un n0 tel que pour n ≥ n0, fn(x) = 1−^x_nⁿ = exp nln 1−_n^x. Maintenant,

ln

1−x n

=−x n+o

x n

. On a donc

fn(x) =e^−x+o(x),

ce qui prouve quefn converge simplement vers la fonction f(x) =e^−x. On pose alors ϕn(x) = f_n(x)−f(x).ϕ_n est dérivable sur [0, n], et sa dérivée vaut :

ϕ⁰_n(x) =−

1−x n

n−1

+e^−x.

Malheureusement, cette fonction n’est pas très facile non plus à étudier. On note x₀ un point où la dérivée s’annule. Essayons de majorer|ϕ_n(x0)|:

ϕn(x0) =

1−x₀ n

n

−e^−x0

=

1−x₀

n 1−x₀ n

n−1

−e^−x0

= −e^−xx₀ n.

Posons g_n(x) =e^{−x x}_n. Sur [0, n], la borne supérieure de|ϕ_n(x)|est atteinte ou a une borne de l’intervalle, ou en un point où la dérivée s’annule. Sur [n,+∞[, on constate facilement que c’est en n. On a donc :

kϕ_nk_∞≤max e⁻ⁿ, max

x∈[0,n]|g_n(x)|

! .

On s’est donc ramené à l’étude d’une fonction plus facile à manipuler. En effet, g⁰_n(x) = 0 ⇐⇒ e^−x

n (1−x) = 0 ⇐⇒ x= 1.

Ceci prouve que

sup

x∈[0,n]

|g_n(x)| ≤max e⁻ⁿ,e⁻¹ n

! . Bref, on a :

kϕ_nk_∞≤ 1 en. La suite (f_n) converge uniformément sur R+ vers f. Exercice 9 - Suite récurrente- L2/Math Spé - ???

1. Fixons x∈I et posons, pour t∈I,φ(t) =t+¹₂(x−t²), de sorte quef_n+1(x) =φ(f_n(x)).

Posons, pour simplifier les notations, un = fn(x). On doit étudier la suite récurrente u_n+1 =φ(u_n), avec u₀ = 0. Remarquons que φ⁰(t) = 1−t≥ 0 et donc φ est croissante sur I. On a de plus φ(I) = [φ(0), φ(1)] = [x/2,(x+ 1)/2] et donc φ(I) ⊂I. Ainsi, (u_n) est à valeurs dansI. De plus, u1 ≥u0 et donc la suite (un) est croissante. Ainsi, la suite est croissante, majorée donc elle converge. Sa limitel vérifieφ(l) =l soit immédiatement l=√

x.

2. D’après la question précédente, on sait que, pour tout entier n∈ N et tout x ∈ I, on a fn(x)≤√

x (la suite est croissante). On en déduit que 0≤√

x−f_n+1(x) = √

x−f_n(x)−(x−f_n(x)²)/2

= (√

x−f_n(x) 1−(√

x+f_n(x))/2

≤ (√

x−fn(x))(1−√ x).

Par récurrence immédiate, on obtient 0≤√

x−f_n(x)≤(√

x−f_n(0))(1−√ x)ⁿ, ce qui est le résultat demandé.

3. Si on étudie la fonctiont7→t(1−t)ⁿ sur [0,1], on vérifie qu’elle atteint son maximum en t= 1/(n+ 1). On en déduit que

0≤√

x−fn(x)≤ 1 n+ 1

1− 1 n+ 1

n

.

Passant par l’exponentielle, on remarque que

1− 1 n+ 1

n

→e⁻¹ et donc on a majoré|√

x−f_n(x)|par une quantité indépendante dex et qui tend vers 0.

Ceci prouve la convergence uniforme de la suite sur [0,1].

Convergence de séries de fonctions

Exercice 10 - Exemples et contre-exemples- L2/Math Spé/Agreg interne - ?

1. Il est très facile de prouver la convergence simple sur R+. Pour x = 0, on a en effet u_n(0) = 0, qui est bien le terme général d’une série convergente. Pour x > 0, on a un(x)∼_{n→+∞ n}^x₂, qui est aussi le terme général d’une série convergente.

2. On va prouver la convergence normale. On a en effet, pour tout x∈[0, A],

|u_n(x)| ≤ A n², terme général d’une série convergente.

3. Il suffit d’écrire que, pour n+ 1≤k ≤2n, on an²+k² ≤5n², et donc _n2+k^{n 2} ≥ _5n¹ . On obtient finalement

vn≥n× 1 5n = 1

5.

4. Il est plus difficile de prouver la non-convergence uniforme. On peut procéder de la façon suivante. Supposons que la convergence est uniforme. Alors, pour tout ε >0, il existe un entier N tel que, pour tout n≥N, et toutx∈R+, on ait

+∞

X

k=n+1

uk(x)

≤ε.

En particulier, pourn=N etx=N, on doit avoir

2n

X

k=n+1

u_n(n)≤ε.

Mais,

ε≥

2n

X

k=n+1

un(n)≥ 1 5. Bien sûr, siε <1/5, c’est impossible.

Cette partie de la démonstration est souvent rédigée en niant le critère de Cauchy uni- forme.

5. Nous allons prouver la convergence uniforme en utilisant le critère des séries alternées.

En effet, à x fixé, la suite (un(x)) est positive, décroissante et tend vers 0. La série P+∞

n=1(−1)ⁿun(x) est donc convergente, et on a la majoration du reste :

+∞

X

k=n

(−1)ⁿu_n(x)

≤u_n(x) = x n²+x².

Reste à majorer le membre de droite de l’équation précédente par un terme qui tend vers 0 et ne dépend pas dex. Mais on a

x n²+x² ≤

√x²+n²

n²+x² ≤ 1

√

x²+n² ≤ 1 n. On a donc bien convergence uniforme surR+.

6. Puisque |(−1)ⁿun(x)| = |u_n(x)|, la convergence normale sur [0, A] se démontre comme ci-dessus.

7. D’autre part, si on avait convergence normale sur R+, alors on aurait aussi convergence normale de la série^P_nu_n(x) surR+, donc convergence uniforme de cette même série, ce qui n’est pas le cas d’après la première question.

Exercice 11 - Exemples et contre-exemples- Math Spé/L3/L2 -? 1. Pour x∈]0,1[,un(x)>0 et

un+1(x)

u_n(x) →x∈]0,1[.

Par le critère de d’Alembert, la série de terme général un(x) est convergente. Si x = 1, alors u_n(x) = 0 et la convergence est triviale. De plus, on a clairement S(1) = 0. La convergence dans le casx= 0 est elle aussi triviale.

2. Pour étudier la convergence normale, on doit étudier la série ^P_nku_nk_∞. Pour calculer

|u_nk∞, on dériveun :

u⁰_n(x) =n^a+1xⁿ⁻¹(1−x)−n^axⁿ=n^axⁿ⁻¹(n(1−x)−x).

Ainsi,u⁰_ns’annule en 0 et en x_n= _n+1ⁿ qui sont tous les deux des points de [0,1]. Puisque u_n(0) =u_n(1) = 0, on trouve que

ku_nk_∞ = |u_n(x_n)|

= n^a n

n+ 1 n

1− 1 n+ 1

= n^a n+ 1

n n+ 1

n

.

Or, en passant par l’exponentielle et le logarithme, on prouve facilement que n

n+ 1 n

→e⁻¹. On en déduit que

ku_nk_∞∼_+∞e⁻¹n^a−1. Ainsi, il y a convergence normale si et seulement sia <0.

3. Sia= 0 etx∈[0,1[, on peut encore écrire S(x) =^X

n≥0

xⁿ−^X

n≥0

xⁿ⁺¹ = 1.

Ainsi, S = 1 sur [0,1[ etS(1) = 0. La convergence ne peut pas être uniforme sur [0,1].

En effet, si cela était le cas, alors puisque chaque termex7→u_n(x) est continue sur [0,1], ce serait également le cas de la somme, ce qui n’est pas le cas ici.

4. Nous allons utiliser la question précédente, en remarquant que, pour x∈[0,1[ eta >0, n^axⁿ(1−x)≥xⁿ(1−x)

ce qui implique S(x) ≥ 1 si x ∈ [0,1[. Une nouvelle fois, ceci interdit la convergence uniforme puisqueS n’est pas continue en 1.

Exercice 12 - CSSA - Math Spé/L2 - ?

1. On va appliquer le critère des séries alternées. Il est clair que |u_n(x)|tend vers 0, reste à voir que, pourx≥0, on a|u_n+1(x)| ≤ |u_n(x)[. Mais,

x

(n+ 1)(1 +x) ≤ x n(1 +x), et on conclut par croissance de la fonction logarithme.

2. Le critère des séries alternées nous donne même une majoration du reste de la série. On a en effet

|R_n(x)|=

X

k≥n+1

u_k(x)

≤ |u_n+1(x)| ≤ x

(n+ 1)(1 +x) ≤ 1 n+ 1

où on a utilisé que ln(1 +t) ≤ t pour t > −1. On a majoré le reste indépendamment de x ∈ R+ par quelque chose qui ne dépend pas de n. C’est bien que la série converge uniformément surR+.

3. On n’a même pas convergence absolue de la série à x >0 fixé. Par exemple,

|u_n(1)|= ln

1 + 1 2n

∼_+∞ 1 2n.

La série^P_n|u_n(1)|diverge. A fortiori, il en est de même de la série ^P_nku_nk_∞. Exercice 13 - Uniforme non normale -Math Spé/L2 - ??

1. Pour x= 0, la série converge carun(0) = 0. Pourx >0 fixé, on a u_n(x) =o

1 n²

, et donc la série ^P_nu_n(x) converge.

2. Une étude rapide deu_n montre qu’elle atteint son maximum en 1/n. On a donc X

n≥2

ku_nk_∞=^X

n≥2

un(1/n) = ^X

n≥2

e⁻¹ nlnn.

Il est bien connu que cette dernière série est divergente, et donc la convergence n’est pas normale.

3. On va utiliser la somme d’une série géométrique. En effet, pourx >0, on ae^−kx= (e^−x)^k et 0< e^−x <1. On en déduit que

0≤Rn(x)≤ x

ln(n+ 1)× e^−(n+1)x

1−e^−x ≤ 1

ln(n+ 1)× xe^−x 1−e^−x.

Or, il est facile de vérifier que la fonction x7→ _1−e^xe−x−x est bornée sur R+. On peut étudier cette fonction ou remarquer que

– Elle se prolonge par continuité en 0 : en effet xe^−x

1−e^−x = x+o(x) x+o(x) →1.

– La fonction est donc bornée sur tout intervalle du type [0, A].

– La fonction tend vers 0 en +∞, on sait donc que sa valeur absolue est majorée par 1 sur un certain intervalle [A,+∞[.

On peut aussi écrire

xe^−x

1−e^−x = x e^x−1 ≤1

puisque par convexité de la fonction exponentielle, e^x−1≥x.

Soit M un majorant de la fonctionx 7→ _1−e^xe−x−x . On a donc, pour tout x≥ 0 (l’inégalité est aussi valable pourx= 0 carRn(0) = 0) :

|R_n(x)| ≤ M ln(n+ 1).

On a majoré le reste par quelque chose qui ne dépend pas de x ∈R+ et qui tend vers 0 lorsquentend vers +∞. C’est bien que la série converge uniformément sur R+.

Exercice 14 - Suite et séries - L2/Math Spé - ??

1. (a) Pour 0, fn(0) = 0 et la suite converge. Pour x > 0, la suite (g(x)e^−nx) tend vers 0.

La suite de fonctions (f_n) converge donc simplement vers 0.

(b) NotonsM un majorant de|g|. Pourx > a, on a|f_n(x)| ≤M e^−nx≤M e^−na, suite qui tend vers 0 indépendamment dex. Ceci prouve la convergence uniforme sur [a,+∞[.

(c) Par continuité deg en 0, et puisqueg(0) = 0, il existe a >0 tel que |g(x)| ≤εpour x ∈[0, a]. Il vient |f_n(x)| ≤ε pour tout x ∈[0, a]. De plus, ce aétant fixé, la suite (fn) converge uniformément vers 0 sur [a,+∞[. On peut donc trouver N tel que, pour n ≥N, |f_n(x)| ≤ ε. Résumons. Pour tout ε > 0, on peut trouver N ∈ N tel que, pour toutn≥N, on a

|f_n(x)| ≤ε

(lean’apparait plus, il sert uniquement dans la preuve.) C’est bien que la suite (fn) converge uniformément vers 0 surR+.

2. (a) L’étude se fait suivant le même principe. Pour x = 0, le terme général est nul, et pour x >0, il s’agit du terme général d’une suite géométrique de raison de module inférieur strict à 1. On a bien convergence de^P_nfn(x). De plus, si x ∈[a,+∞[, on a

|f_n(x)| ≤M e^−na,

qui est le terme général d’une série numérique convergente. C’est bien que la série converge normalement sur [a,+∞[.

(b) Considérons le reste de rang nde la série : pourx >0, R_n(x) = ^X

k≥n+1

f_n(x) = g(x)

1−e^−xe^−(n+1)x.

Si la courbe représentative degest tangente à l’axe des abscisses à l’origine, c’est que g(x)/xtend vers 0. Posons alors pourx >0g1(x) = _1−e^g(x)−x. Puisque 1−e^−x ∼₀x, on peut prolongerg₁ par continuité en 0 en posant g(0) = 0. Ceci définit une fonction bornée sur R+ et continue en 0. On se retrouve dans la situation de la question (1), et on a bien convergence uniforme du reste vers 0 sur R+, ou encore convergence uniforme de la série sur cet intervalle.

Réciproquement supposons queg(x)/xne tend pas vers 0. Alors,g₁ non plus ne tend pas vers 0 en 0 et donc il existe ε >0 tel que

∀η >0, ∃x∈]0, η[ tel que|g₁(x)|> ε.

En prenant des nombresη de la forme η = 1/n, on obtient pour chaque n≥0 une réelx_n tel que

0< x_n< 1

n et|g₁(x_n)|> ε.

Mais alors,

R_n(x_n)≥εe^−(n+1)xn ≥εe^−(n+1)/n≥e⁻¹ε/2 dès que nest assez grand. Ceci nie la convergence uniforme surR+. Exercice 15 - Transformation d’Abel- Math Spé/L2 - ???

1. On va utiliser le critère de Cauchy uniforme, et faire une transformation d’Abel sur le reste. Précisément, en posant An(θ) =^Pn_k=0e^ikθ, on a, pour p≤q :

q

X

n=p

e^inθ

√n =

q

X

n=p

A_n(θ)−An−1(θ)

√n .

On effectue une transformation d’écriture (appelée transformation d’Abel) pour réécrire cette somme comme

q

X

n=p

e^inθ

√n =

q−1

X

n=p

An× 1

√n − 1

√n+ 1

−Ap−1

√p + Aq

√q.

Une bonne façon de comprendre cette transformation est d’écrire les choses de la façon suivante. Au départ, on a

q

X

n=p

e^inθ

√n = Ap

√p −Ap−1

√p + A_p+1

√p+ 1− A_p

√p+ 1+ ...

A_q

√q − Aq−1

√q .

La transformation d’Abel revient à regrouper la somme "en diagonal", de sorte qu’on classe les termes avec le même indiceAn.

Si on revient à l’écriture obtenue, le point clé est queA_n(θ) est borné, indépendamment de n et de θ, sur tout intervalle [a,2π−a]. En effet, on reconnait la somme d’une série géométrique, et on a :

An(θ) = e^i(n+1)θ−1

e^iθ−1 =e^inθ/2sin (n+ 1)θ/2 sin(θ/2) .

Mais commeθ∈[a,2π−a], |sin(θ/2)|est minorée par|sin(a/2)|, et on obtient :

|A_n(θ)| ≤ 1

|sin(a/2)| :=M.

Revenant à la série qui nous intéresse, on trouve donc :

q

X

n=p

e^inθ

√n

≤ M

√p + M

√q +M

q−1

X

n=p

√1

n− 1

√n+ 1. La dernière somme est "télescopique", et on trouve finalement :

q

X

n=p

e^inθ

√n

≤ 2M

√p.

Ainsi, pourε >0 fixé, on peut trouverN assez grand tel que, pourq≥p≥N, on a pour toutθ∈[a,2π−a],

q

X

n=p

e^inθ

√n

≤ε.

Par le critère de Cauchy uniforme, la série converge uniformément sur [a,2π−a].

2. Imaginons que la série converge uniformément sur [0,2π] vers une fonction S, nécessai- rement continue. Puisque S est la limite uniforme d’une série trigonométrique, ses co- efficients de Fourier sont donnés par cn(S) = ^√1_n si n ≥ 1, 0 sinon. Mais alors, par le théorème de Parseval appliqué àS, on aurait

X

n≥1

1 n =

Z 2π 0

|S(e^iθ)|²dθ.

C’est impossible puisque la série qui appartait à gauche est divergente.

Etude de la fonction limite

Exercice 16 - Série alternée - L2/Math Spé - ? 1. Il est clair que la suite_x+n¹

n, pourx >−1 fixé, est positive, décroissante et tend vers 0.

Par application du critère des séries alternées, la série est convergente pour toutx >−1.

2. Posonsu_n(x) = ⁽⁻¹⁾_x+nⁿ. Nous avons vérifié à la question précédente que, pourx >−1 fixé, la série ^P_nu_n(x) vérifie le critère des séries alternées. Par conséquent, on sait que son resteRn(x) vérifie

|R_n(x)| ≤ |u_n+1(x)| ≤ 1 x+n+ 1. Puisque x >−1, on a en particulier

|R_n(x)| ≤ 1 n.

Ceci tend vers 0 (indépendamment dex), de sorte qu’on a prouvé la convergence uniforme de la série ^P_nu_n(x) sur I. Puisque chaque fonction u_n est continue, la fonction S est continue sur I.

3. Chaque fonction un est dérivable sur I avec u⁰_n(x) = ⁽⁻¹⁾_(x+n)ⁿ⁺¹2 . De même qu’à la question précédente, pour x > −1 fixé, la série ^P+∞_n=1u⁰_n(x) est convergente car elle vérifie les conditions du critère des séries alternées. De plus, si on note Tn(x) =^P+∞_k=n+1u⁰_k(x) son reste, on a |T_n(x)| ≤ _(x+n+1)¹ 2 ≤ _n¹2, inégalité valable pour tout x > −1. On peut donc majorer uniformément le reste par une quantité qui tend vers 0 : la série dérivée est uniformément convergente. On en déduit que la fonctionS est dérivable, et que sa dérivée est donnée par ^P_n≥1 ⁽⁻¹⁾_(x+n)ⁿ⁺¹2 . De plus, on sait qu’on peut encadrer la somme d’une série alternée par deux sommes partielles consécutives, par exemple ici

0≤ 1

(x+ 1)² − 1

(x+ 2)² ≤u⁰(x)≤ 1 (x+ 1)². En particulier, la dérivée est positive et la fonction est croissante.

4. De même qu’à la question précédente, par le critère des séries alternées, on peut encadrer S par deux sommes partielles consécutives :

−1

x+ 1 ≤S(x)≤ −1

x+ 1+ 1 x+ 2.

Il suffit alors d’appliquer le théorème d’encadrement des limites pour prouver que

x→−1lim S(x) =−∞et lim

x→+∞S(x) = 0.

Exercice 17 - Série alternée - L2/Math Spé - ??

On poseu_n(x) = ⁽⁻¹⁾_1+nxⁿ.

1. La série définissantSconverge d’après le critère des séries alternées. De plus, notantRn(x) le reste de la série, le critère des séries alternées donne également

|R_n(x)| ≤ 1 1 +nx. Fixons maintenanta >0. Alors, pour toutx≥a,

|R_n(x)| ≤ 1

1 +nx ≤ 1 1 +na.

Ainsi, la suite (|R_n(x)|) est majorée pourx∈[a,∞[ par la suite _1+na¹ , qui ne dépend pas de x, et qui tend vers 0. Ceci prouve la convergence uniforme de la série sur l’intervalle [a,∞[. Comme chaque fonction est continue sur [a,+∞[, il en est de même deS. Puisque a >0 est arbitraire, S est continue sur ]0,+∞[.

2. Puisque la convergence est uniforme sur l’intervalle [1,+∞[, on peut appliquer le théorème d’interversion limite/séries et on a

x→+∞lim X

n≥0

u_n(x) =^X

n≥0

x→+∞lim u_n(x) = 1.

On pouvait également appliquer le critère des séries alternées, et encadrer la somme par les deux premières sommes partielles. On a donc, pour toutx >0,

1− 1

1 +x ≤S(x)≤1.

Il suffit alors d’appliquer le théorème des gendarmes.

3. La fonctionS converge simplement sur ]0,+∞[. Chaque fonctionu_n est de classeC¹ sur ce même intervalle, avec

u⁰_n(x) = (−1)ⁿ⁺¹ (1 +nx)².

On fixe a > 0 et on va démontrer la convergence uniforme de la série ^P_n≥0u⁰_n(x) sur [a,+∞[ en appliquant le critère des séries alternées. Soitx≥a. On a

|u⁰_n(x)| − |u⁰_n+1(x)|= n(n+ 1)x²−1 (1 +nx)²(1 + (n+ 1)x)². Soit n0 ∈N tel que, pourn≥n0, on ait

n(n+ 1)a²−1≥0.

Alorn(n+ 1)x²−1≥0 et donc la série de terme généralu⁰_n(x) converge d’après le critère des séries alternées. De plus, on a

|R_n(x)| ≤ 1

(1 +nx)² ≤ 1 (1 +na)².

On conclut à la convergence uniforme comme à la première question. Donc, par les théo- rèmes généraux,S est de classeC¹ sur [a,+∞[. Commea >0 est arbitraire,S estC¹ sur R^∗+.

Exercice 18 - Fonction zeta - L2/Math Spé -??

1. La série définissant ζ(s) est une série de Riemann. Elle est convergente si et seulement si s > 1. De plus, pour chaque n ≥ 1, les fonctions s 7→ n^−s sont décroissantes, et même strictement décroissantes pour n≥2. Pour 1< s < t, on a donc

1 + 2^−s>1 + 2^−tet ^X

n≥3

1

n^s ≥^X

n≥3

1 n^t

(la deuxième inégalité n’est qu’une inégalité large car on passe à la limite). Ajoutant les deux inégalités, on en déduit que

ζ(s)> ζ(t), ce qui prouve que ζ est décroissante.

2. Chaque fonctions7→n^−sest continue sur son domaine de définition. Il suffit de démontrer que la série de fonctions converge normalement, donc uniformément, sur tout intervalle du type [a,+∞[, avec a >1, pour prouver que la fonction est continue sur ]1,+∞[. Or, pour touts∈[a,+∞[, on a

1 n^s

≤ 1 n^a,

et le terme de droite est le terme général d’une série numérique convergente. Ceci prouve la convergence normale def sur [a,+∞[.

3. Puisque la série définissant ζ converge uniformément sur [a,+∞[, on peut appliquer le théorème d’interversion des limites, et on obtient

s→+∞lim ζ(s) =^X

n≥1 s→+∞lim

1 n^s = 1.

4. Pour x∈[k, k+ 1], on a

1

(k+ 1)^s ≤ 1 x^s ≤ 1

k^s. En intégrant cette inégalité entre ketk+ 1, on trouve

1 (k+ 1)^s ≤

Z k+1 k

dx x^s ≤ 1

k^s.

On somme maintenant ces deux inégalités pour kallant de 1 à +∞. On obtient ζ(s)−1≤

Z +∞

1

dx

x^s ≤ζ(s).

Or,

Z +∞

1

dx x^s = 1

s−1. On obtient finalement :

1

s−1 ≤ζ(s)≤ 1 s−1 + 1 ou encore

1≤(s−1)ζ(s)≤1 + (s−1).

Par le théorème des gendarmes, (s−1)ζ(s) tend vers 1 lorsque s tend vers 1. C’est bien queζ(s)∼₁+ 1

s−1. En particulier, lim_s→1ζ(s) = +∞.

5. On va démontrer queζ est de classe C² sur ]1,+∞[ et prouver queζ⁰⁰(s) ≥0 pour tout s >1. Pour prouver queζest dérivable sur ]1,+∞[, on prouve que la série dérivée converge uniformément sur tout intervalle [a,+∞[, a > 1. Notons fn(s) = n^−s, n ≥ 1 et s > 1.

Alorsf_n⁰(s) = (−lnn)n^−s. Pour s∈[a,+∞[, on a

|f_n⁰(s)| ≤ lnn n^a .

Or, le terme apparaissant à gauche est le terme général d’une série numérique convergente.

En effet, pour b∈]1, a[, on a n^blnn

n^a →0 et donc lnn

n^a =o(n^−b).

Comme ^P_n≥1n^−b converge, il en est de même de la série ^P_n≥1^ln_naⁿ. Par théorème de dérivation d’une série de fonctions, on en déduit queζ est C¹ sur tout intervalle [a,+∞[, donc sur ]1,+∞[, et que sa dérivée ζ⁰ vérifie

ζ⁰(s) = ^X

n≥1

−lnn n^s .

De même, on prouve que ζ est de classeC² et que ζ⁰⁰(s) =^X

n≥1

(lnn)² n^s .

Comme tous les termes apparaissant dans la série sont positifs, on en déduit que ζ⁰⁰ est positive. En particulier,ζ est convexe.

6.

Exercice 19 - Étude- L2/Math Spé - ??

1. Le réel x étant fixé dans R+, fn(x) ∼_+∞ ^x

n^3/2 si x 6= 0, et fn(0) = 0. Ceci prouve la convergence de^P_nf_n(x).

2. Pour x∈[0, M], on a

0≤f_n(x)≤ M

√n(0 +n) = M n√

n.

Le membre de droite est le terme général d’une série numérique convergente. On a donc prouvé la convergence normale de^P_nf_nsur [0, M]. La convergence n’est pas normale sur R. En effet, on a

kf_nk_∞≥fn(n) = n

√n(n+n) = 1 2√

n et^P_nkf_nk_∞ est divergente.

3. La série de fonctions convergeant normalement, donc uniformément, sur tout intervalle [0, M], et chaque fonctionf_n étant continue, la sommef est continue sur tout intervalle [0, M], donc sur R. Pour montrer la dérivabilité sur R, on va s’intéresser à la série des dérivées ^P_nf_n⁰. En effet, chaque fn est de classe C¹ sur R+ et un calcul simple prouve que

f_n⁰(x) =

√n (x+n)².

On va prouver la convergence normale de ^P_nf_n⁰ sur tout [0,+∞[. On a en effet, pour x≥0,

0≤f_n⁰(x)≤ 1 n^3/2.

Le membre de droite est une série numérique convergente,^P_nf_n⁰ converge normalement sur [0,+∞[ et donc f est de classe C¹ sur [0,+∞[ avec f⁰(x) = ^P_nf_n⁰(x) ≥ 0 puisque chaquef_n⁰ est positive. Ainsi, f est croissante sur [0,+∞[.

4. Six₀ ≥n≥1, alors f(x₀)≥

n

X

k=1

x₀

√n(x₀+n) ≥

n

X

k=1

√ n

n(1 + 1) ≥

n

X

k=1

1 2√ k

(on pouvait aussi utiliser quef(x0)≥f(n).) Déduisons en que la limite de f en +∞ est +∞. Fixons A >0. La série ^P_k≥1 ¹

2√

k étant positive et divergente, on peut trouver un entier n >0 tel que^Pn_k=1 ¹

2√

k ≥A. Pour toutx≥n, on a f(x)≥

n

X

k=1

1 2√

k ≥A.

Ceci implique que f tend vers +∞en +∞.

5. On sait que

f(x)

x =

+∞

X

n=1

√ 1

n(x+n).

De plus, la série^P_n≥1 ^√_n(x+n)¹ converge normalement surR+. En effet, pour toutx≥0,

on a

√ 1

n(x+n)

≤ 1 n^3/2, terme général d’une série convergente. De plus,

n→+∞lim

√ 1

n(n+x) = 0.

D’après le théorème d’interversion des limites,

x→+∞lim f(x)

x =^X

n≥1

0 = 0.

Exercice 20 - Étude- L2/L3/Math Spé - ??

1. Remarquons d’abord que s’il existe n ≥ 1 de sorte que x = −_n¹, alors un(x) n’est pas définie. On considère donc x ∈ R qui n’est pas égal à l’un des −¹_n. Si x = 0, alors un(x)∼n→+∞ 1

n, et donc la série est divergente. Six6= 0, alorsun(x)∼n→+∞ 1

n²x et donc la série est convergente. On en déduit que la série converge simplement surR^∗\{−_n¹; n≥ 1}.

2. On va démontrer la convergence normale de la série de fonctions sur tout intervalle [a,+∞[, avec a > 0. Chaque un étant continue, ceci démontrera que S est continue sur [a,+∞[.

Puisque a >0 est arbitraire, ceci prouvera la continuité deS surR^∗+. Donc, pourx≥a, on a

0≤u_n(x)≤ 1 n+n²a.

Or,_n+n¹_2aest le terme général d’une série numérique convergente. Donc la série^P_n≥1u_n(x) converge normalement sur [a,+∞[.

3. Chaque u_n étant décroissante sur R^∗+, il en est de même de la somme S. On aurait pu aussi démontrer queS est dérivable surR^∗₊, et étudier le signe de la dérivée.

4. Par convergence normale, donc uniforme, sur [1,∞[, on a

x→+∞lim X

n≥1

u_n(x) =^X

n≥1

x→+∞lim u_n(x) = 0.

5. Puisque S est décroissante sur R^∗₊,S admet une limite en 0. Pour x >0, on a S(x)≥

N

X

n=1

1 n+n²x.

On passe à la limite, et on obtient

x→0limS(x)≥

N

X

n=1

1 n.

Fixons maintenant A > 0. Par divergence de la série de terme général _n¹, on sait qu’il existeN ∈Nde sorte que

N

X

n=1

1 n ≥A.

On a donc

x→0limS(x)≥A.

Puisque Aest arbitraire, il vient lim_x→0S(x) = +∞.

Exercice 21 - Non-dérivabilité à droite d’une fonction limite- L2/Math Spé - ??

1. Pour t <0, _1+n^e−nt₂ ne tend pas vers 0. La série diverge donc grossièrement. Pourt≥0, on a l’inégalité suivante :

0≤ e^−nt

1 +n² ≤ 1 1 +n².

Comme le terme de droite est le terme général d’une série convergente, la série^P_n1+n^e−nt₂ est convergente. Donc le domaine de définition de f est [0,+∞[.

2. L’inégalité précédente prouve en fait que la série de fonctions est normalement convergente sur [0,+∞[. Chaque fonction t7→ _1+n^e−nt₂ étant continue, f est elle-même continue. On va maintenant étudier la convergence normale des séries dérivées. Fixons a > 0 et posons f_n(t) = _1+n^e−nt2. Alors, pourk≥1, on a

f_n^(k)(t) = (−1)^kn^k e^−nt 1 +n². En particulier, pourt≥a, on a

f_n^(k)(t)≤n^k e^−na 1 +n².

Or, le terme apparaissant à droite est le terme général d’une série convergente, puisque a >0 et donc

n^k e^−na

1 +n² =o(n⁻²).

Ainsi, chaque série^P_nfn^(k) converge normalement sur [a,+∞[. Ceci prouve que f est de classe C^∞ sur [a,+∞[. Comme a > 0 est arbitraire, la fonction est de classe C^∞ sur ]0,+∞[.

3. (a) Puisque _1+nⁿ2 ∼+∞ 1

n, la série ^P_n≥11+nⁿ2 est divergente, et la suite de ces sommes partielles tend vers +∞. On en déduit l’existence de N ≥1 tel que

N

X

n=1

n

1 +n² ≥N.