TD9 : Suites et séries de fonctions

Lycée Chrestien de Troyes PC mathématiques M. RHARIF

PC TD9 : révision analyse calcul de primitives

Rappel : théorème fondamental de l’analyse

Si f : I _ continue sur l’intervalle I et x0 I alors

0

: ^x ( )

F x^



x f t dtest une primitive C¹ de f (pour tout xI, F'(x) = f (x))

L’ensemble des primitives de f est



^F ^, 



et F est la primitive de f qui s’annule en x0

Exercice 1 (questions de cours)

I un intervalle de  non réduit à un point , f I:  ^et x0I

Montrer que f est dérivable en x₀ si, et seulement si, f admet un développement limité en x₀à l’ordre 1 Exercice 2 (dérivée de la composée de deux fonctions)

:

v Iune fonction dérivable sur I et u J:  une fonction dérivable sur J telle que ^{u J}

 

^I

Montrer que v ou est dérivable sur J et



^{v ou}

 

^{' v ou'}



^u'

On déduit de cette formule que

  

v ou'



 u'



v ou





^ou

 

^{v u x'}

   

u x dx v u x^'

 

 ^'

   



et surtout pas

^  

^{v ou'}

 

^{ v o u}





une erreur fréquente

Exercice 3

Calculer les primitives suivantes lorsqu’elles existent : 1.

  

xe dx^x 2. ₂1

3dx x 

 

3.

1 x2dx x





 

4. ₂ 1 x dx x 

 

5. 1 ₂

1 dx

x

 



6.

 

1

ln dx

x x^

 



7.



xsinx dx



8. 1 ₂

1 dx

 x x

 



Exercice 4 (intégrales avec les bornes) Calculer les intégrales suivantes : 1.

1 2 0

1x dx

 



(changement de variable) 2. ^{/2 2}

 

²

 

0

sin x cos x dx





 

(formules trigonométriques)

3.

 

1

sin ln

e

x dx





 

(changement de variable tlnx) 4. ^{/2 2}

 

0^ cos t dt



Exercice 5 :

Rappeler comment on dérive

  : ^{v x}  ( )

F x^



u x f t dt (u et v sont des fonctions dérivables) Exercice 6 : (oral CCP)

1. Montrer que la fonction :

2

:

x t

x

f x e dt



t

 

 est définie et dérivable sur ^*et calculer la dérivée de f

2. Déterminer la limite de f en 0.

Lycée Chrestien de Troyes CPGE PC mathématiques M RHARIF

Fonction f (u)

 

:

u xu x

Dérivée de f(u)

eu ch u sh u cos u

sin u tan u th u u^, lnu Arctan u

Fonction f

 

f x

Primitive F

 

F x

eax , a^{* fixé 1}_a^eax

ch x sh x cos x sin x

sh x ch x sin x

cos x

tan x ln sinx

2 2

1 1 th

ch x

x  th x

2 2

1 1 tan

cos x

x  tan x

x^ ,^{   }

 

^{1 1}

1 x^





 1

x ln x

2

1

1x Arctan x