Chapitre 5 Généralités sur les fonctions

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Chapitre 5

Généralités sur les fonctions

Sommaire

5.1 Rappels sur les fonctions . . . . 44

5.2 Fonctions de référence . . . . 45

5.2.1 Fonctions de référence déjà connues . . . 45

5.2.2 Nouvelles fonctions de référence. . . 45

5.3 Autres fonctions. . . . 47

5.3.1 Opérations algébriques sur les fonctions . . . 47

5.3.2 Fonctions associées . . . 47

5.3.3 Fonctions composées . . . 48

5.4 Exercices . . . . 49

5.4.1 Fonctions de référence. . . 49

5.4.2 Fonctions trinômes. . . 50

5.4.3 Fonctions associées – Fonctions composées . . . 51

5.4.4 Démonstrations. . . 51

5.4.5 Comparaisons de fonctions . . . 53

5.4.6 Exercices de synthèse . . . 55

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5.1 Rappels sur les fonctions ^{Première S}

5.1 Rappels sur les fonctions

Les définitions et propriétés suivantes ont été vues en Seconde aussi les exemples, remarques, illustra- tions seront limités et les propriétés ne seront pas démontrées.

Définition 5.1(Notion de fonction). SoitDun intervalle ou une réunion d’intervalles deR.

Définir une fonction numériquef surD, c’est associer, à chaque réelx∈D,au plusun réel noté f(x).

On dit quef(x) est l’image dexpar f et quexest un antécédant de f(x).

On note :

f : D −→ R

x 7−→ f(x)

et on lit «f, la fonction deDdansRqui àxassocief(x) ».

Remarque. f désigne la fonction,f(x) désigne le réel qui est l’image dexpar f.

Définition 5.2(Ensemble de définition). L’ensemble des réels possédant une image par une fonction est appeléensemble de définitionde la fonction. On le note en généralD_f.

Définition 5.3(Courbe représentative). Soitf une fonction. On appelle courbe représentative de f, notée en généralC_f, l’ensemble des pointsMde coordonnées¡

x;y¢

tels que :

• xdécritD_f, l’ensemble de définition def

• y=f(x)

On dit que la courbeC_f a pour équationy=f(x).

On veillera à ne pas confondre la fonction et sa représentation graphique.

Définition 5.4(Variations d’une fonction). Soit f une fonction définie sur un intervalleI. On dit que

• f estcroissante sur I si pour tous réelsaetbdeIon a : . . . ;

• f estdécroissante sur I si pour tous réelsaetbdeIon a : . . . ;

• f estmonotone sur I si . . . .

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Première S 5.2 Fonctions de référence

5.2 Fonctions de référence

5.2.1 Fonctions de référence déjà connues

Compléter : Fonction

Définie sur Variations Allure de la courbe représentative

Affine f(x)= Df =

O _~_i

~j

x y

Carré f(x)=x² D_f =

O _~_i

~j

x y

Inverse f(x)= D_f =

O _~_i

~j

x y

5.2.2 Nouvelles fonctions de référence

ACTIVITÉ5.1(La fonction racine).

On appellefonction racinela fonction qui à un réelx associe, s’il existe, le réel positif notépxtel que (px)²=x.

1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction racine.

2. À l’aide d’une calculatrice graphique ou d’un grapheur, représenter la courbe de la fonction racine.

3. Que peut-on conjecturer quant aux variations de la fonction racine?

Prouvons-le.

Soit 06_a_<_b.

(a) Que peut-on dire alors deb−a? (b) Montrer queb−a=(p

b+p a)(p

b−p a).

(c) Que peut-on dire du signe dep

b+pa? En déduire le signe dep

b−pa. (d) En déduire alors le sens de variation de la fonction racine.

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5.2 Fonctions de référence ^{Première S}

ACTIVITÉ5.2(La fonction cube).

On appellefonction cubela fonction qui à un réelxassocie, s’il existe, le réel positifx³. 1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction cube.

2. À l’aide d’une calculatrice graphique ou d’un grapheur, représenter la courbe de la fonction cube.

3. Que peut-on conjecturer quant aux variations de la fonction cube?

Prouvons-le.

Soita<b.

(a) Que peut-on dire alors dea−b?

(b) Montrer quea³−b³=(a−b)(a²+ab+b²).

(c) Siaetbsont positifs, que peut-on alors dire du signe dea³−b³? En déduire alors le sens de variation de la fonction cube surR⁺.

(d) Sia et b sont négatifs, que peut-on alors dire du signe dea³−b³? En déduire alors le sens de variation de la fonction cube surR⁻.

ACTIVITÉ5.3(Valeur absolue).

On appellevaleur absolued’un réelxle réel, noté|x|, tel que :

½ Six>_{0 alors}_|_x_{| =}_x Six60 alors|x| = −x

1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction valeur absolue.

2. Montrer que si 06a<balors|a| < |b|. Que peut-on en déduire?

3. Montrer que sia<b6_{0 alors}_|_a_{| > |}_b_|. Que peut-on en déduire?

4. Tracer la courbe représentative de la fonction valeur absolue.

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Première S 5.3 Autres fonctions

5.3 Autres fonctions

5.3.1 Opérations algébriques sur les fonctions

De la même manière qu’on peut ajouter, multiplier, diviser, etc. des nombres, on peut ajouter, multiplier, diviser, etc. des fonctions.

Définition 5.5. Soitf etg deux fonctions définies au moins surDetkun réel. Le tableau suivant regroupe les opérations sur les fonctions f etg :

Opération Notation Définition Définie pour

Somme de la fonction f et

du réelk f +k (f +k)(x)=f(x)+k

x∈D_f Produit de la fonction f et

du réelk k f (k f)(x)=k f(x)

Somme des fonctions f et

g f +g (f +g)(x)=f(x)+g(x)

x∈D_f ∩Dg

Différence des fonctions f

etg f −g (f −g)(x)=f(x)−g(x)

Produit des fonctionsf etg f g (f g)(x)=f(x)×g(x) Quotient des fonctionsf et

g

f g

µf g

¶

(x)= f(x)

g(x) x∈Df ∩Dg etg(x)6=0 Propriété 5.1(Variations de f +g). Soit deux fonctions f et g définies au moins sur un ensemble D.

• Si f et g sont deux fonctions croissantes sur D, alors la fonction f +g est croissante sur D.

• Si f et g sont deux fonctions décroissantes sur D, alors la fonction f +g est décroissante sur D.

Preuve. Voir l’exercice5.11. ♦

5.3.2 Fonctions associées

ACTIVITÉ5.4.

Soientf,g,heti les fonctions définies par :

• f(x)=pxpourx∈R⁺

• g(x)=3+p

xpourx∈R⁺

• h(x)= −pxpourx∈R⁺

• i(x)=4p

xpourx∈R⁺

1. À l’aide d’une calculatrice graphique ou d’un grapheur, tracer la courbe représentative de f puis celle deg.

2. Décrire la transformation permettant de passer de la courbe def à celle deg en précisant ses caractéristiques si cette transformation est une transformation usuelle (symétrie, etc.).

3. Mêmes questions en remplaçantg par chacune des autres fonctions.

Définition 5.6. Soitf une fonction définie surDetkun réel.

On appellefonctions associées à f les fonctions :x7→f(x)+koux7→k f(x)

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5.3 Autres fonctions ^{Première S}

Propriété 5.2(Variations de f +k). Soit f une fonction définie et monotone sur un intervalle I et k un réel. Les fonctions f et f +k ont même sens de variation sur I .

Preuve. Si f est croissante eta<b, alorsf(a)6f(b). Doncf(a)+k6f(b)+kdoncf +kest aussi croissante.

On démontre de la même manière sif est décroissante. ♦

Exemple. La fonctionf :x7−→x²+2 a les mêmes variations que la fonction carrée.

Propriété 5.3(Variations dek f). Soit f une fonction définie et monotone sur D.

• Si k>0alors les fonctions f et k f ont le même sens de variation sur D.

• Si k<0alors les fonctions f et k f ont des sens de variation opposés sur D.

Preuve. Voir l’exercice5.12. ♦

Propriété 5.4. Le plan est muni d’un repère¡ O;~ı,~¢

. Soit f une fonction définie sur D et k un réel.

• La courbe de f +k s’obtient à partir de celle de f par une translation de vecteur k~j

• Dans un repère orthogonal, la courbe de−f s’obtient à partir de celle de f par la symétrie par rapport à l’axe des abscisses

On l’admettra.

5.3.3 Fonctions composées

ACTIVITÉ5.5.

La fonctionf est définie surRparf(x)=x²−3x−2.

Les fonctionsg ethsont définies parg(x)=p

f(x) eth(x)= _f_(x¹₎. On appelleC_f,C_g etC_hleurs courbes représentatives respectives.

1. Étude deg.

(a) Déterminer l’ensemble de définition deg, notéDg.

(b) À l’aide d’une calculatrice graphique ou d’un grapheur, tracerC_f etC_g. Que peut-on conjecturer sur le lien entre les variations de f et celles deg?

(c) Montrer que si une fonction positivef est croissante (respectivement décroissante) sur un intervalleI, alorsg =p

f l’est aussi.

2. Étude deh.

(a) Déterminer l’ensemble de définition deh, notéD_h.

(b) À l’aide d’une calculatrice graphique ou d’un grapheur, tracerC_f etC_h. Que peut-on conjecturer sur le lien entre les variations de f et celles deh?

(c) Montrer que si une fonction non nulle f est croissante (respectivement décroissante) sur un intervalleI, alorsh= ¹_f est décroissante (respectivement croissante) surI. Conformément au programme on se limitera aux cas mentionnés dans la définition ci-dessous.

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Première S 5.4 Exercices

Définition 5.7. Soituune fonction définie sur un intervalleI.

• La fonctionpu est définie pour toutx∈I tel queu(x)>0 et s’appellela composée de la fonction racine et de u.

• La fonction _u¹ est définie pour tout x ∈ I tel que u(x)6=0 et s’appellela composée de la fonction inverse et de u.

Propriété 5.5(Variations depu). Soit u définie sur D et telle que u>_0.

Alors u etpu ont les mêmes variations.

Propriété 5.6(Variations de_u¹). Soit u définie sur D et telle que u6=0.

Alors u et_u¹ ont des variations opposées.

Preuve. Ces deux propriétés ont été démontrées dans l’activité5.5. ♦

5.4 Exercices

5.4.1 Fonctions de référence

EXERCICE5.1.

Déterminer graphiquement l’ensembleS des solutions de chacune des inéquations suivantes.

On construira avec soin les représentations graphiques des fonctions de référence concernées et on fera apparaître les traits de constructions.

26_x² ^p_x>₂ _|_x_{| >}₁ _x¹>₋₃

O

x y

O

x y

O

x y

O

x y

S =... ... S =... ... S =... ... S =...

16_x²6₅ ₃6^p_x6₄ ₄_{> |}_x_{| >}₂ _x¹_<₂

O

x y

O

x y

O

x y

O

x y

S =... ... S =... ... S =... ... S =...

EXERCICE5.2.

On appelledistance entre deux nombres réels a et b, la distance entre les points AetB d’abscisses respectivesaetbsur la droite réelle munie d’un repère (O;~ı).

1. Dans chacun des cas suivants, déterminer la distance entre les deux nombres réels :

• 2 et 3

• 3 et−1

• −1 et 3

• −2 et−4

• 0 et 3

• 0 et−3 2. Conjecturer le lien entre distance entre deux réels et valeur absolue.

En se basant sur les deux dernières distances calculées dans la question précédente, donner une nouvelle définition de|x|.

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5.4 Exercices ^{Première S}

3. On appelle centre de l’intervalle[a;b] le nombre ^a⁺₂^b et amplitude de l’intervalle [a;b] le nombreb−a.

(a) Traduire «x∈[2 ; 4] » en termes de distance entre des nombres.

(b) Traduire les inégalités suivantes en intervalles :

• |x−1|6₂ _• _|_x₊₂_{| <}₃ _• _|_x₋₁_|>₄ _• _|_x₊₃_{| >}₁ EXERCICE5.3.

Calculerp

x²dans les cas suivants :

• x=3 • x= −3 • x=2 • x= −2

En déduire la valeur dep x². EXERCICE5.4.

On donne les fonctionsf,g ethsuivantes :

• f(x)=x; • g(x)=x²; • h(x)=px.

Leurs courbes sont notées, respectivement,C_f,C_g etC_h. Sur [O;+∞[, étudier les positions relatives :

1. deC_f et deC_g; 2. deC_f et deC_h; 3. deC_g et deC_h.

5.4.2 Fonctions trinômes

EXERCICE5.5.

Soitf la fonction trinôme définie surRparf(x)=x²−6x+11.

1. Donner la forme canonique def.

2. (a) Compléter les inégalités suivantes :

3 6 _a _< _b

3−3 ... a−3 ... b−3 ... ... (a−3)² ... (b−3)² ... ... (a−3)²+2 ... (b−3)²+2

... ... ... ... ...

(b) Que peut-on en conclure?

3. Faire le même travail en partant de :a<b63 et conclure.

EXERCICE5.6.

Soitf la fonction définie surRpar : f(x)=x²−2x+4.

2. Déterminer par le calcul les variations def. EXERCICE5.7.

Soitf la fonction définie surRpar : f(x)= −2x²−4x+1.

2. Déterminer par le calcul les variations def.

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5.4.3 Fonctions associées – Fonctions composées

EXERCICE5.8.

On a représenté sur la figure5.1page suivante la courbe d’une fonction f définie surR. 1. Tracer sur cette même figure les courbes des fonctions suivantes :

• u=f +2 ; • v= −2f ; • w= |f|.

2. À partir de la figure, déterminer les domaines de définition et les tableaux de variations des fonctions suivantes (on justifiera brièvement) :

• y=p

f ; • z=¹_f.

EXERCICE5.9.

On a représenté sur la figure5.2page suivante la courbe d’une fonction f définie surR.

Après avoir indiqué leur domaine de définition, tracer sur cette même figure les courbes des fonctions suivantes :

• u=p

f ; • v= ¹_f ; • w= |f|.

EXERCICE5.10.

f est une fonction définie sur [−10 ; 10] et son tableau de variations est le suivant :

x −10 −1 2 8 10

f 4

1

9

−5

−1

On sait de plus que f(3)=0.

Pour chacune des fonctions suivantes :

(a) Donner son ensemble de définition.On justifiera s’il n’est pas le même que celui de f . (b) Donner son tableau des variations.On justifiera systématiquement.

1. g =f −3 2. h=2f

3. i= −3f 4. j=p

f

5. k= ¹_f 6. ℓ= |f|

5.4.4 Démonstrations

EXERCICE5.11(Preuve de la propriété5.1).

Montrer que siaetbsont deux nombres d’un intervalleItels quea<bet quef etgsont croissantes surI, alors (f +g)(a)6₍_f ₊_g)(b). Conclure.

Même question lorsquef etg sont décroissantes surI. EXERCICE5.12(Preuve de la propriété5.3).

Montrer que sia etb sont deux nombres d’un intervalleI tels quea<b, si f croissante surI et si k<0 alorsk f(a)>k f(b). Conclure.

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F^IGURE5.1: Graphique de l’exercice5.8

1 2 3 4 5 6

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−1

−2

−3

−4

−5

−6 1 2 3 4 5

O _~_ı

~

x y

FIGURE5.2: Courbe de l’exercice5.9

1 2 3 4

−1

−2

−3

−4

−1

−2

−3

−4 1 2 3 4

O

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5.4.5 Comparaisons de fonctions

EXERCICE5.13.

Soient f etg les fonctions définies surRpar : f(x)= −x³+4xet g(x)= −x²+4. On a tracé sur le graphique5.3de la présente page les courbes représentatives def et deg.

FIGURE5.3: Graphique de l’exercice5.15

1 2 3

−1

−2

−3

−1

−2

−3

−4

−5 1 2 3 4

O _~ı

~

x y

C

C^′

1. Associer chaque courbe à la fonction qu’elle représente. Justifier succintement.

2. Déterminer graphiquement le nombre de solution des équations :

• f(x)=0 ; • g(x)=0 ; • f(x)=g(x).

3. Résoudre par le calcul :f(x)=0 etg(x)=0 4. Résoudre graphiquement : f(x)6g(x).

5. Un logiciel de calcul formel affiche les choses suivantes : (%i1) factor(-x^3+x^2+4*x-4);

(%o1) - (x - 2) (x - 1) (x + 2) (a) Interpréter ces deux lignes.

(b) En déduire une résolution algébrique de l’inéquationf(x)6_g_(x).

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5.4.6 Exercices de synthèse

EXERCICE5.14.

L’objectif de cet exercice est d’étudier la fonctionf définie surR\{−1} par : f(x)=x²+2x−3

x+1 Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire.

On considère la fonctiong définie par :g(x)=_x⁻₊⁴₁ 1. Étudier les variations dex7→ _x₊¹₁.

2. En déduire les variations deg. Partie B.

1. Déterminer les réelsa,betctels que : f(x)=ax+b+_x+1^c pour toutx∈R\{−1}.

2. En déduire les variations de la fonction f.

3. On appelleC la représentation graphique def dans un repère¡ O;~ı,~¢

.

(a) Déterminer les coordonnées des points d’intersection de C avec chacun des axes du repère.

(b) Dest la droite d’équationy=x+1. Déterminer les positions relatives deDet deC. (c) Placer les points trouvés à la question3aetDdans un repère et tracer soigneusement

C. EXERCICE5.15.

Soitf la fonction définie surR\{2} par :

f(x)=−x²+5x−4 x−2 On appelleC sa courbe représentative.

1. (a) Déterminer les réelsa,betc tels que, pour tout réelx, f(x)=ax+b+_x₋^c₂. (b) Étudier les variations dex7→ _x−2^c .

(c) En déduire les variations def.

2. Étudier les positions relatives deC et de la droite d’équationy= −x+3.

3. Déterminer les coordonnées des points d’intersection deC avec les axes de coordonnées.

4. Placer les points et les droites rencontrés dans les questions précédentes dans un même re- père et y tracerC.