td mp* : fonctions de plusieurs variables (d’après ens 2009)

td mp* : fonctions de plusieurs variables (d’après ens 2009)

On munitX =Rⁿ de sa structure euclidienne canonique :

hu, vi=

n

X

i=1

u_iv_i

On rappelle qu’une fonction F: X →R est convexe si et seulement si, pour tout u∈X, v ∈X, et t ∈[0,1], on a

F(tu+ (1−t)v)≤tF(u) + (1−t)F(v)

Si F est différentiable en u∈X, on note ∇F(u) le gradient de F en u.

1. SoitF: X →R une fonction continue telle queF(u)→+∞ si kuk →+∞.

(a) Montrer qu’il existe au moins un élémentudansX tel queF(u) = minv∈X F(v).

(b) Donner un exemple montrant que même siF est convexe l’élément u précédent n’est pas nécessairement unique.

2. SoitF différentiable surX.

(a) On suppose F convexe. Si (u, v)∈X² on définit sur [0,1] : φ : t 7→F(tu+ (1−t)v)

ψ : t7→tF(u) + (1−t)F(v)

Comparer φ⁰(0) et ψ⁰(0). En déduire

∀(u, v)∈X² F(v)≥F(u) +h∇F(u), v−ui (1)

1

(b) Réciproquement, montrer que si pour tout (u, v) deX² l’inégalité (1) est vérifiée, alorsF est convexe.

Indication (donnée dans l’énoncé ens 2009) : on pourra introduire le point w = u+t(v −u) pour t ∈ [0,1], et appliquer l’inégalité aux couples (w, u) et(w, v).

3. On supposeF différentiable sur X. On rappelle qu’une condition né- cessaire pour que u puisse être un point de minimum de F est que

∇F(u) = 0.

(a) La condition nécessaire ∇F(u) = 0 est-elle en général suffisante pour que u soit un point de minimum de F ?

(b) Si on suppose de plus F convexe sur X, la condition nécessaire

∇F(u) = 0 est-elle suffisante ?

4. SoitF une fonction différentiable surX.

(a) Montrer que si F est convexe, alors pour tout (u, v) dans X² on a :

h∇F(u)− ∇F(v), u−vi ≥0 (2) (b) On suppose réciproquement que pour tout(u, v) deX² l’inégalité

(2) est vérifiée. On pose alors, pour t∈[0,1], φ(t) = (1−t)F(u) +tF(v)−F((1−t)u+tv) .

Montrer que φ⁰ décroît sur [0,1], en déduire les variations de φ, puis montrer que F est convexe.

5. On suppose ici F de classe C² surX, et on note∇²F(u) la matrice

∇²F(u) =

∂²F

∂x_j∂x_i(u)

1≤i,j≤n

(a) Si (u, v)∈X², si t∈[0,1], on définit

f(t) =

n

X

i=1

(u_i−v_i) ∂F

∂x_i(u)− ∂F

∂x_i(tu+ (1−t)v)

Calculer f⁰(1) à l’aide des dérivées partielles secondes de F. (b) Montrer que si F est convexe, alors pour tous uet wdans X on a

h∇²F(u)w, wi ≥0 2

(c) Montrer que la réciproque est vraie (on pourra calculer la dérivée seconde de la fonction φ définie à la question 4.).

6. Soitλ≥0, f ∈X, et A ∈ M_n(R). On considère l’application F_λ:X →R définie par

F_λ(u) = kf−uk²+λkAuk²

Calculer, pouru∈X,∇F_λ(u)et∇²F_λ(u). Montrer queF_λest convexe surX.

7. Question subsidiaire indépendante de ce qui précède (oral ens) : Soit g une application de R^d (d ≥ 1) dans R, de classe C². On suppose que g atteint un minimum local en x₀. Montrer que∇²g(x₀) a toutes ses valeurs propres dans R⁺.

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