mathématiques - S2
TD 2 : Fonctions de plusieurs variables
département Mesures Physiques - IUT1 - Grenobleexercices théoriques 1. Calculer les dérivées partielles des fonctions :
(a) E(U, r, R) = U(1 +r/R) (b) θ(x, y) = arctan(y/x)
2. Calculer toutes les dérivées d’ordre 2, puis les dérivées croisées d’ordre 3, de la fonctionz(x, y) =xcos(y)−ycos(x).
3. Montrer que l’on a ∂2r
∂x2 + ∂2r
∂y2 = 1/r.
4. On considèref(x, y) = x2 + ln(y)etF(r, θ) = f(rcosθ, rsinθ).
Calculer ∂F
∂r.
5. Déterminer les extrema des fonctions (a) f(x, y) =x2+y2+ 4xy+x (b) g(x, y) =x2−y2
6. On considère un pavé droit de côtésa,b,c, de volume 1.
Pour quelles valeurs dea,b,cla surface du pavé est-elle minimale ? exercices pratiques
1. On considère l’équation d’état d’un gaz(p+ n2a
V2)(V −nb) =nkBT. (a) Exprimerpen fonction deV etT, puis ∂p
∂T en fonction deV etT. (b) De même déterminer une expression de ∂T
∂V en fonction depetV. (c) Peut-on exprimerV en fonction depetT?
(d) En dérivant par rapport àpl’équation d’état, calculer ∂V
∂p en fonc- tion depetV.
(e) Que vaut le produit ∂p
∂T
∂T
∂V
∂V
∂p ?
2. On considère l’équation aux dérivées partielles∂2E
∂z2 = 1 c2
∂2E
∂t2 (équa- tion d’onde vérifiée par un champ électrique unidimensionnelE(z)).
(a) Montrer le principe de superposition : si E1 et E2 sont solutions, siαetβsont des réels quelconques,E =αE1+βE2aussi.
(b) Quelle relation doivent vérifier les constantes k, ω, ϕ pour que E(z, t) = cos(kz±ωt+ϕ)soit solution ?
3. déphasage, mode bi-courbe : sur un oscilloscope, deux signaux étant visualisés en mode bicourbe, on rappelle que leur déphasage est donné par ϕ = 2πt/T où t est la distance entre les maximum de chaque courbe etT représente la longueur d’une période.
Démontrer que l’incertitude relative sur la mesure du déphasage est u(ϕ)
ϕ = u T
s
1 + 4π2 ϕ2 ,
avecula valeur commune des incertitudesu(t)etu(T).
4. déphasage, mode XY : sur un oscilloscope, deux signaux étant vi- sualisés en modeXY, on rappelle que leur déphasage est donné par ϕ = arcsin(d/D)où d est la distance entre les deux intersections de l’ellipse avec l’axe des abscisses, etDla longueur occupé par l’ellipse.
Démontrer que
u(ϕ) ϕ = u
D
p1 + sin2(ϕ) ϕ|cos(ϕ)| ,
avecula valeur commune des incertitudesu(d)etu(D).
