Chapitre n°5 : Fonctions polynômes

(1)

1/14 - Chapitre n°5 : Fonctions polynômes

Chapitre n°5 : Fonctions polynômes

Objectifs.

O13- Connaître la fonction dérivée de x xⁿ[L'étude des ensembles de définition et de dérivation n'est pas un objectif du programme]

O14- Déterminer la fonction dérivée d'une fonction polynôme.

O15- Étudier les variations et les extremums d'une fonction polynôme à partir du signe de sa dérivée.

O16- Déterminer une équation de la tangente en un point à la courbe représentative d'une fonction polynôme et tracer cette tangente.

[On se limite à des fonctions simples][Cette partie du programme se prète particulièrement à l'étude de situations issues des autres disciplines (résolutions graphiques ou numériques d'équations et d'inéquations, problèmes d'optimisation, etc.)]

Activité n°1

Partie A : pente d'une droite.

Soit (d) la droite d'équation y = -2x+1.

1. Dans le repère ci-dessous, tracer cette droite.

1/14

(2)

2. Quel point A d'abscisse x_A=0 appartient à la droite ? …...

3. On augmente l'abscisse de 1. Quel point B d'abscisse xB=1 appartient à la droite ? …...

4. Comparer la différence des abscisses xB – xA avec l'équation de (d). Que semble-t-il se passer ?

…...

...

5. On augmente encore l'abscisse de 1 unité. Quel point C d'abscisse xC=2appartient à la droite (d) ? …...

6. Comparer la différence des abscisses xC – xB avec l'équation de (d). Que semble-t-il se passer ?

…...

...

7. Compléter : « Pour lire graphiquement le coefficient directeur d'une droite (d), il suffit de :

…...

...

... » 8. Applications :

a. tracer la droite (d2) passant par les points E(0;–5) et F(3 ;1). Déduire du graphique l'équation de (d2) : …...

b. tracer la droite (d3) passant par les points G(0;–1) et F(3 ;1). Déduire du graphique ou des coordonnées des points l'équation de (d3) ; …...

…...

Partie B : tangente à une courbe.

Soit f la fonction telle que f(x) = –x² – 2x +1 et cf sa courbe représentative.

1. Sur le graphique précédent, en faisant un tableau de valeurs, construire cf :

…...

...

2/14

(3)

(4)

(5)

(6)

2. Que semble-t-il se passer au point d'abscisse 0 ? Que peut-on dire de (d) et cf ?

…...

...

3. Vérifier par le calcul que le point A appartient à la fois aux deux courbes (d) et cf.

…...

...

4. Construire la tangente (d4) à cf au point H d'abscisse -2. Quelle est la pente de cette droite ?

…...

5. En fait, la fonction dérivée de f est f '(x) = –2x –2. Calculer f '(0) et f '(-2) :

…...

...

6. Comparer f '(0) et f '(-2) aux pentes de (d) et (d4). Que constate-t-on ?

…...

7. Compléter : « Quand on trace la courbe représentative d'une fonction, on peut lire la valeur de la dérivée de cette fonction en un point en traçant la

…... en ce point et en lisant la …... de cette droite. »

Cours n°1

I) Pente d'une droite tangente à une courbe.

Propriété n°1

La pente d'une droite d'équation y=ax + b correspond à la valeur de …..

3/14

(7)

(8)

(9)

4/14 - Chapitre n°5 : Fonctions polynômes Exemple n°1 :

Lire les pentes de ces deux droites ci-dessus :

...

Soit f la fonction définie sur R

La fonction dérivée f ' de la fonction f au point d'abscisse x0 est la ...

de la tangente à la courbe au point d'abscisse …....

Exemple n°2

On donne la fonction f définie par f(x)= 2x² – 2x +1.

On admet que la dérivée de f, notée f ' a pour expression : f '(x) = 4x –2. Soit cf la courbe représentative de f.

a. Quelle est la pente de la tangente (t1) à cf au point d'abscisse 0 ?

…...

b. Quelle est la pente de la tangente (t2) à cf au point d'abscisse 1 ?

…...

c. Après avoir rempli un tableau de valeur pour la fonction f , tracer la courbe cf et les deux tangentes.

4/14

(10)

…...

...

5/14

(11)

6/14 - Chapitre n°5 : Fonctions polynômes Exercice n°1

On donne la représentation graphique d'une fonction f :

Parmi les trois graphiques ci-dessous, quel est celui qui correspond à la représentation graphique de la fonction dérivée f ' de f ? JUSTIFIEZ !

Exercice n°2

Ex.1 et 3 p.68 (QCM) Exercice n°3

Ex.4 et 6 p.68 (QCM) Exercice n°4

Ex.7 et 8 p.68 (QCM)

Activité d'approche n°2

Activité n°1 p.70

6/14

(12)

(13)

(14)

Cours n°2

III) Fonction dérivée d'une fonction polynôme

Soit f la fonction définie sur R par : f (x)=xⁿ, où n est un nombre entier strictement supérieur à 1.

La fonction dérivée f ' de la fonction f est aussi définie sur R : f ' (x)=...

Exemple n°3 :

Si f(x)=x², alors f '(x)=... =...

Si g(x)=x³, alors g '(x)=... =...

Si h(x)=x⁴, alors h '(x)=... =...

Si j(x)=x⁵, alors j '(x)=... =...

Activité d'approche n°3

Activité n°2 p.70 (rappel : si f(x)=ax²+bx+c, f '(x)=2ax+b)

Cours n°3

Propriété n°4 : Opérations sur les fonctions dérivées

Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I commun. Soit k un nombre réel. Alors, les fonctions k×u et u + v sont aussi dérivables sur I et : 1) La fonction dérivée de k×u est …...

2) La fonction dérivée de u + v est …...

Exemple n°4 :

Si f(x)=3x⁴, alors f '(x)=... =... (k=.... et u(x)=...) Exemple n°5 :

Si g(x)=3x⁴ – 2x³

+

3, alors

g'(x)=... =...

7/14

(15)

8/14 - Chapitre n°5 : Fonctions polynômes Exercice n°5

Ex.1 p.78 Exercice n°6

Ex.15 et 16 p.78 Exercice n°8

Ex.47 p.80

Cours n°4

II) Fonction dérivée et sens de variation d'une fonction

Propriété n°5 : signe de la dérivée sens de variation→ Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I

● Si,pour tout nombre de I, ..., alors la fonction f est croissante sur I.

● Si, pour tout nombre de I, ..., alors la fonction f est décroissante sur I.

● Si, pour tout nombre de I, ..., alors la fonction est constante sur I.

Exemple n°6

On reprend l'exemple n°5.

1. Factorisez g' et étudiez son signe

...

2. En déduire le sens de variation de g et présentez l'ensemble des résultats sous la forme d'un tableau.

...

8/14

(16)

...

Exercice n°10 Ex.64 p.81 Exercice n°11

Ex.61 p.81 Exercice n°13*

Ex.87 p.83 Exercice n°19**

Ex.98 p.84 Exercice n°20**

Ex.99 p.84

Exercice n°21** (Préparation au bac) Suijet B P.92

9/14

(17)

10/14 - Chapitre n°5 : Fonctions polynômes Exercice n°22** (Préparation au bac)

Sujet C p.93

Exercice n°23** (Préparation au bac) Sujet D p.93

Exercice n°24*** (Prépartaion au bac) Sujet A p.92

10/14

(18)

Indices ou résultats permettant de savoir si on a juste ou faux.

Ex.1 : le troisième.

Ex.2 : q1 B&D q3 A,B&D Ex.3 : q4 D q6 A&C Ex.4 : q7 B q8 A,C&D

Ex.5 : 1.n=2 et f '(x)=2x 2. n=7 et f '(x)=7x⁶ 3. n=11 et f '(x)=11x¹⁰

Ex.6 : 1.u(x)=x et v(x)=2 ; u'(x)=1 et v'(x)=0 ; f '(x)=1 2.u(x)=x² et v(x)=x ; u'(x)=2x et v'(x)=1 ; f '(x)=2x+1 3. f '(x)=3x²+2x

Ex.7 : ex15 f '(x)=5x⁴+3x²+1 ex16 f '(x)=6x⁵–10x⁴

Ex.8 : f(x)=-350u(x) avec u(x)=x²; u'(x)=2x et f '(x)=-700x – g '(x)=2

3 x – h'(x)=0,004x³ Ex.9 : 1. f(x)=x²+2x+1 et f '(x)=2x+2 2. f(x)=x²–2x–3 et f '(x)=2x–2 3. f(x)=100x²+100x–

200 et f '(x)=200x+100

Ex.10 : f '(x)=-15x²+8x–1. f est décroissante sur ]–∞; 1

5 ]U[ 1

3 ;+∞[ croissante sinon.

Ex.11 : f est croissante sur

ℝ

Ex.12 : 1.a. f est croissante 1.b. f est constante 1.c. f est décroissante 2.

fonction affine...

Ex.13 : 1. f '(x)=x³–3x²–10x 2. -2 et 5 3. f ': [-5 ;-2] :-;[-2;0]:+;[0;5] :-;[5;7]:+ 4. f :[-5 ;- 2]:décr.;[-2;0]:croiss.;[0;5] :décroiss.;[5;7]:croiss. ; f(-5)=156,25 ;f(-2)=-8 ;f(0)=0 ;f(5)=- 93,75 ;f(7)=12,25

Ex.14 : 1. f '(x)=4x³–24x²–28x 3.

4. max:28;min :-1025

Ex.15 : 1. f '(x)=4x³–24x²–28x 2.

3. min :-33;max:3

Ex.16 : 1. B et D 2.indic : d=... 3. A:a=2,b=3,c=4,d=5 B:a=1,b=1,c=1,d=0 11/14

(19)

12/14 - Chapitre n°5 : Fonctions polynômes C:a=-2,b=0,c=7,d=1 D:a=7,b=3,c=0,d=0 4. ALGOBOX :

Ex.17 : f '(x)=3x²–2. Une équation de la tangente : y=10x+17 Ex.18 : f '(x)=-4x³+4x–1. Une équation de la tangente : y=-x+1

Ex.19 : 1. a. environ -1;0,5 et 1 1.b.

[-1;0,5]U[1;+∞[ 2.b.

Ex.20 : 1. b.]–∞;3]2.b.

Ex.21 à 24 : non corrigés (demander en DM)

12/14

(20)

13/14

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date : …...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser l'interrogation n°... du chap. n°...

* Je veux repasser le contrôle n°...

Travail fait en classe :