Chapitre n°5 : Fonctions polynômes
Objectifs.
Niveau a eca n
C5.a 1 Tracer la tangente en un point à une courbe donnée.
C5.b 1 Déterminer l'équation de la tangente en un point.
C5.c 1 Déterminer graphiquement la valeur de la dérivée.
C5.d 1 Savoir calculer la dérivée d'une fonction polynôme C5.e 1 Savoir calculer la dérivée d'une somme ou d'un produit
de fonctions
C5.f 2 Savoir étudier les variations d'une fonction
Activité n°1
Partie A : pente d'une droite.
Soit (d) la droite d'équation y = -2 x + 1.
1. Dans le repère ci-dessous, tracer cette droite.
2. Quel point A d'abscisse xA=0 appartient à la droite (i.e. calculer son ordonnée)
? …...
3. On augmente l'abscisse de 1. Quel point B d'abscisse xB=1 appartient à la droite (i.e. calculer son ordonnée) ? …...
4. Comparer la différence des ordonnées yB – yA avec l'équation de (d). Que semble-t-il se passer ?
…...
...
...………
5. On augmente encore l'abscisse de 1 unité. Quel point C d'abscisse xC=2 appartient à la droite (d) ? …...
6. Comparer la différence des ordonnées yC – yB avec l'équation de (d). Que semble-t-il se passer ?
…...
...
...
7. Compléter : « Pour lire graphiquement le coefficient directeur d'une droite (d), il suffit de :
…...
...
...
...
...
... » 8. Applications :
a. tracer la droite (d2) passant par les points E(0;–5) et F(3 ;1). Déduire du graphique l'équation de (d2) :
…...………..
b. tracer la droite (d3) passant par les points G(0;–1) et F(3 ;1). Déduire du graphique ou des coordonnées des points l'équation de (d3).
…...
Partie B : tangente à une courbe.
Soit f la fonction telle que f(x) = –x² – 2x +1 et cf sa courbe représentative.
1. Sur le graphique précédent, en complétant un tableau de valeurs ci-dessous, construire cf :
x f(x)
2. Que semble-t-il se passer au point d'abscisse 0 ? Que peut-on dire de (d) et cf ?
…...
...
...
...
...………...
3. Vérifier par le calcul que le point A appartient à la fois aux deux courbes (d) et cf.
…...
...
...
...………..
4. Construire la tangente (d4) à cf au point H d'abscisse -2. Quelle est la pente de cette droite ?
…...
...………...
5. En fait, la fonction dérivée de f est f '(x) = –2x –2. Calculer f '(0) et f '(-2) :
…...
...
...………...
6. Comparer f '(0) et f '(-2) aux pentes de (d) et (d4). Que constate-t-on ?
…...
...………..
7. Compléter : « Quand on trace la courbe représentative d'une fonction, on peut lire la valeur de la dérivée de cette fonction en un point en traçant la
…... en ce point et en lisant la …...
de cette droite. »
Cours n°1
I) Pente d'une droite tangente à une courbe.
Propriété n°1
La pente d'une droite d'équation y=ax + b correspond à la valeur de …..
Exemple n°1 :
Lire les pentes de ces deux droites ci-dessus :
...
...………..……….
Propriété n°2
Soit f la fonction définie sur R
La fonction dérivée f ' de la fonction f au point d'abscisse x0 est la ... de la tangente à la courbe au point d'abscisse …....
Exemple n°2
On donne la fonction f définie par f(x)= 2x² – 2x +1.
La dérivée de f, notée f ' a pour expression : f '(x) = ...…...
Soit cf la courbe représentative de f.
a. Quelle est la pente de la tangente (t1) à cf au point d'abscisse 0 ?
…...
b. Quelle est la pente de la tangente (t2) à cf au point d'abscisse 1 ?
…...
c. Après avoir rempli un tableau de valeur pour la fonction f , tracer la courbe cf
et les deux tangentes.
…...
...
...
...
...
...
...……….
Interrogation n°1 Objectifs
C5.a_Niv1 :Tracer la tangente en un point à une courbe donnée.
C5.b_Niv1 :Déterminer l'équation de la tangente en un point.
C5.c_Niv1 :Déterminer graphiquement la valeur de la dérivée.
Exercice n°1
RAPPEL de cours (à connaître absolument ! ) : DÉRIVÉE D'UNE FONCTION AFFINE
La dérivée d'une fonction de la forme f(x) = ax + b est f '(x) = a.
Dériver les fonctions suivantes : 1. f(x)= 9x + 5.
2. f(x)= – 3x + 3.
3. f(x)= – 3x – 9.
4. f(x)= 9x – 4.
5. f(x)= 9 + 2x.
6. f(x)= – 4+ 8x . 7. f(x)= – 4 – 6x . 8. f(x)= 8 – 3x . Exercice n°2
RAPPEL de cours (à connaître absolument ! ) : SIGNE D'UNE FONCTION AFFINE
Le signe d'une fonction de la forme f(x) = ax + b est le signe de a si xest plus grand que – b ÷ a, et le signe de l'opposé de a sinon.
Étudier le signe des quatre premières fonctions de l'exercice n°1 en fonction de la valeur de x.
Exercice n°3
RAPPEL de cours (à connaître absolument ! ) : DÉRIVÉE D'UN POLYNÔME DE DEGRÉ 2
La dérivée d'une fonction de la forme f(x) = ax² + bx +c est f '(x)=2ax + b.
Dériver les fonctions suivantes : 1. f(x)= 3x² – 9x + 6.
2. f(x)= 6x – 4 – 2x² . 3. f(x)= 7x² + x + 4.
4. f(x)= – x – 3x² – 9.
5. f(x)= 3x² – 6x + 3.
6. f(x)= – 4x² – 4 + 8x.
7. f(x)= 3x² – 3x – 6.
8. f(x)= 8x² – 5x – 9.
Exercice n°4
RAPPEL de cours (à connaître absolument ! ) : SIGNE D'UN POLYNÔME DE DEGRÉ 2
1) Un polynôme du second degré ( c'est à dire une fonction de la forme f(x) = ax² + bx +c ) est du signe de l'opposé du coefficient du terme en x ² (c'est à dire : est du signe de l'opposé de a ) entre les deux racines (les nombres pour lesquels f(x)=0) .
Il est du signe de a en dehors de l'intervalle des racines.
2) Un polynôme du second degré ax² + bx +c a :
- aucune racine si b×b – 4×a×c est négatif. Il est alors toujours du signe de a.
- une seule racine – b÷(2×a) si b×b – 4×a×c vaut 0. Il est alors toujours du signe de a.
- deux racines si b×b – 4×a×c est positif : x1 = −b−√ (b×b –4×a×c)
2×a et x2 =
−b+√ (b×b –4×a×c)
2×a . Il est alors du signe de
l'opposé de a dans l'intervalle [ x1 ; x2 ], et du signe dea en dehors de [ x1 ; x2 ]
Étudier le signe des quatre premières fonctions de l'exercice n°3 en fonction de la valeur de x.
Exercice n°5
RAPPEL de cours (à connaître absolument ! ) : SENS DE VARIATION Si la dérivée d'une fonction fest négative, la fonction f est décroissante.
Si la dérivée d'une fonction fest positive, la fonction f est croissante.
1. En utilisant les résultats de l'exercice n°3, déterminer le signe des dérivées des quatre premières fonctions de l'exercice n°3.
2. En déduire le sens de variation des quatre premières fonctions de l'exercice n°3.
Exercice n°6
On donne la représentation graphique d'une fonction f :
Parmi les trois graphiques ci-dessous, quel est celui qui correspond à la représentation graphique de la fonction dérivée f ' de f ? JUSTIFIEZ !
Exercice n°7
Ex.1 et 3 p.68 (QCM) Exercice n°8
Ex.4 et 6 p.68 (QCM) Exercice n°9
Ex.7 et 8 p.68 (QCM)
Cours n°2 III) Fonction dérivée
d'une fonction polynôme
Propriété n°3
Soit f la fonction définie sur R par : f (x)=xn, où n est un nombre entier strictement supérieur à 1.
La fonction dérivée f ' de la fonction f est aussi définie sur R : f ' (x)=...
Exemple n°3 :
Si f(x)=x2, alors f '(x)=... =...
Si g(x)=x3, alors g'(x)=... =...
Si h(x)=x4, alors h '(x)=... =...
Si j(x)=x5, alors j '(x)=... =...…
Activité d'approche n°3
Soit u et v deux fonctions telles que u(x) = x2 + 3x – 1, v(x) = – 4x + 5 et w(x) = 4x + 5.
1.Calculer u'(x) :
………
………
………
………
………
2.Calculer v'(x) :
………
………
………
………
………
3.Calculer w'(x) :
………
………
………
………
………
4. Soit g(x) = 3u(x).
a. Exprimer g(x) en fonction de x. Développer et réduire au mieux l'expression obtenue.
………
b. Calculer g'(x).
………
………
………
………
………
c. Compléter le tableau ci-dessous :
x -2 -1 0 1 2 3
u'(x) …… …… …… …… …… ……
g'(x) …… …… …… …… …… ……
d. Que peut-on conjecturer ?
………..
e. Compléter :
« Si g(x) = k u(x), k étant un nombre, alors g'(x) = ………. ».
5. Soit p(x) = u(x) + v(x).
a. Exprimer p(x) en fonction de x. Développer et réduire au mieux l'expression obtenue.
………
b. Calculer p'(x).
………
………
………
………
………
c. Compléter le tableau ci-dessous :
x -2 -1 0 1 2 3
u'(x) …… …… …… …… …… ……
v'(x) …… …… …… …… …… ……
u'(x) + v'(x) …… …… …… …… …… ……
p'(x) …… …… …… …… …… ……
d. Que peut-on conjecturer ?
………..
e. Compléter : « Si p(x)=u(x) + v(x), alors p'(x)=………. ».
5. Soit q(x) = u(x) × v(x).
a. Exprimer q(x) en fonction de x. Développer et réduire au mieux l'expression obtenue.
………
b. Calculer q'(x).
………
………
………
………
………
c. Compléter le tableau ci-dessous :
x -2 -1 0 1 2 3
u(x) …… …… …… …… …… ……
v(x) …… …… …… …… …… ……
u'(x) …… …… …… …… …… ……
v'(x) …… …… …… …… …… ……
u'(x) × v'(x) …… …… …… …… …… ……
(u'(x) × v(x)) + (u(x) × v'(x)) …… …… …… …… …… ……
q'(x) …… …… …… …… …… ……
d. Que peut-on conjecturer ?
………..
e. Compléter :
« Si q(x)=u(x) × v(x), alors q'(x)=………... ».
Cours n°3
Propriété n°4 : Opérations sur les fonctions dérivées
Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I commun. Soit k un nombre réel. Alors, les fonctions k×u et u + v sont aussi dérivables sur I et : 1) La fonction dérivée de k×u est …...
2) La fonction dérivée de u + v est …...…
3) La fonction dérivée de u × v est ………...
Exemple n°4 :
Si f(x)=3x4, alors f '(x)=... =... (k=.... et u(x)=...) Exemple n°5 :
Si g(x)=3x4– 2x3 + 3, alors
g'(x)=... =...
Exemple n°6 :
Si h(x)=3x4( 2x3 + 3), alors :
On pose u(x) = ……….. et v(x) = ………
Alors, u'(x) = ……… et v'(x)= ………..
Donc :
h'(x) = ...
h'(x) = ...……..
h'(x) = ...
h'(x) = ...……..
h'(x) = ...
h'(x) = ...……..
Interrogation n°3 Objectifs
C5.d_Niv1 :Savoir calculer la dérivée d'une fonction polynôme.
C5.e_Niv1 :Savoir calculer la dérivée d'une somme ou d'un produit de fonctions.
Exercice n°10 Ex.1 p.78 Exercice n°11
Ex.9 p.78 Exercice n°12
Ex.15 et 16 p.78 Exercice n°13
Ex.40 p.80 Exercice n°14
Ex.47 p.80
Cours n°4
II) Fonction dérivée et sens de variation d'une fonction
Propriété n°5 : signe de la dérivée => sens de variation Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I
● Si,pour tout nombre de I, ..., alors la fonction f est croissante sur I.
● Si, pour tout nombre de I, ..., alors la fonction f est décroissante sur I.
● Si, pour tout nombre de I, ..., alors la fonction est constante sur I. Exemple n°7
On reprend l'exemple n°5.
1. Démontrez que g'(x)=6x(2x² – 1) et étudiez son signe :
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...………...
2. En déduire le sens de variation de g et présentez l'ensemble des résultats sous la forme d'un tableau.
...
...
...………..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...…
3. g a-t-elle un maximum ou un minimum ?
...
...
...
...
Interrogation n°4 Objectifs
C5.f_Niv1 :Savoir étudier les variations d'une fonction.
Exercice n°15 Ex.64 p.81 Exercice n°16
Ex.67 p.81 Exercice n°17
Ex.61 p.81 Exercice n°18*
Ex.70 p.81 Exercice n°19*
Ex.77 p.82 Exercice n°20*
Ex.78 p.82 Exercice n°21*
Ex.72 p.82 Exercice n°22*
Ex.86 p.83 Exercice n°23*
Ex.87 p.83 Exercice n°24**
Ex.98 p.84 Exercice n°25**
Ex.99 p.84
Exercice n°26** (Préparation au bac) Sujet B P.92
Exercice n°27** (Préparation au bac) Sujet C p.93
Exercice n°28** (Préparation au bac) Sujet D p.93
Exercice n°29*** (Préparation au bac) Sujet A p.92
Indices ou résultats permettant de savoir si on a juste ou faux.
Ex.1 : Dans le désordre : 8;-3;9;-3;2;9;-6;-3 Ex.2 : (dans le désordre) : + si x>4
9 ; – si x> 1 ; + si x> –5
9 ; – si x>–3 .
Ex.3 : Dans le désordre : 6x – 3 ; 6x – 6 ; 6x – 9 ; – 4x + 6 ; – 6x – 1 ; – 8x + 8 ; 16x – 5 ; 14x + 1 . Ex.4 : Dans le désordre : – sur [ 5–√ 313
16 ;
5+√ 313
16 ] + sinon. ; + sur R. ; + sur [1;2], – sinon ; – sur R. ; – sur [–1;2], + sinon. ; – sur R. ; + sur R. ; – sur [1;2], + sinon.
Ex.5 : Dans le désordre : 1. + si x> 3
2 et – sinon ; – si x> –1
6 et + sinon ; – si x> 3 2 et + sinon ; + si x> – 1
14 et – sinon . 2. croissante si x> 3
2 et décroissante sinon ; décroissante si x>
–1
6 et croissante sinon ; décroissante si x> 3
2 et croissante sinon ; croissante si x> – 1 14 et décroissante sinon .
Ex.6 : le troisième.
Ex.7 : q1 B&D q3 A,B&D Ex.8 : q4 D q6 A&C Ex.9 : q7 B q8 A,C&D
Ex.10 : 1.n=2 et f '(x)=2x 2. n=7 et f '(x)=7x6 3. n=11 et f '(x)=11x10
Ex.11 : 1.u(x)=x et v(x)=2 ; u'(x)=1 et v'(x)=0 ; f '(x)=1 2.u(x)=x2 et v(x)=x ; u'(x)=2x et v'(x)=1 ; f '(x)=2x+1 3. f '(x)=3x2+2x
Ex.12 : ex15 f '(x)=5x4+3x2+1 ex16 f '(x)=6x5–10x4
Ex.13 : f(x)=-350u(x) avec u(x)=x2 ; u'(x)=2x et f '(x)=-700x – g '(x)=2
3 x – h'(x)=0,004x3
Ex.14 : 1. f(x)=x2+2x+1 et f '(x)=2x+2 2. f(x)=x2–2x–3 et f '(x)=2x–2 3. f(x)=100x2+100x–200 et f '(x)=200x+100
Ex.15 : f '(x)=-15x2+8x–1. f est décroissante sur ]–∞; 1 5 ]U[
1
3 ;+∞[ croissante sinon.
Ex.16 : f est croissante sur ℝ
Ex.17 : 1.a. f est croissante 1.b. f est constante 1.c. f est décroissante 2.
fonction affine...
Ex.18 : 1. f '(x)=x3–3x2–10x 2. -2 et 5 3. f ': [-5 ;-2] :-;[-2;0]:+;[0;5] :-;[5;7]:+ 4. f :[-5 ;-2]:décr.;[- 2;0]:croiss.;[0;5] :décroiss.;[5;7]:croiss. ; f(-5)=156,25 ;f(-2)=-8 ;f(0)=0 ;f(5)=-93,75 ;f(7)=12,25
Ex.19 : 1. f '(x)=4x3–24x2–28x 3.
4. max:28;min :-1025 Ex.20 : 1. f '(x)=4x3–24x2–28x 2.
3. min :-33;max:3
Ex.21 : 1. B et D 2.indic : d=... 3. A:a=2,b=3,c=4,d=5 B:a=1,b=1,c=1,d=0 C:a=-2,b=0,c=7,d=1 D:a=7,b=3,c=0,d=0 4. ALGOBOX :
Ex.22 : f '(x)=3x2–2. Une équation de la tangente : y=10x+17
Ex.23 : f '(x)=-4x3+4x–1. Une équation de la tangente : y=-x+1
Ex.24 : 1.
a. environ -1;0,5 et 1 1.b.
[-1;0,5]U[1;+∞[ 2.b.
Ex.24 : 1. b.]–
∞;3]2.b.
Ex.25 à 29 : non corrigés (demander en DM)
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.
Date : …...
Nom, prénom et classe :
…...
* Je veux repasser l'interrogation n°... du chap. n°...
* Je veux repasser le contrôle n°...
Travail fait en classe :
- Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ...
Travail à faire pour la prochaine fois :
- Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ...
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.
Date : …...
Nom, prénom et classe :
…...
* Je veux repasser l'interrogation n°... du chap. n°...
* Je veux repasser le contrôle n°...
Travail fait en classe :
- Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ...
Travail à faire pour la prochaine fois :
- Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ...
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.
Date : …...
Nom, prénom et classe :
…...
* Je veux repasser l'interrogation n°... du chap. n°...
* Je veux repasser le contrôle n°...
Travail fait en classe :
- Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ...
Travail à faire pour la prochaine fois :
- Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ...
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.
Date : …...
Nom, prénom et classe :
…...
* Je veux repasser l'interrogation n°... du chap. n°...
* Je veux repasser le contrôle n°...
Travail fait en classe :
- Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ...
Travail à faire pour la prochaine fois :
- Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ...
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.
Date : …...
Nom, prénom et classe :
…...
* Je veux repasser l'interrogation n°... du chap. n°...
* Je veux repasser le contrôle n°...
Travail fait en classe :
- Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ...
Travail à faire pour la prochaine fois :
- Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ...
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.
Date : …...
Nom, prénom et classe :
…...
* Je veux repasser l'interrogation n°... du chap. n°...
* Je veux repasser le contrôle n°...
Travail fait en classe :
- Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ...
Travail à faire pour la prochaine fois :
- Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ...
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.
Date : …...
Nom, prénom et classe :
…...
* Je veux repasser l'interrogation n°... du chap. n°...
* Je veux repasser le contrôle n°...
Travail fait en classe :
- Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ...
Travail à faire pour la prochaine fois :
- Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ...
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.
Date : …...
Nom, prénom et classe :
…...
* Je veux repasser l'interrogation n°... du chap. n°...
* Je veux repasser le contrôle n°...
Travail fait en classe :
- Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ...
Travail à faire pour la prochaine fois :
- Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ...
