Chapitre n°5 : Fonctions polynômes

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Chapitre n°5 : Fonctions polynômes

Objectifs.

O13- Connaître la fonction dérivée de x xⁿ[L'étude des ensembles de définition et de dérivation n'est pas un objectif du programme]

O14- Déterminer la fonction dérivée d'une fonction polynôme.

O15- Étudier les variations et les extremums d'une fonction polynôme à partir du signe de sa dérivée.

O16- Déterminer une équation de la tangente en un point à la courbe représentative d'une fonction polynôme et tracer cette tangente.

[On se limite à des fonctions simples][Cette partie du programme se prète particulièrement à l'étude de situations issues des autres disciplines (résolutions graphiques ou numériques d'équations et d'inéquations, problèmes d'optimisation, etc.)]

Rappels

- Les exercices sans étoile et une étoile sont obligatoires.

- Parmi les exercices deux étoiles, il faut au moins en faire un « préparation au bac ».

- Au moins un exercice à la maison après chaque heure de cours.

- En cas de travail différent par rapport aux autres élèves de la classe, fournir un papier (cf fin du polycopié)

Exercice n°1

On donne la représentation graphique d'une fonction f :

Parmi les trois graphiques ci-dessous, quel est celui qui correspond à la

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représentation graphique de la fonction dérivée f ' de f ? JUSTIFIEZ !

Exercice n°2

Ex.1 et 3 p.68 (QCM)

Exercice n°3

Exercice n°4

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Activité d'approche n°1

Activité n°1 p.70

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Cours n°1 I) Fonction dérivée d'une fonction polynôme

Propriété n°1

Soit f la fonction définie sur R par : f (x)=xⁿ, où n est un nombre entier strictement supérieur à 1.

La fonction dérivée f ' de la fonction f est aussi définie sur R : f ' (x)=...

Exemple n°1 :

Si f(x)=x², alors f '(x)=... =...

Si g(x)=x³, alors g '(x)=... =...

Si h(x)=x⁴, alors h '(x)=... =...

Si j(x)=x⁵, alors j '(x)=... =...

Activité d'approche n°2

Activité n°2 p.70 (rappel : si f(x)=ax²+bx+c, f'(x)=2ax+b)

Cours n°2

Propriété n°2 : Opérations sur les fonctions dérivées

Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I commun. Soit k un nombre réel. Alors, les fonctions k×u et u + v sont aussi dérivables sur I et : 1) La fonction dérivée de k×u est …...

2) La fonction dérivée de u + v est …...

Exemple n°2 :

Si f(x)=3x⁴, alors f '(x)=... =... (k=.... et u(x)=...) Exemple n°3 :

Si g(x)=3x⁴ – 2x³

+

3, alors

g'(x)=... =...

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Exercice n°5 Ex.1 p.78

Exercice n°7

Ex.15 et 16 p.78

Cours n°3

II) Fonction dérivée et sens de variation d'une fonction

Propriété n°3 : signe de la dérivée sens de variation→ Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I

● Si,pour tout nombre de I, ..., alors la fonction f est croissante sur I.

● Si, pour tout nombre de I, ..., alors la fonction f est décroissante sur I.

● Si, pour tout nombre de I, ..., alors la fonction est constante sur I.

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Exemple n°4

On reprend l'exemple n°3.

1. Factorisez g' et étudiez son signe

...

2. En déduire le sens de variation de g et présentez l'ensemble des résultats sous la forme d'un tableau.

...

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...

Exercice n°13*

Ex.70 p.81

Exercice n°14*

Ex.77 p.82

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Exercice n°15*

Ex.78 p.82

Exercice n°16*

Ex.72 p.82

Activité d'approche n°3

Activité n°4 p.74

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Cours n°4

II) Tangente à la courbe

Définition n°4 : Tangente à la courbe

Soit f une fonction définie sur un intervalle I, dérivable en un nombre réel a de cet intervalle. On note A le point de la courbe représentative c de f et d'abscisse a : A(a;f(a)). Dans un repère (O;I;J), la tangente à la courbe

représentative de f au point d'abscisse a est la droite qui passe par ce point A et de coefficient directeur f'(a).

Propriété n°1 : équation de la tangente à la courbe.

Soit f une fonction définie sur un intervalle I , dérivable en un nombre réel a de l'intervalle I. Soit c sa courbe représentative et A un point de c d'abscisse a. Dans un repère (O;I,J), l'équation de la tangente à c au point A est : y = f'(a) (x – a) + f(a).

Exemple n°5

Soit la fonction f définie sur R par : f(x) = x² – 4x + 1

1. Calculez la dérivée f ' de f

...

2. Construisez la tangente (t) à sa courbe représentative, au point A d'abscisse 3 : 3.Déterminez une équation de (t3) au point d'abscisse 3 :

...

-1 0 1 2 3 4 5

6 5 4 3 2 1

-1 -2 -3

y

x

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(13)

...

4. Déterminez graphiquement f'(0).

...

Exercice n°17*

Ex.86 p.83

-1 0 1 2 3 4 5

6 5 4 3 2 1

-1 -2 -3

y

x

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Exercice n°18*

Ex.87 p.83

Exercice n°19**

Ex.98 p.84

Exercice n°20**

Ex.99 p.84

Exercice n°21** (Préparation au bac) Suijet B P.92

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Exercice n°22** (Préparation au bac) Sujet C p.93

Exercice n°23** (Préparation au bac) Sujet D p.93

Exercice n°24*** (Prépartaion au bac) Sujet A p.92

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Indices ou résultats permettant de savoir si on a juste ou faux.

Ex.1 : le troisième.

Ex.2 : q1 B&D q3 A,B&D Ex.3 : q4 D q6 A&C Ex.4 : q7 B q8 A,C&D

Ex.5 : 1.n=2 et f '(x)=2x 2. n=7 et f '(x)=7x⁶ 3. n=11 et f '(x)=11x¹⁰

Ex.6 : 1.u(x)=x et v(x)=2 ; u'(x)=1 et v'(x)=0 ; f '(x)=1 2.u(x)=x² et v(x)=x ; u'(x)=2x et v'(x)=1 ; f '(x)=2x+1 3. f '(x)=3x²+2x

Ex.7 : ex15 f '(x)=5x⁴+3x²+1 ex16 f '(x)=6x⁵–10x⁴

Ex.8 : f(x)=-350u(x) avec u(x)=x²; u'(x)=2x et f '(x)=-700x – g '(x)=2

3 x – h'(x)=0,004x³ Ex.9 : 1. f(x)=x²+2x+1 et f '(x)=2x+2 2. f(x)=x²–2x–3 et f '(x)=2x–2 3. f(x)=100x²+100x–

200 et f '(x)=200x+100

Ex.10 : f '(x)=-15x²+8x–1. f est décroissante sur ]–∞; 1

5 ]U[ 1

3 ;+∞[ croissante sinon.

Ex.11 : f est croissante sur

ℝ

Ex.12 : 1.a. f est croissante 1.b. f est constante 1.c. f est décroissante 2.

fonction affine...

Ex.13 : 1. f '(x)=x³–3x²–10x 2. -2 et 5 3. f ': [-5 ;-2] :-;[-2;0]:+;[0;5] :-;[5;7]:+ 4. f :[-5 ;- 2]:décr.;[-2;0]:croiss.;[0;5] :décroiss.;[5;7]:croiss. ; f(-5)=156,25 ;f(-2)=-8 ;f(0)=0 ;f(5)=- 93,75 ;f(7)=12,25

Ex.14 : 1. f '(x)=4x³–24x²–28x 3.

4. max:28;min :-1025

Ex.15 : 1. f '(x)=4x³–24x²–28x 2.

3. min :-33;max:3

Ex.16 : 1. B et D 2.indic : d=... 3. A:a=2,b=3,c=4,d=5 B:a=1,b=1,c=1,d=0 C:a=-2,b=0,c=7,d=1 D:a=7,b=3,c=0,d=0 4. ALGOBOX :

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Ex.17 : f '(x)=3x²–2. Une équation de la tangente : y=10x+17 Ex.18 : f '(x)=-4x³+4x–1. Une équation de la tangente : y=-x+1

Ex.19 : 1. a. environ -1;0,5 et 1 1.b.

[-1;0,5]U[1;+∞[ 2.b.

Ex.20 : 1. b.]–∞;3]2.b.

Ex.21 à 24 : non corrigés (demander en DM)

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(19)

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date : …...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser l'interrogation n°... du chap. n°...

* Je veux repasser le contrôle n°...

Travail fait en classe :