Programme de colles MP2
Semaine 9 (28 novembre-2 d´ecembre 2016)
EVN (III), d´ erivation des fonctions vectorielles
Plan de cours
Caract´erisation de continuit´e des applications lin´eaires.
Compacit´e : d´efinition (propri´et´e de Bolzano-Weierstrass). Union finie compacts, produit fini de compacts.
Tout compact est ferm´e born´e. Caract´erisation de la convergence dans un compact (pas de d´emonstration).
Image continue d’un compact.
Caract´erisation des compacts en dimension finie.
Connexit´e par arcs. D´efinition, exemples, connexes deR. Image continue d’une partie connexe par arcs.
D´erivation des fonctions vectorielles (tous les evn consid´er´es sont de dimension finie).
D´erivation ponctuelle d’une fonction vectorielle : d´efinition, caract´erisation par l’existence d’un d´eveloppe- ment limit´e `a l’ordre 1, lien avec la continuit´e. D´erivabilit´e `a gauche, `a droite.
Combinaison lin´eaire de fonctions d´erivables, d´erivation et composition par une application lin´eaire, par une application bilin´eaire. Compos´ee d’applications d´erivables.
D´erivabilit´e globales : g´en´eralit´es.
D´eriv´ees successives : lin´earit´e de la d´erivation `a l’ordre k, formule de Leibniz, composition de fonctionsk fois d´erivables. Fonctions de classeCk : op´erations.
Exercices
Tout sur les EVN. D´erivation des fonctions vectorielles.
