8 - FONCTIONS A PLUSIEURS VARIABLES - Sujet 1

(1)

St. Joseph/ICAM Toulouse CB8 - 2020-2021 - Correction

CB n

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8 - FONCTIONS A PLUSIEURS VARIABLES - Sujet 1

Exercice 1

On considère la fonction f définie sur R² par :

f(x, y) =







xy(x²−y²)

x²+y² si (x, y)6= (0,0) 0 si (x, y) = (0,0)

.

1. Montrer que la fonction f est de classeC¹ surR².

On remarque tout d’abord que∀(x, y)∈R², f(x, y) =−f(y, x). On peut donc faire l’étude par rapport à une variable, l’autre se déduisant de cette antisymétrie.

D’après les théorèmes généraux, f est de classeC¹ surR²\ {(0,0)}, et pour (x, y)6= (0,0)on a :

∂f

∂x(x, y) = x⁴y+ 4x²y³−y⁵ (x²+y²)² En (0,0), on a : f(t,0)−f(0,0)

t = 0−→

t→0 0

On en déduit que f admet une dérivée partielle par rapport à sa première variable en (0,0) qui est nulle.

On a de plus, pour (x, y)∈R²\ {(0,0)}:

∂f

∂x(x, y)−∂f

∂x(0,0)

≤ x⁴y

+ 4 x²y³

+ y⁵

k(x, y)k² ≤ 6k(x, y)k⁵

k(x, y)k² ≤6k(x, y)k³ −→

(x,y)→(0,0)0 On en déduit que f est de classeC¹ surR².

2. La fonction f est-elle de classeC² surR²?

On a :

∂f

∂x(0, t)−^∂f_∂x(0,0)

t =−1−→

t→0 −1 . On en déduit que ∂²f

∂y∂x(0,0)existe et vaut −1.

L’antisymétrie donne par ailleurs ∂²f

∂x∂y(0,0)existe et vaut 1.

Ainsi, ∂²f

∂y∂x(0,0)6= ∂²f

∂x∂y(0,0), donc d’après le théorème de Schwarz,f n’est pas de classeC² surR². Exercice 2

Etudier les extrema locaux des fonctions suivantes définies surR², et préciser si les éventuels extrema sont globaux.

1. f(x, y) =x³+ 3xy²−15x+ 12y

f est de classe C² surR² comme fonction polynomiale en ses variables.

Ses points critiques sont : A₁= (2,−1), A₂ = (−1,2), A₃ = (1,−2), A₄ = (−2,1).

On a, pour tout (x, y)∈R²:H_f(x, y) =

6x 6y 6y 6x

.

det(H_f(A₁))>0 et tr(H_f(A₁))>0donc f admet un minimum local enA₁; det(Hf(A2))<0 doncA2 est un point col ;

det(H_f(A3))<0 doncA3 est un point col ;

det(H_f(A₄))>0 et tr(H_f(A₄))<0donc f admet un maximum local en A₄;

x→±∞lim f(x,0) =±∞ donc les extrema ne sont pas globaux.

Spé PT B Page 1 sur 4

(2)

2. g(x, y) =x²−x⁴+y⁴

Ses points critiques sont : A1= (0,0), A2= 1

√ 2,0

, A3=

− 1

√ 2,0

.

∀(x, y)∈R², f(x, y)−f(0,0) =x²(1−x²) +y⁴ donc pour tout y∈Ret pourx²≤1, f(x, y)−f(0,0)≥0.

On en déduit que f admet un minimum local en(0,0).

Par ailleurs, f(2,0) =−12< f(0,0)donc ce minimum n’est pas global.

∀(x, y)∈R², f

x+ 1

√ 2, y

−f 1

√ 2,0

=−(x⁴+ 2√

2x³+ 2x²) +y⁴. Ainsi, ∀y∈R^∗, f

1

√2, y

−f 1

√2,0

>0 et∀x∈R^∗+, f

x+ 1

√2,0

−f 1

√2,0

<0.

On en déduit que A₂ est un point col, de même queA₃ carf(A₂) =f(A₃).

Exercice 3

Résoudre sur R^∗₊2

l’équation aux dérivées partielles :

x∂f

∂x +y∂f

∂y =y,

à l’aide du changement de variable

u=x, v= y x

.

On pose f(x, y) =g(u, v); on a : ∂f

∂x = ∂g

∂u− y x²

∂g

∂v et ∂f

∂y = 1 x

∂g

∂v. Ainsi, après changement de variable l’équation devient :

u∂g

∂u =uv Comme x >0, on au >0 donc l’équation équivaut à

∂g

∂u =v On en déduit les solutions sur R^∗₊2

: (x, y)7→y+Ky

x

, où K est une fonction de classeC¹ surR^∗₊.

(3)

CB n

^◦

8 - FONCTIONS A PLUSIEURS VARIABLES - sujet 2

Exercice 1

On considère la fonction f définie sur R² par :

f(x, y) =







x³y−x²y²

x²+y² si (x, y)6= (0,0) 0 si (x, y) = (0,0)

.

1. Montrer que la fonction f est de classeC¹ surR².

D’après les théorèmes généraux, f est de classeC¹ surR²\ {(0,0)}, et pour (x, y)6= (0,0)on a :

∂f

∂x(x, y) = x⁴y+ 3x²y³−2xy⁴

(x²+y²)² et ∂f

∂y(x, y) = x⁵−2x⁴y−x³y² (x²+y²)² En (0,0), on a : f(0, t)−f(0,0)

t = 0−→

t→0 0 et f(t,0)−f(0,0)

t = 0−→

t→0 0

On en déduit que f admet des dérivées partielles par rapport à ses deux variables en (0,0) qui sont nulles.

On a de plus, pour (x, y)∈R²\ {(0,0)}:

∂f

∂x(x, y)−∂f

∂x(0,0)

≤ x⁴y

+ 3 x²y³

+ 2 xy⁴

k(x, y)k² ≤ 6k(x, y)k⁵

k(x, y)k² ≤6k(x, y)k³ −→

(x,y)→(0,0)0 et

∂f

∂y(x, y)−∂f

∂x(0,0)

≤ x⁵

+ 2 x⁴y

+ x³y²

k(x, y)k² ≤ 4k(x, y)k⁵

k(x, y)k² ≤4k(x, y)k³ −→

(x,y)→(0,0)0 On en déduit que f est de classeC¹ surR².

2. La fonction f est-elle de classeC² surR²?

On a :

∂f

∂x(0, t)−^∂f_∂x(0,0)

t = 0−→

t→0 0 . On en déduit que ∂²f

∂y∂x(0,0)existe et vaut0.

∂f

∂y(t,0)−^∂f_∂y(0,0)

t = 1−→

t→0 1 . On en déduit que ∂²f

∂x∂y(0,0)existe et vaut1.

Ainsi, ∂²f

∂y∂x(0,0)6= ∂²f

∂x∂y(0,0), donc d’après le théorème de Schwarz,f n’est pas de classeC² surR². Exercice 2

Etudier les extrema locaux des fonctions suivantes définies surR², et préciser si les éventuels extrema sont globaux.

1. f(x, y) =x³+y³+ 6x²−6y²

Ses points critiques sont : A₁= (0,0), A₂= (0,4), A₃ = (−4,0), A₄ = (−4,4).

On a, pour tout (x, y)∈R²:H_f(x, y) =

6x+ 12 0 0 6y−12

. det(H_f(A₁))<0 doncA₁ est un point col ;

det(Hf(A2))>0 et tr(Hf(A2))>0donc f admet un minimum local enA2; det(H_f(A₃))>0 et tr(H_f(A₃))<0donc f admet un maximum local en A₃; det(H_f(A₄))<0 doncA₄ est un point col ;

x→±∞lim f(x,0) =±∞ donc les extrema ne sont pas globaux.

(4)

2. g(x, y) =x³−x⁵+y⁴

Ses points critiques sont : A1= (0,0), A2= r3

5,0

!

, A3 = − r3

5,0

! .

∀(x, y)∈R², f(x, y)−f(0,0) =x³(1−x²) +y⁴ donc pourx∈]−1,0[, f(x,0)−f(0,0)<0et pour x∈]0,1[, f(x,0)−f(0,0)>0.

On en déduit que A1 est un point col.

∀(x, y)∈R², f x+ r3

5, y

!

−f r3

5,0

!

=−x⁵−√

15x⁴−5x³−3√ 15

5 x²+y⁴. Ainsi, ∀y∈R^∗, f

r3 5, y

!

−f r3

5,0

!

>0etf x+ r3

5,0

!

−f r3

5,0

!

x→0∼ −3√ 15

5 x² donc pour x proche de 0,f x+

r3 5,0

!

−f r3

5,0

!

<0.

On en déduit que A2 est un point col.

∀(x, y)∈R², f x− r3

5, y

!

−f − r3

5,0

!

=x² 3√ 15

5 −5x+√

15x²−x³

! +y⁴.

Ainsi, pourx suffisamment proche de 0, et pour touty,f x− r3

5, y

!

−f − r3

5,0

!

≥0.

On en déduit que f admet un minimum local enA3. Par ailleurs lim

x→+∞f(x,0) =−∞ donc le minimum n’est pas global.

Exercice 3 Résoudre sur R^∗+

2

l’équation aux dérivées partielles :

x∂f

∂x−y∂f

∂y =x+y, à l’aide du changement de variable (u=x−y, v=xy).

On pose f(x, y) =g(u, v); on a : ∂f

∂x = ∂g

∂u+y∂g

∂v et ∂f

∂y =−∂g

∂u+x∂g

∂v. Ainsi, après changement de variable l’équation devient :

(x+y)∂g

∂u =x+y Comme x+y >0, l’équation équivaut à

∂g

∂u = 1 On en déduit les solutions sur R^∗+

2

:

(x, y)7→x−y+K(xy), où K est une fonction de classeC¹ surR^∗₊.