Séries entières DSE

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IV Développement en séries entières (DSE de fonctions de variable réelle) IV.1 Généralités

Définition 6 : Soit I un intervalle ouvert de  contenant 0 et f une fonction de variable réelle à valeurs dans . On dit que f est développable en série entière en 0 sur I lorsqu’il existe une série entière



a x_n ⁿtelle que :

 

_n ⁿ

n 0

x I , f x a x





  



Définition 7 : Soit I un intervalle ouvert de  contenant x₀ et f une fonction de variable réelle à valeurs dans . On dit que f est développable en série entière en x₀ sur I lorsqu’il existe une série entière



a x_n ⁿtelle que :

 

_n



₀



ⁿ

n 0

x I , f x a x x





  





Remarque : Soit I un intervalle ouvert de  contenant x0 et f :I . On considère la fonction ⁰



0



x I

g t f t x

  

 f est DSE en x₀ si et seulement si g est DSE en 0. On utilisera donc le plus souvent la définition 6 (comme pour les DL)

Proposition 18: Soit I un intervalle ouvert de  contenant 0 . L’ensemble des fonctions de I dans  qui sont DSE en 0 sur I est un sous-espace vectoriel de

 

^{I ,} . Il est aussi stable par multiplication.

Remarque : Si f est DSE en 0 sur I alors :  I  ]R,R[ (R étant le rayon de convergence de la série entière solution)  f est C^ sur I

 les coefficients de la série entière sont :  ⁿ

 

n

f 0

a  n! . La série entière solution est donc la série de Taylor de f.

Proposition 19: Soit I un intervalle ouvert de  contenant 0 et ^f ^

 

^{I ,} . On suppose que f est C^ sur I.

f est DSE sur I en 0 si et seulement si,  x I , ^x

 

ⁿ _^{n 1}_

 

n 0

lim x t f t dt 0

n!





 

 



Remarques :

 Une fonction peut être C^ sans être DSE.

 La série de Taylor d’une fonction peut être convergente sans converger vers cette fonction.

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IV.2 Développements en séries entières des fonctions usuelles.

Pour tout réel ^x^{  }



^{1, 1}



^, ⁿ

n 0

1 x

1 x





 



 x , (R=+)

n x

n 0

e x

n!







;

   

n 2n 1

n 0

sin x 1 x

2n 1 !

 



 



 ^;

_{   }

ⁿ ²ⁿ

n 0

cos x 1 x 2n !







 ^;

_

^{2n 1}

_

n 0

s h x x

2n 1 !

 





 ^;

_{ }

²ⁿ

n 0

c h x x

2n !







Pour tout réel ^x^{  }



^{1, 1}



^{, (R=1)}

   

^{n 1} ⁿ

n 1

ln 1 x 1 x

n

 



 



 ;

 

ⁿ

n 1

ln 1 x x

n





  



;

   

ⁿ ^{2n 1}

n 0

ar c tan x 1 x

2n 1

 



 





Série du binôme : pour tout réel  et tout réel ^x^{  }



^{1, 1}



(R=1 si    Alors R=1) (si   Alors R=+ )

2 n n

n 1

( 1 ) ( 1 )...( n 1 ) ( 1 )...( n 1 )

( 1 x ) 1 x x x 1 x

2! n! n!

       ^  



      

        



   

n 1

 

2 1.3.5 2n 3 n

1 1

1 x 1 x x 1 x

2 8 2.4.6 2n

 

       

   

 

2 n1.3.5 2n 1 n

1 1 3

1 x x 1 x

2 8 2.4.6 2n

1 x

       



Exponentielle complexe :

 z , la série zn



n! est absolument convergente. On peut alors définir la fonction exponentielle par :

 

^z ⁿ

0

exp : z

z exp z e

n!

 

 



On a alors : z ,z₁ ₂ , e^z¹^^z² e e^z¹ ^z²

et si z=x+i y avec (x,y) des réels on a : exp(z)=e^x ( cos y + i sin y)

 z , z ^{Re z} 

e e ; e^z e^z ; ^z 1_z

e e

 