PanaMaths
[1 - 2]Décembre 2014
Soit ( ) f
nune suite de fonctions convergeant uniformément vers f sur
\ et soit g une fonction uniformément continue sur \ .
Montrer que la suite ( g f D
n) converge uniformément vers g f D sur \ .
Analyse
On traduit les deux hypothèses à l’aide des définitions du cours. On les combine pour obtenir rapidement le résultat.
Résolution
On veut montrer :
( )( ) ( )( )
0, N / x , n ,n N g fn x g f x
ε ε
∀ > ∃ ∈` ∀ ∈ ∀ ∈\ ` ≥ ⇒ D − D ≤
Soit donc ε un réel strictement positif.
La continuité uniforme de g nous permet alors d’écrire :
( )
2( ) ( )
0 / x y, , x y g x g y
α α ε
∃ > ∀ ∈\ − ≤ ⇒ − ≤
D’après la convergence uniforme de la suite
( )
fn vers la fonction f, pour ce réel α, il existe un entier naturel n( )
α tel que : ∀ ∈x \,n≥n( )
α ⇒ fn( )
x − f x( )
≤α.On en déduit :
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )
, n n
x n n α f x f x α g f x g f x ε
∀ ∈\ ≥ ⇒ − ≤ ⇒ D − D ≤
Le résultat est ainsi établi.
PanaMaths
[2 - 2]Décembre 2014
Résultat final
Si la suite
( )
fn converge uniformément sur \ vers la fonction f et si la fonction g estuniformément continue sur \ alors la suite
