Chap 4 : Convergence des suites de fonctions
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Chap 4 : Convergence des suites de fonctions
I. Généralités
( , ) ( ) ( , )
ensemble, evn, n n ,
X E f F X E AX
( ) , ( ) ( )
( ) : , 0, , ,sup ( ) ( )
est simplement convergente (CVS) sur lorsque : CV (vers ) converge uniformément (CVU) sur lorsque :
n n
x A
n n
f A x A f x f x
f A f A E n n n f x f x
( )
, ( ) 0
! CVU vers (avec )
I
x n n
A f x x e Stirli
n ng
( ) ( ) ( ) 0
n et n n n n n
f CVUf x A f x f x
( ),
Opérations conservant la CVU : Combinaison linéaire, multiplication par une fonction bornée
Composition à droite : OK fn CVU f fn gCVUf g à gauche : NON en gén, OK si est g UC
II. Critère de Cauchy uniforme
( ) 0, , ,sup ( ) ( )
Si est uniformément convergente, elle vérifie : Cette condition est suffisante si est complet
n m n
f n m n n f x f x
E
( ) // //
( ) ( , ) ,
Si métrique et complet, CVU sur n CVU sur
I HP
n n
f C X E AX E f f A f f A
On n'étudie pas la CVU sur un ouvert.
Si une suite de polynômes CVU sur un intervalle non borné, sa limite est un polynôme
III. Approximation
[ , ] segment de , evna b E
( ) ([ , ], ) [ , ]
([ , ],
([ , ], ) : 0, ) ( ) ( )
fct en escalier
CVU vers sur
tq n n
pm a b E f a b
f C a b E a b E f x x
( )
,| |
([ , ], ) lim ( ) 0 (Montrer d'abord pour en escalier, puis utiliser l'approx)
pm
I b i t
a
f a b f t e d t f
C
[ , ]
( ) [ , ] [ , ]
([ , ], ) 0 : :[ , ] sup
suite de fonctions affines par morceaux CVU vers sur affine par morceaux telle que
n
a b
a b E f a b
f a b E a b E f
C
1 1
:[ , ] lip : n: x n ( ) suite de fonctions (somme de 2 intégrales), n CVU et | ' |
f a b k x n
x f t dt C f k[ , ]
( ) [ ] [ , ]
([ , ], ) 0 : [ ] sup | | ( CVU vers sur )
Weierstrass : tel que n
a b
P X f a b
f C a b P X f P
2 2
, | | , 0 | |
([ , ], ) , ( ) 0 0
(Weierstrass: sur segment)
Thm des moments :
b b
nCVU n a n a
b n
a
P f P f f P f f
f a b n f x x dx f
C
( ik )k est l'algèbre des polynômes trigonométriques Vect e
Chap 4 : Convergence des suites de fonctions
Fiches de maths - MP* - http://evarin.fr/ - 2 ( ik )k n n, (1,cos( ),...,cos( ),sin( ),...,sin( )) (1, cos,...,cos ,sin,...,sin )n n
n Vect e Vect n n Vect
2 ( , ) (2 périodique) 0, tq sup| | ( (Pn) CVU vers sur f )
f C P f P
2 0 2
0 | |
1 cos 1 ( 1)
: 1
,|
0, 0 [ , ] [ , ],
2 2 2
1 1
* ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | | ( ) ( ) | ( ) 2 sup
* 2 ( )
2
avec sur
n
n n n n n n
n
n CVU
t
n n n n
t n
Q t c Q c Q Q
f Q x f x t Q t dt f Q x f x f x t f x Q t f Q t
IV. Théorèmes « de transfert à la limite »
( , ) em, ( , ) evn
A X d E
Convergence simple : Croissance, Convexité et klip (avec fixé)k
: , , . ( ) tq CVU vers sur
et Si est continue en
chaque est continu en
CVS n n n
n
U a f f U
f X E a X f f f a
f a
V
( ) // //
( ) ( , ) ( ) ( ) ( )
Convergence diagonale : , sur et CV vers ,
I HP CVU
n n n n n n n
f C X E f f X x X x f x f x
,( ) ( , ) , , lim lim ( ) lim lim ( )
sur
si possède une limite en selon est complet
CVU
x a n n x a
x A x
n n
A n
n n n
f f A
a A f A E n f l a A f x f x
E
F
[ , [
Marche aussi si A M
[ , ]
( n)n pm([ , ], p) n CVUa b pm b b
a n a
f C a b f f C
f
f1 1
(fn)C ([ , ],a b p) Si (f an( ))n CV, et (fn')n CVU vers sur g [ , ]a b (fn) CVU sur [ , ]a b vers tq f C f 'g
(1) ( 1)
1 1
( ) ( )
( ) ( , ) '
: ( ) ( ( ),..., ( ))
Localisation : CVS sur La CVU de sur les segments de suffit pour avoir
Dérivées d'ordre , CV et CVU fers , et ,
p
n n n
p p p
n n n n n
p i
CVS n
f I I f I f
p f f f a f a f g f i f
C C
C C ( )i
CVU f /!\ Il faut bien vérifier (fn( )p ) CVU : fC([ , ], )a b nulle part dérivable est limite uniforme de polynômes C
([ , ], ), 0, ([ , ], ) tq 1 (Rendre continu avec prolongements APM, Weierstrass) f Cpm a b g C a b f g
