Exercices sur les suites et séries de fonctions

(1)

Suites et séries de fonctions

Propriétés de la limite d’une suite de fonctions

Exercice 1 [ 00868 ][correction]

Etablir que la limite simple d’une suite de fonctions deI versRconvexes est convexe.

Soient (f_n) une suite de fonctions convergeant uniformément vers une fonctionf etg une fonction uniformément continue.

Montrer que la suite de fonctions (g◦fn) converge uniformément.

Soient (fn) et (gn) deux suites de fonctions convergeant uniformément vers des fonctionsf etg supposées bornées.

Montrer que la suite de fonctions (fngn) converge uniformément vers f g.

Montrer que la limite uniforme d’une suite de fonctions uniformément continues d’un intervalleI deRversRest elle-même une fonction uniformément continue.

Soit (f_n) une suite de fonctions réelles continues et définies sur [a, b]. On suppose quef_n converge uniformément vers une fonction f.

Montrer

inf

[a,b]

f_n → inf

[a,b]

f

On suppose qu’une suite de fonctions (f_n) de [a, b] versRconverge uniformément versf : [a, b]→Rcontinue et on considère une suite (x_n) d’éléments de [a, b]

convergeant versx. Montrer

fn(xn)→f(x)

Soientf :R→Rune fonction continue et (Pn) une suite de fonctions polynomiales convergeant uniformément versf.

a) Justifier qu’il existe un entier naturelN tel que pour toutnsupérieur ou égal à N, on ait pour tout réelx,|Pn(x)−PN(x)|61.

Que peut-on en déduire quant au degré des fonctions polynômesP_n−P_N lorsque n>N?

b) Conclure quef est nécessairement une fonction polynomiale.

Soit (Pn) une suite de fonctions polynômes deRdansR. On suppose que cette suite converge uniformément vers une fonctionf surR. Montrer que la fonctionf est polynomiale.

Etude pratique de la convergence d’une suite de fonctions

On pose

u_n(x) =xⁿlnxavecx∈]0,1] etu_n(0) = 0

Etudier la convergence uniforme de la suite de fonctions (u_n) sur [0,1].

Etudier la convergence uniforme defn : [0,+∞[→Rdéfinie par f_n(x) = x

n(1 +xⁿ)

On pose

u_n(x) = e^−nxsin(nx) avecx∈R⁺

a) Etudier la convergence simple de la suite de fonctions (un) sur [0,+∞[.

b) Etudier la convergence uniforme sur [a,+∞[ aveca >0.

c) Etudier la convergence uniforme sur [0,+∞[.

(2)

On pose

fn(x) =nx²e^−nx avecx∈R⁺

Etudier la convergence uniforme de (fn) surR⁺ puis sur [a,+∞[ aveca >0.

On pose

f_n(x) = 1

(1 +x²)ⁿ avecx∈R

Etudier la convergence uniforme de (f_n) surRpuis sur ]−∞,−a]∪[a,+∞[ avec a >0.

On pose

fn(x) =x²sin 1

nx

pourx >0 etfn(0) = 0

Etudier la convergence uniforme de (f_n) surR⁺ puis sur [−a, a] aveca >0.

Etudier la convergence simple et uniforme surRde la suite de fonctions (fn) donnée par

fn(x) = sinⁿ(x) cos(x)

Etudier la suite de fonctions (fn) définie par f_n(x) =nx²e^−nx

1−e^−x²

On pose, pourx>0,

fp(x) = 1 (1 +x)^1+1/p

Etudier la convergence simple puis uniforme de la suite de fonctions (f_p)_p∈_N?.

On pose

f_n(x) = 2ⁿx

1 +n2ⁿx² pour x∈R Sur quels intervalles y a-t-il convergence uniforme ? Exercice 19 [ 00877 ][correction]

On pose

f_n(x) = 4ⁿ(x²ⁿ−x²ⁿ⁺¹) pourx∈[0,1]

Sur quels intervalles y a-t-il convergence uniforme ? Exercice 20 [ 00881 ][correction]

Soientα∈Retf_n: [0,1]→Rdéfinie par

fn(x) =n^αx(1−x)ⁿ a) Etudier la limite simple de la suite (f_n).

b) Pour quelsα∈R, y a-t-il convergence uniforme ? Exercice 21 [ 02972 ][correction]

Soit, pourn∈N,fn la fonction définie surR⁺ par fn(x) =

1−x n

ⁿ

six∈[0, n[ etfn(x) = 0 six>n Etudier le mode de convergence de (fn).

Soitf_n:R⁺→Rdéfinie par

f_n(x) = 1 +x

n −n

a) Etudier la limite simple de (fn) et montrer que

∀x∈R⁺, f_n(x)>limf_n(x)

b) En partant de l’encadrement suivant valable pour toutt∈R⁺, t−t²

2 6ln(1 +t)6t

justifier que la suite (f_n) converge uniformément sur tout intervalle [0, a] (avec a >0).

c) Etablir qu’en fait, la suite de fonctions (fn) converge uniformément surR⁺.

(3)

Soitfn: [0,1]→Rdéfinie par

fn(x) =n²x(1−nx) six∈[0,1/n] etfn(x) = 0 sinon a) Etudier la limite simple de la suite (f_n).

b) Calculer

Z 1

0

f_n(t) dt

Y a-t-il convergence uniforme de la suite de fonction (f_n) ? c) Etudier la convergence uniforme sur [a,1] avec a >0.

Pourx∈[0, π/2], on posefn(x) =nsinxcosⁿx.

a) Déterminer la limite simple de la suite de fonctions (fn).

b) Calculer

I_n= Z π/2

0

f_n(x)dx La suite (fn) converge-t-elle uniformément ?

c) Justifier qu’il y a convergence uniforme sur tout segment inclus dans ]0, π/2].

a) Montrer que la suite de fonctionsfn(x) =x(1 +n^αe^−nx) définies surR⁺ pour α∈Retn∈N^? converge simplement vers une fonctionf à déterminer.

b) Déterminer les valeurs deαpour lesquelles il y a convergence uniforme.

c) Calculer

n→+∞lim Z 1

0

x(1 +√

ne^−nx)dx

Soit (fn) la suite de fonction définie surR⁺ par f0(x) =xet fn+1(x) = x

2 +f_n(x) pourn∈N Etudier la convergence simple et uniforme de la suite (fn)n>0 surR⁺.

Soitf : [0,1]→[0,1] donnée par

f(x) = 2x(1−x)

Etudier la convergence de (f_n) oùf_n est l’itérén-ième def.

On noteE l’ensemble des fonctionsf : [0,1]→R⁺continues.

On pose

Φ(f)(x) = Z x

0

pf(t) dt pour toutef ∈E.

On posef₀= 1 puisf_n+1= Φ(f_n) pour toutn∈N. a) Etudier la suite (f_n).

b) Soitf = lim(fn).

Trouvez une équation différentielle dontf est solution.

Y a-t-il unicité de la solution nulle en 0 ?

Etude théorique de la convergence d’une suite de fonctions

Soitfn:R⁺→Rdéfinie par

fn(x) =x+ 1/n

Montrer que la suite de fonctions (fn) converge uniformément mais pas (f_n²).

Soitfn:R→Rdéfinie par

f_n(x) =p

x²+ 1/n

Montrer que chaquef_n est de classeC¹et que la suite (f_n) converge uniformément surRvers une fonctionf qui n’est pas de classeC¹.

(4)

Soitf :R→Rune fonction deux fois dérivable de dérivée seconde bornée.

Montrer que la suite des fonctions

g_n:x7→n(f(x+ 1/n)−f(x)) converge uniformément versf⁰.

Soitfn: [0,1]→Rdécroissante et continue telle que (fn) converge simplement vers la fonction nulle.

Montrer que cette convergence est uniforme.

[Théorème de Dini]

Soient des fonctionsfn: [a, b]→Rcontinues telles que la suite de fonctions (fn) converge simplement vers la fonction nulle.

On suppose que pour toutx∈[a, b], la suite réelle (f_n(x)) est décroissante. On désire montrer que la convergence de la suite (f_n) est uniforme.

a) Justifier l’existence de

n→+∞lim kf_nk_∞

b) Justifier que pour toutn∈N, il existe xn ∈[a, b] tel quekfnk_∞=fn(xn).

c) En observant que pour toutp6n,

fn(xn)6fp(xn) montrer quekfnk_∞→0 et conclure.

SoitIun intervalle ouvert ; soit pour n∈N,fn:I→Rune fonction convexe. On suppose que (fn) converge simplement.

Montrer que (fn) converge uniformément sur tout segment inclus dansI.

On noteU l’ensemble des complexes de module 1 et on considèreω un complexe de module6= 1.

Exprimer une condition nécessaire et suffisante pour que la fonction z7→ 1

z−ω

soit limite uniforme surU d’une suite de fonctions polynomiales.

Soitf :R→Rde classeC¹. Pour toutn∈N^?, on pose un(t) =n(f(t+ 1/n)−f(t))

Montrer que la suite de fonctions (un)n>1 converge uniformément sur tout segment deRvers une fonction à préciser.

Fonction solution d’équations fonctionnelles

On définit (u_n) suite de fonctions de [0,1] vers Rpar u0(x) = 1 et∀n∈N,un+1(x) = 1 +

Z x

0

un(t−t²) dt a) Montrer que pour toutx∈[0,1],

06un+1(x)−un(x)6 xⁿ⁺¹ (n+ 1)!

b) En déduire la convergence pour toutx∈[0,1] de la suite (u_n(x)).

c) Etablir que la suite (u_n) converge uniformément vers une fonctionunon nulle vérifiant

u⁰(x) =u(x−x²)

Soitγ∈[0,1[. On définit (un) suite de fonctions de R⁺ versRpar u₀(x) = 1 et∀n∈N,u_n+1(x) = 1 +

Z x

0

u_n(γt) dt a) Montrer que pour toutx∈R⁺,

06un+1(x)−un(x)6 xⁿ⁺¹ (n+ 1)!

b) En déduire la convergence pour toutx∈R⁺ de la suite (u_n(x)).

c) Etablir que la suite de fonctions (u_n) converge vers une fonctionunon nulle vérifiant

u⁰(x) =u(γx)

(5)

Pourx >0, on pose

S(x) =

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ n+x a) Justifier queS est définie et de classeC¹ surR^+?. b) Préciser le sens de variation deS.

c) Etablir

∀x >0, S(x+ 1) +S(x) = 1/x d) Donner un équivalent deS en 0.

e) Donner un équivalent deS en +∞.

Pourx >0, on pose

F(x) =

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ n+x a) Montrer queF est bien définie.

b) Montrer queF est de classeC¹, de classeC^∞. c) Simplifier

F(x) +F(x+ 1) d) Montrer que pourx >0

F(x) = Z 1

0

t^x−1 1 +tdt e) Donner un équivalent deF en 0 et en +∞.

Pourx >0, on pose

S(x) =

+∞

X

n=0 n

Y

k=0

1 (x+k) a) Justifier queS est définie et continue sur ]0,+∞[.

b) Former une relation liantS(x) etS(x+ 1).

c) Déterminer un équivalent deS(x) en +∞et en 0.

Pour toutn∈Net toutx∈R⁺, on pose

fn(x) = th(x+n)−thn a) Etablir la convergence de la série de fonctionsP

fn. b) Justifier que la fonction sommeS=

+∞

P

n=0

fn est continue et strictement croissante surR⁺.

c) Montrer que

∀x∈R⁺, S(x+ 1)−S(x) = 1−thx d) Etudier la convergence deS en +∞.

Soitf :R⁺→Rcontinue décroissante et intégrable.

Montrer l’existence d’une fonctiong:R⁺→Rcontinue vérifiant

∀x∈R⁺, g(x+ 1)−g(x) =f(x)

On rappelle que

∀x∈R,

+∞

X

n=0

xⁿ n! = e^x et on pose pourx >0,

S(x) =

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ n!(x+n) a) Justifier queS est définie et de classeC¹ surR^+?. b) Préciser le sens de variation deS.

c) Etablir que

xS(x)−S(x+ 1) = 1 e d) Donner un équivalent deS en +∞.

e) Donner un équivalent deS en 0.

(6)

Justifier l’existence de

f(x) = 1 x+

+∞

X

n=1

1

x+n+ 1 x−n pour toutx∈R\Z.

Montrer quef est 1-périodique et qu’on a fx

2

+f

x+ 1 2

= 2f(x) pour toutx∈R\Z.

a) Etudier la convergence de la série de fonctions

+∞

X

n=−∞

1 (x−n)² pourx∈R\Z.

b) Soit un réelc >2. Soitf une fonction continue deRdansRtelle que, pour toutxréel,

fx 2

+f

x+ 1 2

=cf(x) Montrer quef = 0.

c) Montrer que pour toutxréel non entier,

+∞

X

n=−∞

1

(x−n)² = π² sin²πx

Trouver les fonctionsf ∈ C([0,1],R) telles que

∀x∈[0,1] ,f(x) =

+∞

X

n=1

f(xⁿ) 2ⁿ

a) Montrer qu’il existe une unique fonctionf : ]0,+∞[→Rde limite nulle en +∞

et vérifiant

∀x >0, f(x) +f(x+ 1) = 1 x² b) Montrer quef est continue et intégrable sur [1,+∞[.

c) Calculer

Z +∞

1

f(t) dt

Etude de la convergence d’une série de fonctions

Etudier la convergence simple, uniforme et normale de la série des fonctions fn(x) = 1

n²+x² avecn>1 etx∈R Exercice 50 [ 00896 ][correction]

Etudier la convergence simple, uniforme et normale de la série des fonctions f_n(x) = (−1)ⁿ

n+x² avecn>1 etx∈R Exercice 51 [ 00897 ][correction]

On note 1I la fonction caractéristique d’un intervalle I: 1I(x) =

1 six∈I 0 sinon

Etudier la convergence simple, uniforme et normale sur [0,+∞[ de la série des fonctions

u_n(x) = 1

n+ 11_[n,n+1[(x) Exercice 52 [ 03770 ][correction]

On considère la série des fonctions

fn(x) =nx²e^−x

√n

définies surR⁺.

Etudier sa convergence simple, sa convergence normale et sa convergence uniforme.

(7)

On introduit l’application sur [0,+∞[

fn:x7→ xⁿe^−x n!

a) Etudier les convergences de la suite de fonctions (f_n).

b) Etudier les convergences de la série de fonctionsPf_n.

Soientα∈Ret sin∈N,

u_n :x∈[0,1]7→n^αxⁿ(1−x)∈R

Etudier le mode convergence de la suite de fonctions (un), puis de la série de fonctionsP

un.

Soientf : [0,1]→Rcontinue etfn: [0,1]→Rdéfinie par fn(x) =xⁿf(x)

a) Former une condition nécessaire et suffisante surf pour que la suite de fonction (fn) converge uniformément sur [0,1].

b) Montrer que la série de fonctionsP

fn converge uniformément sur [0,1] si, et seulement si,f(1) = 0 etf dérivable en 1 avecf⁰(1) = 0.

Soit (an)_n∈Nune suite réelle positive et décroissante. Pour toutn∈N, on pose un(x) =anxⁿ(1−x) avecx∈[0,1]

a) Montrer la convergence simple de la série de fonctionsPun.

b) Montrer que cette série converge normalement si, et seulement si, il y a convergence de la sériePan/n.

c) Montrer que la série de fonctionsP

un converge uniformément si, et seulement si,an→0.

On pose

u₀(x) = 1 etu_n+1(x) = Z x

0

u_n(t−t²) dt pour tout réelx∈[0,1] et tout entier natureln.

Montrer que la série de terme généralun est normalement convergente.

Soitun:x∈R⁺7→ _(1+n^x2x)² avecn∈N.

Etudier la convergence simple et la convergence uniforme dePu_n et Pu⁰_n.

Fonctions zêta

On pose

ζ(x) =

+∞

X

n=1

1 n^x

a) Montrer que la fonctionζ est définie et de classeC^∞sur ]1,+∞[.

b) Etudier monotonie et convexité de la fonctionζ.

c) Déterminer la limite de la fonctionζ en +∞.

d) Déterminer un équivalent de la fonctionζen 1⁺.

e) En exploitant l’inégalité de Cauchy-Schwarz établir quex7→ln(ζ(x)) est convexe.

Six >1, on pose

ζ(x) =

+∞

X

n=1

1 n^x

a) Quelle est la limite deζ(x) quandx→+∞? b) Pour quels réelsxla sériePζ(n)

n xⁿ converge-t-elle ? c) Si

F(x) =

+∞

X

n=2

ζ(n) n xⁿ

montrer queF est continue sur [−1,1[ et de classeC¹ sur ]−1,1[.

d) Donner une expression plus simple deF(x)

(8)

On pose

ζ2(x) =

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ n^x

Montrer que la fonctionζ₂ est définie et de classeC¹ sur ]0,+∞[.

On pose

ζ2(x) =

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ n^x

Montrer queζ2est définie et de classeC^∞sur ]0,+∞[.

Déterminer la limite quandx→0⁺ de ζ2(x) =

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹ n^x

Soient

ζ(x) =

+∞

X

n=1

1

n^x et ζ₂(x) =

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹ n^x

a) Déterminer les domaines de définition des fonctionsζ etζ2. b) Justifier que les fonctionsζet ζ2 sont continues.

c) Etablir la relationζ2(x) = (1−2^1−x)ζ(x) pour toutx >1.

Intégration de la somme d’une série de fonctions

Soit

ψ(x) =

+∞

X

n=2

1

n−x− 1 n+x

Justifier et calculer

Z 1

0

ψ(x) dx

On pose

u_n(x) = (−1)ⁿ⁺¹x²ⁿ⁺²lnxpourx∈]0,1] etu_n(0) = 0 a) Calculer

+∞

X

n=0

u_n(x)

b) Montrer que la série desun converge uniformément sur [0,1].

c) En déduire l’égalité Z 1

0

lnx 1 +x²dx=

∞

X

n=0

(−1)ⁿ⁺¹ (2n+ 1)²

On donne

∀α∈[0,1],

+∞

X

n=1

2α

α²+n² =πchπα shπα− 1

α

(prolongée par continuité en 0).

En intégrant sur [0,1], en déduire la valeur de

+∞

Y

n=1

1 + 1

n²

Limite et comportement asymptotique de la somme de série de fonctions

Ensemble de définition et continuité de f(x) =

+∞

X

n=0

e^−x

√n

En trouver la limite en +∞et un équivalent en 0⁺.

(9)

Pourt >0, on pose

S(t) =

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ nt+ 1 Déterminer la limite deS(t) quandt→0⁺.

Pourn>1 etx∈R, on pose

un(x) = (−1)ⁿln

1 + x² n(1 +x²)

a) Etudier la convergence uniforme de la série de fonctionsPu_n.

b) Déterminer la limite de sa somme en +∞. On pourra exploiter la formule de Stirling

Déterminer la limite de

un=

n

X

k=0

k n

n

Montrer que pour toutα >0,

n

X

k=0

1− k

n nα

−−−−−→

n→+∞

e^α e^α−1

On pourra exploiter le théorème d’ interversion limite/somme infinie.

Par une interversion série-limite, montrer que pour toutz∈C

1 +z p

^p

−−−−−→

p→+∞ exp(z)

Etude pratique de fonctions somme de série

Pourx >0, on pose

S(x) =

+∞

X

n=1

1 n+n²x a) Montrer queS est bien définie surR^+?.

b) Montrer queS est continue.

c) Etudier la monotonie deS.

d) Déterminer la limite en +∞deS puis un équivalent deS en +∞.

e) Déterminer un équivalent àS en 0.

SurI= ]−1,+∞[, on pose

S(x) =

+∞

X

n=1

1 n− 1

n+x a) Montrer queS est définie et continue surI.

b) Etudier la monotonie deS.

c) Calculer

S(x+ 1)−S(x) d) Déterminer un équivalent deS(x) en−1⁺. e) Etablir

∀n∈N, S(n) =

n

X

k=1

1 k

f) En déduire un équivalent deS(x) en +∞.

Soit

f(x) =

+∞

X

n=1

e^−x

√n

a) Quel est le domaine de définition def? Etudier la continuité def sur celui-ci.

b) Montrer quef est strictement décroissante.

c) Etudier la limite def en +∞.

d) Déterminer un équivalent simple def(x) quandx→0⁺.

(10)

Pourx>0, on pose

S(x) =

+∞

X

n=1

xⁿ 1 +x²ⁿ a) Pour quelles valeurs dexdansR⁺,S(x) est définie ? b) Former une relation entreS(x) etS(1/x) pourx6= 0.

c) Etudier la continuité deS sur [0,1[ puis sur ]1,+∞[.

d) Dresser le tableau de variation deS.

On pose

S(x) =

+∞

X

n=0

xⁿ 1 +xⁿ

Etudier le domaine de définition, la continuité, la dérivabilité deS. Donner un équivalent deS en 0 et en 1⁻.

Définition, continuité et dérivabilité de S:x7→

+∞

X

n=1

x n(1 +n²x²)

Montrer que

f(x) =

+∞

X

n=1

1

n²arctan(nx) est continue surRet de classeC¹surR^?.

Pourn∈Net x∈R⁺, on pose

u_n(x) = arctan√

n+x−arctan√ n

a) Etudier l’existence et la continuité de la fonctionS définie sur R⁺par la relation

S(x) =

+∞

X

n=0

un(x) b) Déterminer la limite deS en +∞.

On étudie

f(x) =

+∞

X

n=1

1 n²+x² a) Montrer quef est définie et de classeC¹ surR.

b) Donner, à l’aide d’une comparaison intégrale, un équivalent def au voisinage de +∞.

c) Donner un développement limité à l’ordre 2 def en 0. On donne

+∞

X

n=1

1 n² = π²

6 et

+∞

X

n=1

1 n⁴ =π⁴

90

Définition, continuité et classeC¹ de x7→

∞

X

n=1

(−1)ⁿ n sinx

n

Pourt >0, on pose

S(t) =

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ 1 +nt a) Justifier queS est définie et continue sur ]0,+∞[.

b) Etudier la limite deS en +∞.

c) Etablir queS est de classeC¹sur ]0,+∞[.

Pourx∈R, on pose

S(x) =

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹ x n+x²

a) Montrer que la fonctionS est bien définie et étudier sa parité.

b) Montrer que la fonctionS est continue.

c) Déterminer la limite deS en +∞.

(11)

Pour toutx∈R\ {−1}et n∈N^? on pose un(x) =(−1)ⁿ⁻¹

n

xⁿ 1 +xⁿ a) Justifier que la fonctionf :x7→

+∞

P

n=1

un(x) est définie sur R\ {−1}.

b) Etablir que pour toutx6= 0,

f(x) +f(1/x) =

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹ n

c) Etablir quef est continue sur ]−1,1[ puis quef est continue sur ]−∞,−1[ et ]1,+∞[ .

d) Etablir la continuité def en 1.

Six >0 etn∈N^?, soit

fn(x) = n^xn!

n

Q

k=0

(x+k) a) Montrer l’existence de Γ(x) = lim

n→+∞fn(x).

b) Montrer

ln Γ(x) =−lnx−γx+

+∞

X

n=1

x n−ln

1 + x n

c) Montrer que Γ est une fonction de classeC¹.

On fixeα >0 et on pose

fn(x) = e⁻ⁿ^α^x etf(x) =

∞

X

n=0

fn(x) a) Domaine de définition def?

b) Continuité def? c) Etudier lim

x→+∞f(x).

Soitαun réel. Pour tout entiern >0 et tout réelx, on pose un(x) = n^αxe^−nx

n²+ 1 On noteI le domaine de définition de

S:x7→

∞

X

n=0

un(x) a) DéterminerI.

b) Montrer queS est continue surR^+?. c) A-t-on convergence normale surR⁺? d) On supposeα>2. Montrer que

∞

X

k=n+1

uk(1/n) ne tend pas vers 0 quandntend vers +∞.

La convergence de la série de fonctionsPun est-elle uniforme surI? e) Etudier la continuité deS surI.

Soit des suites réelles (an) et (xn) avecan>0 pour toutn.

On suppose que la série de terme généralan(1 +|xn|) converge.

On pose

f :R→R,x7→

∞

X

n=0

an|x−xn|

Etudier la continuité et la dérivabilité def.

Pourn∈Net x∈R⁺, on pose

un(x) = arctan (n+x)−arctan (n)

a) Etudier l’existence et la continuité de la fonctionS définie sur R⁺ par la relation

S(x) =

+∞

X

n=0

u_n(x) b) Déterminer la limite deS en +∞.

(12)

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]

Supposons que la suite (fn) converge simplement versf surI avec chaquefn

convexe.

Pour touta, b∈I eλ∈[0,1] on a

∀n∈N,fn(λa+ (1−λ)b)6λfn(a) + (1−λ)fn(b) A la limite quandn→+∞, on obtient

f(λa+ (1−λ)b)6λf(a) + (1−λ)f(b) ce qui fournit la convexité def.

Par uniforme continuité, on a

∀ε >0,∃α >0,|x−y|6α⇒ |g(x)−g(y)|6ε Pournassez grand, on a

∀x∈I,|fn(x)−f(x)|6α et donc

∀x∈I,|g(fn(x))−g(f(x))|6ε Ainsi, il y a convergence uniforme de (g◦fn) versg◦f.

On peut écrire

kfngn−f gk_∞6kfnk_∞kgn−gk_∞+kgk_∞kfn−fk_∞

Orkfnk_∞→ kfk_∞et donc la suite (kfnk_∞) est bornée car convergente. Par opération sur les limites, on obtient alors

kfngn−f gk_∞6kfnk_∞kgn−gk_∞+kgk_∞kfn−fk_∞→0 carkfn−fk_∞→0 etkgn−gk_∞→0.

Soit (fn) une suite de fonctions uniformément continue deI versRconvergeant uniformément versf :I→R.

Soitε >0. Il existe n∈Nvérifiantkf−fnk_∞6ε.

La fonctionfn étant uniformément continue, il existeα >0 vérifiant :

∀x, y∈I,|x−y|6α⇒ |f_n(x)−f_n(y)|6ε Or

|f(x)−f(y)|6|f(x)−fn(x)|+|fn(x)−fn(y)|+|fn(y)−f(y)|

donc

∀x, y∈I,|x−y|6α⇒ |f(x)−f(y)|63ε Ainsif est uniformément continue.

Posons

mn= inf

t∈[a,b]fn(t)

Puisque la fonctionf_n est continue sur le segment [a, b], cet infimum est une valeur prise parf_n et donc il existe t_n∈[a, b] tel que

mn=fn(tn) Montrons quemn→mavec

m= inf

t∈[a,b]f

La fonctionf est continue car limite uniforme d’une suite de fonctions continues et donc il existet_∞∈[a, b] pour lequel

m=f(t_∞) Pour toutε >0, on a pournassez grand,

kfn−fk_∞6ε et donc

mn =fn(tn)>f(tn)−ε>m−ε et

m=f(t_∞)>fn(t_∞)−ε>mn−ε Ainsi

|mn−m|6ε On peut alors affirmermn→m.

(13)

On a

Soitε >0. Il existen1∈Ntel que

∀n>n1,kfn−fk_∞,[a,b]6ε et il existen2∈Ntel que

∀n>n₂, |f(xn)−f(x)|6ε carf(x_n)→f(x) en vertu de la continuité def. Pourn₀= max(n₁, n₂), on a

∀n>n₀, |f_n(x_n)−f(x)|62ε

a) Pourε= 1/2, il existeN ∈Ntel que

∀n>N,kPn−fk_∞61/2 et donckPn−P_Nk_∞61.

Seules les fonctions polynomiales constantes sont bornées surRdoncP_n−P_N est une fonction polynomiale constante. Posonsλ_n la valeur de celle-ci.

b) On a

λn =Pn(0)−PN(0)→f(0)−PN(0) =λ_∞

et donc (P_n) = (P_N+P_n−P_N) converge simplement versP_N +λ_∞. Par unicité de limitef =P_N+λ_∞ est une fonction polynomiale.

Pourε= 1, il existe un rang N ∈Ntel que

∀n>N, P_n−f est bornée et kPn−fk_∞61 Pour toutn>N, on peut alors affirmer que le polynôme

P_n−P_N = (P_n−f)−(P_N −f) est borné et donc constant. Puisque la suite (P_n) converge uniformément versf, la suite (P_n−P_N)_n_>_N converge uniformément versf−PN. Or cette suite étant formée de fonctions constantes, sa convergence équivaut à la convergence de la suite de ces constantes. En posantC la limite de cette suite, on obtient

f =PN+C et doncf est une fonction polynôme.

Les fonctionsun sont continues sur [0,1] pourn>1 et dérivables sur ]0,1] avec u⁰_n(x) =xⁿ⁻¹(1 +nlnx)

Le tableau de variation deun donne sup

[0,1]

|un|=−un(e^−1/n) = 1 ne→0

La suite de fonctions converge donc uniformément sur [0,1] vers la fonction nulle.

Pourx∈[0,+∞[,fn(x)→0 car |fn(x)|6n^x. On a

f_n⁰(x) = n(1 +xⁿ)−n²xⁿ

n²(1 +xⁿ)² = 1 + (1−n)xⁿ n(1 +xⁿ)² Posonsxn= pⁿ

1/(n−1).

x 0 xn +∞

f_n(x) 0 % M_n & 0 donc

kfnk_∞=Mn=fn(xn) = pn

1/(n−1)

n(1 +_n−1¹ ) = e⁻ⁿ¹^ln(n−1)

n² n−1

→0 Il y a donc convergence uniforme vers la fonction nulle.

a) Soitx∈[0,+∞[.

Six= 0 alorsun(x) = 0→0.

Six >0 alorsun(x)→0 car e^−nx→0.

La suite de fonctions (un) converge donc simplement vers la fonction nulle surR⁺. b) On a

sup

x∈[a,+∞[

|un(x)|6e^−na→0 donc il y a convergence uniforme sur [a,+∞[ aveca >0.

c) Puisque

kunk_∞>u_n(π/2n) = e^−π/26 →0 il n’y a pas convergence uniforme surR⁺.

(14)

f_n⁰(x) =nx(2−nx)e^−nx, le tableau de variation defn donne sup

R⁺

|fn|=f_n(2/n) = 4

ne⁻²→0

donc il y a convergence uniforme surRet donc a fortiori sur [a,+∞[.

fn(0)→1 etfn(x)→0 pourx6= 0. La fonction limite n’étant pas continue, il n’y a pas convergence uniforme surR. En revanche si|x|>|a|alors

|fn(x)|6 1

(1 +a²)ⁿ →0

donc il y a convergence uniforme sur ]−∞,−a]∪[a,+∞[ aveca >0.

Pour toutx∈R,fn(x)→0 : il y a convergence simple vers la fonction nulle.

fn(n) =n²sin(1/n²)→1, il n’y a donc pas convergence uniforme surR. Sur [−a, a],

|fn(x)|6 x² n|x| = |x|

n 6 a n →0

via|sint|6|t|. Par suite il y a convergence uniforme sur [−a, a].

Pourx6= ^π₂ [π] on a |sinx|<1 et doncfn(x)→0.

Pourx= ^π₂ [π], cosx= 0 et doncf_n(x) = 0→0.

Ainsi (f_n) converge simplement vers la fonction nulle.

Par 2πpériodicité et parité on ne poursuit l’étude qu’avecx∈[0, π]. La fonction f_n est dérivable avec

f_n⁰(x) = sinⁿ⁻¹(x)((n+ 1) cos²(x)−1)

On peut dresser le tableau de variation defn sur [0, π] et on obtient sup

R

|f_n|=

f_n

arccos 1

√n+ 1

=

1− 1

(n+ 1)

^n/2 1

√n+ 1 →0 La suite de fonction (fn) converge donc uniformément vers la fonction nulle.

Les premières fonctions de la suite (f_n) Exercice 16 :[énoncé]

f_n est définie surR^? et peut être prolongée par continuité en 0 en posant sur f_n(0) =n.

Pourx60,fn(x)→+∞.

Pourx >0,fn(x)→0.

Ainsi (fn) converge simplement vers la fonction nulle surR^+?.

Il ne peut y avoir converge uniformément surR^+? car alors par le théorème de la double limite :

x→0lim⁺ lim

n→+∞fn(x) = lim

n→+∞ lim

x→0⁺fn(x) donne 0 = +∞.

Poura >0, sur [a,+∞[,

|f_n(x)|6nx²e^−nx 1−e^−a²

et par étude fonctionnellenx²e^−nx6 n⁴e² (maximum enx= 2/n) donc kfnk_∞,[a,+∞[6 4e²

n(1−e^−a²)→0 qui donne la converge uniformément sur [a,+∞[.

(15)

Quandp→+∞,

fp(x) = 1

(1 +x)^1+1/p → 1

1 +x=f(x) On a

f(x)−fp(x) = (1 +x)^1/p−1 (1 +x)^1+1/p

Or, pourα∈]0,1], la fonctionx7→(1 +x)^αest concave ce qui permet d’affirmer 06(1 +x)^α61 +αx

pour toutx>0 et donc

|f(x)−fp(x)|61 p

x

(1 +x)^1+1/p 61 p

x 1 +x6 1

p

Puisquekf−fpk_∞,

R⁺6 ¹p, la convergence est uniforme surR⁺.

La suite (fn) converge simplement vers la fonction nulle et sup

x∈R

|fn(x)|=

fn(±1/√ n2ⁿ)

=

√ 2ⁿ 2√

n →+∞

il n’y a donc pas convergence uniforme surR. Or±1/√

n2ⁿ→0 et donc d’après le tableau de variation def_n, pour touta >0, on a, pournassez grand,

sup

x>a

|fn(x)|=f_n(a)→0

Ainsi, il y a convergence uniforme sur [a,+∞[ et de même sur ]−∞, a].

En revanche, il n’y aura pas convergence uniforme sur les intervalles non singuliers contenant 0.

On a

sup

x∈[0,1]

|fn(x)|=fn

1/²√ⁿ

2

= 4ⁿ⁻¹→+∞

il n’y a donc pas convergence uniforme sur [0,1].

Or 1/²√ⁿ

2→1 et donc d’après le tableau de variation defn, pour touta∈[0,1[, on a, pournassez grand,

sup

x∈[0,a]

|fn(x)|=fn(a)→0

Ainsi il y a convergence uniforme sur [0, a]. En revanche il n’y aura pas convergence uniforme sur les intervalles non singuliers contenant 1.

a) Six= 0 alorsfn(x) = 0→0.

Six∈]0,1] alors fn(x)→0 par comparaison des suites de référence.

b)f_n⁰(x) =n^α(1−x)ⁿ−n^α+1x(1−x)ⁿ⁻¹=n^α(1−x)ⁿ⁻¹(1−(n+ 1)x).

Après étude des variations kfnk_∞=fn

1 n+ 1

=n^α 1 n+ 1

1− 1

n+ 1 n

Or _n+1¹ ∼_n¹ et

1− 1 n+ 1

n

= eⁿ^ln(1−ⁿ⁺¹¹ ⁾= e^−1+o(1)→e⁻¹ donckfnk_∞∼ⁿ^α−1_e .

Il y a convergence uniforme si, et seulement si,α <1.

Soitx∈R⁺. Pournassez grand

f_n(x) = (1−x/n)ⁿ = exp (nln(1−x/n))−−−−−→

n→+∞ e^−x La suite (fn) converge simplement versf :x7→e^−xavecfn6f. Etudionsδn=f−fn >0.

Pourx∈[n,+∞[, δn(x) = e^−x6e⁻ⁿ.

Pourx∈[0, n[, δn(x) = e^−x−(1−x/n)ⁿ etδ⁰_n(x) =−e^−x+ (1−x/n)ⁿ⁻¹. Posons

ϕn(x) = (n−1) ln (1−x/n) +x On a

ϕ⁰_n(x) = n−1 n

1

x/n−1 + 1 = x−1 x−n

(16)

est du signe de 1−x.

Par étude des variations deϕn, on obtient l’existence dexn ∈[0, n[ tel que ϕn(x)>0 pourx6xn etϕn(x)60 pourx>xn. On en déduit que pourx6xn, δ⁰_n(x)>0 et pourx>xn,δ_n⁰(x)60. Ainsi

kδnk_∞,[0,n[=δn(xn) = 1−xn

n n−1

− 1−xn

n n

=xn

n e^−xⁿ Puisque la fonctionx7→xe^−xest bornée par un certainM surR⁺, on obtient

kδnk_∞,[0,n[6 M n

Finalement

kδnk_∞,[0,+∞[6max M

n,e⁻ⁿ

→0

On peut donc affirmer que la suite (f_n) converge uniformément sur R⁺ versf.

a)fn(x) = exp(−nln(1 +_n^x)) = exp(−x+o(1))→e^−x=f(x).

On sait ln(1 +t)6t donc par opérations :fn(x)>e^−x b) On sait

t−t²

2 6ln(1 +t)6t donc

x n− x²

2n² 6ln(1 +x n)6 x

n puis

e^−x6fn(x)6e^−x+^x

2

2n = e^−xe^x

2 2n

Sur [0, a] on a e^x²ⁿ² 6e^a²ⁿ² →1.

Pourε >0, il existeN ∈Ntel que pour toutn>N,

e^a²^/2n−1 6ε.

On a alors pour toutx∈[0, a],

|fn(x)−f(x)|6e^−x

e^x²^/2n−1

6e^a²^/2n−16ε Par suitefn

−−−CU→

[0,a] f.

c) Les fonctionsfn sont décroissantes donc

∀x>a, fn(x)6fn(a)

Soitε >0.

Puisque e^−a−−−−−→

a→+∞ 0, il existea∈R⁺ tel que∀x>a, e^−x6ε/3

Puisquefn(a)→ e^−a, il existe N∈Ntel que

∀n>N,

fn(a)−e^−a 6ε/3 Mais alors∀x>a,

fn(x)−e^−x

6fn(x) + e^−x6fn(a) + e^−x6 fn(a)−e^−a

+ e^−a+ e^−x6ε De plus,fn

−−−CU→

[0,a]

f donc il existeN⁰ ∈Ntel que

∀n>N⁰,∀x∈[0, a]

fn(x)−e^−x 6ε Finalement

∀n>max(N, N⁰),∀x∈R⁺,

f_n(x)−e^−x 6ε Ainsif_n−−→^CU

R⁺

f.

a) Pourx= 0, fn(x) = 0 et pourx >0, on a aussifn(x) = 0 pournassez grand.

Par suite (fn) converge simplement vers la fonction nulle.

b) On a

Z 1

0

fn(t) dt= Z 1/n

0

n²t(1−nt) dt= Z 1

0

u(1−u) du= 1 6 Il n’y a pas convergence uniforme de la suite (fn) puisque

Z 1

0

f_n(t) dt6 → Z 1

0

0 dt c) Pournassez grand, sup

[a,1]

|fn(x)|= 0 donc (fn) converge uniformément vers 0 sur [a,1].

a) Pourx= 0, fn(x) = 0→0. Pourx∈]0, π/2], cosx∈[0,1[ doncfn(x)→0.