td mp* : fonctions de plusieurs variables (d’après ens 2009)
NB : le corrigé utilise le théorème de Schwarz parfois sans trop le dire.
On munitX =Rn de sa structure euclidienne canonique : hu, vi=
n
X
i=1
uivi
On rappelle qu’une fonction F: X →R est convexe si et seulement si, pour tout u∈X, v ∈X, et t ∈[0,1], on a
F(tu+ (1−t)v)≤tF(u) + (1−t)F(v)
Si F est différentiable en u∈X, on note ∇F(u) le gradient de F en u.
1. SoitF: X →R une fonction continue telle queF(u)→+∞ si kuk →+∞.
(a) Montrer qu’il existe au moins un élémentudansX tel queF(u) = minv∈X F(v).
Topologie classique. . .Soit A tel que, par exemple, kuk ≥A =⇒ F(u)≥F(0X)
(on peut se permettre de noter0au lieu de0X). Sur la boule fermée B0(0X, A), compacte car fermée et bornée et X est de dimension finie, F, continue, atteint un minimum en u0. Par définition, si v ∈B0(0X, A),F(v)≥F(0X)≥F(u0), et siv 6∈B0(0X, A),F(v)≥ F(0X)≥F(u0). Donc F(u0) = min
v∈X F(v).
(b) Donner un exemple montrant que même siF est convexe l’élément u précédent n’est pas nécessairement unique.
Une fonction constante est convexe. . .
2. SoitF différentiable surX.
(a) On suppose F convexe. Si (u, v)∈X2 on définit sur [0,1] : φ : t 7→F(tu+ (1−t)v)
ψ : t7→tF(u) + (1−t)F(v)
Comparer φ0(0) et ψ0(0). En déduire
∀(u, v)∈X2 F(v)≥F(u) +h∇F(u), v−ui (1)
On a φ ≤ψ sur [0,1]. Et φ(0) =ψ(0). Et donc, si 0< t≤1, φ(t)−φ(0)
t ≤ ψ(t)−ψ(0) t
Prenant la limite quand t → 0, par conservation des inégalités larges à la limite,
φ0(0)≤ψ0(0)
Maisψ0(0) =F(u)−F(v), et comme composée det7→tu+(1−t)v, de classe C1 sur[0,1], parF différentiable, φ est différentiable sur [0,1]et
∀t ∈[0,1] φ0(t) =h∇F(tu+ (1−t)v), u−vi
ce qui donne en particulier
φ0(0) =h∇F(v), u−vi
On obtient donc
h∇F(v), u−vi ≤F(u)−F(v) qui est bien, en permutant u etv, l’inégalité attendue.
(b) Réciproquement, montrer que si pour tout (u, v) deX2 l’inégalité (1) est vérifiée, alorsF est convexe.
Indication (donnée dans l’énoncé ens 2009) : on pourra introduire le point w = u+t(v −u) pour t ∈ [0,1], et appliquer l’inégalité aux couples (w, u) et(w, v).
On peut suivre l’indication sans trop se poser de question. . . F(u)≥F(w)+h∇F(w), u−wi , F(v)≥F(w)+h∇F(w), v−wi Il est naturel de multiplier la première inégalité par 1−t, et la deuxième part, ce qui est autorisé puisquet et1−tsont ≥0. On ajoute, et on obtient alors après simplification
(1−t)F(u) +tF(v)≥F(tv+ (1−t)u
Comme c’est vrai pour tous u, v dans X et t ∈ [0,1], F est bien convexe.
3. On supposeF différentiable sur X. On rappelle qu’une condition né- cessaire pour que u puisse être un point de minimum de F est que
∇F(u) = 0.
(a) La condition nécessaire ∇F(u) = 0 est-elle en général suffisante pour que u soit un point de minimum de F ?
Quelle question...bien sûr que non ! exemple : x 7−→ x3 en 0. . .Si on n’aime pas les fonctions d’une seule variable, on peut prendre (x, y) 7−→ x3 +y3 en (0,0). . .et encore on aurait pu faire pire et prendre un point où une fonction atteindrait un maximum strict. . .
(b) Si on suppose de plus F convexe sur X, la condition nécessaire
∇F(u) = 0 est-elle suffisante ? D’après 2.(a), oui.
4. SoitF une fonction différentiable surX.
(a) Montrer que si F est convexe, alors pour tout (u, v) dans X2 on a :
h∇F(u)− ∇F(v), u−vi ≥0 (2)
On a vu l’inégalité (1) : F(v)≥ F(u) +h∇F(u), v −ui. d’où l’on tireh∇F(u), u−vi ≥F(u)−F(v). En permutantuetv on obtient h∇F(v), v−ui ≥F(v)−F(u). Et en ajoutant ces deux dernières relations on tombe sur (2).
(b) On suppose réciproquement que pour tout(u, v) deX2 l’inégalité (2) est vérifiée. On pose alors, pour t∈[0,1],
φ(t) = (1−t)F(u) +tF(v)−F((1−t)u+tv) .
Montrer que φ0 décroît sur [0,1], en déduire les variations de φ, puis montrer que F est convexe.
φ est dérivable C1, et
∀t ∈[0,1] φ0(t) =F(v)−F(u)− h∇F ((1−t)u+tv), v−ui Si 0≤s < t≤1, on peut écrire
φ0(s)−φ0(t) =h∇F ((1−t)u+tv), v−ui − h∇F ((1−s)u+sv), v−ui
=h∇F ((1−t)u+tv)− ∇F ((1−s)u+sv), v−ui Mais (1−t)u+tv−[(1−s)u+sv] = (t−s)(v −u). (2) permet donc de dire que φ0(s)−φ0(t)≥0.
On a donc bien φ0 décroissante. Comme φ(1) = φ(0) = 0, donc (théorème de Rolle) φ0 s’annule. Et donc φ0 est positive puis né- gative, donc φ croît puis décroît (faire un tableau de variations), donc φ ≥0, ce qui donne bien la convexité de F.
5. On suppose ici F de classe C2 surX, et on note∇2F(u) la matrice
∇2F(u) =
∂2F (u)
(a) Si (u, v)∈X2, si t∈[0,1], on définit f(t) =
n
X
i=1
(ui−vi) ∂F
∂xi(u)− ∂F
∂xi(tu+ (1−t)v)
Calculer f0(1) à l’aide des dérivées partielles secondes de F. Les ∂F
∂xi sont de classe C1, ce qui permet de dire que f est C1 et de la dériver : pour tout t∈[0,1],
f0(t) =−
n
X
i=1
(ui−vi)
n
X
j=1
(uj−vj)
∂ ∂F
∂xi
∂xj (tu+ (1−t)v)
=−
n
X
i=1 n
X
j=1
(ui−vi)(uj −vj) ∂2F
∂xj∂xi(tu+ (1−t)v)
!
D’où f0(1) en substituant u àtu+ (1−t)v.
(b) Montrer que si F est convexe, alors pour tous uet wdans X on a h∇2F(u)w, wi ≥0
Or
f(t) = hu−v,∇F(u)− ∇F(tu+ (1−t)v)i
Donc par (2), comme u−(tu+ (1−t)v) = (1−t)(u−v), f ≥0 sur ]0,1[, or f(1) = 0donc f0(1)≤0. Ce qui se traduit par
−hu−v,∇2F(u)(u−v)i ≤0
et il n’y a plus qu’à remplacer u−v par w.
(c) Montrer que la réciproque est vraie (on pourra calculer la dérivée seconde de la fonction φ définie à la question 4.).
Reprenons donc le φ de la question 4. Nous avons déjà calculé, pour tout t∈[0,1]:
φ0(t) =F(v)−F(u)−
n
X
i=1
(vi−ui)∂F
∂xi((1−t)u+tv)
et donc, en re-dérivant encore une fois : φ00(t) =−
n
X
i=1
"
(vi−ui)
n
X
j=1
(vj−uj) ∂2F
∂xj∂xi((1−t)u+tv)
#
=−hv−u,∇2F((1−t)u+tv)(v−u)i
Doncφ00≤0. Doncφ0décroît. . .ce qu’on sait utiliser pour conclure, cf 4.(b).
6. Soitλ≥0, f ∈X, et A ∈ Mn(R). On considère l’application Fλ:X →R définie par
Fλ(u) = kf−uk2+λkAuk2
Calculer, pouru∈X,∇Fλ(u)et∇2Fλ(u). Montrer queFλest convexe surX.
On détaille avec les composantes dans la base canonique : Fλ(u) =
n
X
k=1
(fk−uk)2 +λ
n
X
k=1
" n X
m=1
akmum
#2
Donc
∂F
∂xi(u) =−2(fi−ui) + 2λ
n
X
k=1
"
aki
n
X
m=1
akmum
#
et donc
∂2F
∂x2i (u) = 2 + 2λ
n
X
k=1
a2ki et, si i6=j,
∂2F
∂xj∂xi(u) = 2λ
n
X
k=1
akiakj
Donc ∇2F (u) = 2I + 2λtA A. On conclut alors assez facilement.
