Chapitre 2 Dénition de la logique propositionnelle Cours 2 Syntaxe de la logique propositionnelle et preuves par induction

Chapitre 2

Dénition de la logique propositionnelle Cours 2

Syntaxe de la logique propositionnelle et preuves

par induction

Chapitre 2 Dénition de la logique propositionnelle Cours 2 Syntaxe de la logique propositionnelle et preuves par induction Dénition de la logique propositionnelle

Contenu de ce chapitre

I Syntaxe de la logique propositionnelle

I Dénitions inductives

I Preuves par induction

I Sémantique de la logique propositionnelle

I Dénition de fonctions par récurrence

I Algorithmique de la logique propositionnelle (première approche)

Contenu de ce chapitre

I Syntaxe de la logique propositionnelle

I Dénitions inductives

I Preuves par induction

I Sémantique de la logique propositionnelle

I Dénition de fonctions par récurrence

I Algorithmique de la logique propositionnelle (première approche)

Chapitre 2 Dénition de la logique propositionnelle Cours 2 Syntaxe de la logique propositionnelle et preuves par induction Dénition de la logique propositionnelle

Contenu de ce chapitre

I Syntaxe de la logique propositionnelle

I Dénitions inductives

I Preuves par induction

I Sémantique de la logique propositionnelle

I Dénition de fonctions par récurrence

I Algorithmique de la logique propositionnelle (première approche)

Vers une dénition de la syntaxe

Première Idée

On dénit les formules selon les diérents cas de leur forme.

Une formule propositionnelle

I peut être une variable propositionnelle

I ¬p, où p est une formule

I (p∧q), où p et q sont des formules

I (p∨q), où p et q sont des formules Une précision importante :

Seulement les chaînes de caractères ainsi formées sont des formules.

Chapitre 2 Dénition de la logique propositionnelle Cours 2 Syntaxe de la logique propositionnelle et preuves par induction Syntaxe des formules propositionnelles

Vers une dénition de la syntaxe

Première Idée

On dénit les formules selon les diérents cas de leur forme.

Une formule propositionnelle

I peut être une variable propositionnelle

I ¬p, où p est une formule

I (p∧q), où p et q sont des formules

I (p∨q), où p et q sont des formules Une précision importante :

Seulement les chaînes de caractères ainsi formées sont des formules.

Vers une dénition de la syntaxe

Première Idée

On dénit les formules selon les diérents cas de leur forme.

Une formule propositionnelle

I peut être une variable propositionnelle

I ¬p, où p est une formule

I (p∧q), où p et q sont des formules

I (p∨q), où p et q sont des formules Une précision importante :

Seulement les chaînes de caractères ainsi formées sont des formules.

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Exemples de formules propositionnelles

Sont des formules :

I x (car variable propositionnelle)

I ¬x (car négation d'une formule)

I y (car variable propositionnelle)

I (¬x∧y) (car conjonction de deux formules) Ne sontpas des formules (dans le sens stricte) :

I ((x

I x ∨y

Exemples de formules propositionnelles

Sont des formules :

I x (car variable propositionnelle)

I ¬x (car négation d'une formule)

I y (car variable propositionnelle)

I (¬x∧y) (car conjonction de deux formules) Ne sontpas des formules (dans le sens stricte) :

I ((x

I x ∨y

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Exemples de formules propositionnelles

Sont des formules :

I x (car variable propositionnelle)

I ¬x (car négation d'une formule)

I y (car variable propositionnelle)

I (¬x∧y) (car conjonction de deux formules) Ne sontpas des formules (dans le sens stricte) :

I ((x

I x ∨y

Exemples de formules propositionnelles

Sont des formules :

I x (car variable propositionnelle)

I ¬x (car négation d'une formule)

I y (car variable propositionnelle)

I (¬x∧y) (car conjonction de deux formules) Ne sontpas des formules (dans le sens stricte) :

I ((x

I x ∨y

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Exemples de formules propositionnelles

Sont des formules :

I x (car variable propositionnelle)

I ¬x (car négation d'une formule)

I y (car variable propositionnelle)

I (¬x∧y) (car conjonction de deux formules) Ne sontpas des formules (dans le sens stricte) :

I ((x

I x ∨y

Exemples de formules propositionnelles

Sont des formules :

I x (car variable propositionnelle)

I ¬x (car négation d'une formule)

I y (car variable propositionnelle)

I (¬x∧y) (car conjonction de deux formules) Ne sontpas des formules (dans le sens stricte) :

I ((x

I x ∨y

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Exemples de formules propositionnelles

Sont des formules :

I x (car variable propositionnelle)

I ¬x (car négation d'une formule)

I y (car variable propositionnelle)

I (¬x∧y) (car conjonction de deux formules) Ne sontpas des formules (dans le sens stricte) :

I ((x

I x ∨y

Les variables propositionnelles

On choisit d'abord un ensemble de variables propositionnelles : V :={x,x1,x2,x3, . . . ,y,y1,y2, . . . ,z,z1,z2,z3, . . .}

Nous admettons également les décorations habituelles des variables propositionnelles comme par exemple x⁰, y⁰⁰.

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Tentative de dénition

L'ensemble Form des formules propositionnelles est déni comme l'ensemble de chaînes de caractères tel que :

1. V ⊆Form

2. Si p∈Form alors¬p ∈Form 3. Si p,q∈Form alors (p∧q)∈Form 4. Si p,q∈Form alors (p∨q)∈Form

Nous appelons ces quatre conditions (1) - (4) lespropriétés de clôture des formules propositionnelles.

Le problème de la tentative de dénition

Il y a plusieurs ensembles Form qui satisfont la description :

I L'ensembleE₁ des formules propositionnelles dans le sens de la description informelle au-dessus.

I L'ensembleE₂ de toutes les chaînes de caractères qui ont le même nombre de ( que de ) .

Mais cet ensemble contient aussi la chaîne ()() .

I L'ensembleE₃ de toutes les chaînes de caractères.

Cet ensemble contient aussi la chaîne (( . Nous avons E₁ ⊆E₂⊆E₃.

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Le problème de la tentative de dénition

Il y a plusieurs ensembles Form qui satisfont la description :

I L'ensembleE₁ des formules propositionnelles dans le sens de la description informelle au-dessus.

I L'ensembleE₂ de toutes les chaînes de caractères qui ont le même nombre de ( que de ) .

Mais cet ensemble contient aussi la chaîne ()() .

I L'ensembleE₃ de toutes les chaînes de caractères.

Cet ensemble contient aussi la chaîne (( . Nous avons E₁ ⊆E₂⊆E₃.

Le problème de la tentative de dénition

Il y a plusieurs ensembles Form qui satisfont la description :

I L'ensembleE₁ des formules propositionnelles dans le sens de la description informelle au-dessus.

I L'ensembleE₂ de toutes les chaînes de caractères qui ont le même nombre de ( que de ) .

Mais cet ensemble contient aussi la chaîne ()() .

I L'ensembleE₃ de toutes les chaînes de caractères.

Cet ensemble contient aussi la chaîne (( . Nous avons E₁ ⊆E₂⊆E₃.

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Le problème de la tentative de dénition

Il y a plusieurs ensembles Form qui satisfont la description :

I L'ensembleE₁ des formules propositionnelles dans le sens de la description informelle au-dessus.

I L'ensembleE₂ de toutes les chaînes de caractères qui ont le même nombre de ( que de ) .

Mais cet ensemble contient aussi la chaîne ()() .

I L'ensembleE₃ de toutes les chaînes de caractères.

Cet ensemble contient aussi la chaîne (( . Nous avons E₁ ⊆E₂⊆E₃.

La racine du problème

Notre tentative de dénition prend en compte

I le cas de base (les variables propositionnelles)

I et les constructions autorisées (¬,∧,∨)

mais ne prend absolument pas en compte la restriction qu'une chaîne qui ne peut pas être construite selon les règles précédentes n'est pas une formule.

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La bonne dénition

Denition

L'ensemble Form des formules propositionnelles estle plus petit ensemblede chaînes de caractères tel que :

1. V ⊆Form

2. Si p∈Form alors¬p ∈Form 3. Si p,q∈Form alors (p∧q)∈Form 4. Si p,q∈Form alors (p∨q)∈Form

Dénitions inductives

Le principe

I On a certaines propriétés de clôture(ici : les quatre propriétés de clôture des formules propositionnelles)

I On dénit un ensemble (ici : Form) comme étant le plus petit ensemble ayant ces propriétés de clôture.

Qu'est-ce que c'est le plus petit ensemble ?

Si un ensemble X satisfait toutes les propriétés de clôture des formules propositionnelles, alors Form⊆X .

As-t-on le droit d'écrire une telle dénition ?

1. Est-ce qu'il existe eectivement (au moins) un tel plus petit ensemble ?

2. Cet ensemble, est-il unique ?

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Dénitions inductives

Le principe

I On a certaines propriétés de clôture(ici : les quatre propriétés de clôture des formules propositionnelles)

I On dénit un ensemble (ici : Form) comme étant le plus petit ensemble ayant ces propriétés de clôture.

Qu'est-ce que c'est le plus petit ensemble ?

Si un ensemble X satisfait toutes les propriétés de clôture des formules propositionnelles, alors Form⊆X .

As-t-on le droit d'écrire une telle dénition ?

1. Est-ce qu'il existe eectivement (au moins) un tel plus petit ensemble ?

2. Cet ensemble, est-il unique ?

Dénitions inductives

Le principe

I On a certaines propriétés de clôture(ici : les quatre propriétés de clôture des formules propositionnelles)

I On dénit un ensemble (ici : Form) comme étant le plus petit ensemble ayant ces propriétés de clôture.

Qu'est-ce que c'est le plus petit ensemble ?

Si un ensemble X satisfait toutes les propriétés de clôture des formules propositionnelles, alors Form⊆X .

As-t-on le droit d'écrire une telle dénition ?

1. Est-ce qu'il existe eectivement (au moins) un tel plus petit ensemble ?

2. Cet ensemble, est-il unique ?

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Existence d'un plus petit ensemble

I A priori, il n'est pas évident qu'il existe un plus petit ensemble avec une certaine propriété donnée.

I Exemple : le plus petit ensemble d'entiers qui contient au moins deux éléments ?

I Ensembles {0,1} et {2,3}

I Dans notre cas, il y a un plus petit ensemble (mais on ne va pas le montrer).

I En bref : c'est dû au fait qu'il s'agit ici de propriétés de clôture.

Existence d'un plus petit ensemble

I A priori, il n'est pas évident qu'il existe un plus petit ensemble avec une certaine propriété donnée.

I Exemple : le plus petit ensemble d'entiers qui contient au moins deux éléments ?

I Ensembles {0,1} et {2,3}

I Dans notre cas, il y a un plus petit ensemble (mais on ne va pas le montrer).

I En bref : c'est dû au fait qu'il s'agit ici de propriétés de clôture.

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Existence d'un plus petit ensemble

I A priori, il n'est pas évident qu'il existe un plus petit ensemble avec une certaine propriété donnée.

I Exemple : le plus petit ensemble d'entiers qui contient au moins deux éléments ?

I Ensembles {0,1} et {2,3}

I Dans notre cas, il y a un plus petit ensemble (mais on ne va pas le montrer).

I En bref : c'est dû au fait qu'il s'agit ici de propriétés de clôture.

Existence d'un plus petit ensemble

I A priori, il n'est pas évident qu'il existe un plus petit ensemble avec une certaine propriété donnée.

I Exemple : le plus petit ensemble d'entiers qui contient au moins deux éléments ?

I Ensembles {0,1} et {2,3}

I Dans notre cas, il y a un plus petit ensemble (mais on ne va pas le montrer).

I En bref : c'est dû au fait qu'il s'agit ici de propriétés de clôture.

Chapitre 2 Dénition de la logique propositionnelle Cours 2 Syntaxe de la logique propositionnelle et preuves par induction Syntaxe des formules propositionnelles

Existence d'un plus petit ensemble

I A priori, il n'est pas évident qu'il existe un plus petit ensemble avec une certaine propriété donnée.

I Exemple : le plus petit ensemble d'entiers qui contient au moins deux éléments ?

I Ensembles {0,1} et {2,3}

I Dans notre cas, il y a un plus petit ensemble (mais on ne va pas le montrer).

I En bref : c'est dû au fait qu'il s'agit ici de propriétés de clôture.

Unicité du plus petit ensemble

I Supposons que E₁ et E₂ sont des plus petits ensembles avec une propriété donnée.

I Donc, E₁ ⊆E₂

I et aussi E₂ ⊆E₁

I Conséquence : E₁ =E₂

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Unicité du plus petit ensemble

I Supposons que E₁ et E₂ sont des plus petits ensembles avec une propriété donnée.

I Donc, E₁ ⊆E₂

I et aussi E₂ ⊆E₁

I Conséquence : E₁ =E₂

Unicité du plus petit ensemble

I Supposons que E₁ et E₂ sont des plus petits ensembles avec une propriété donnée.

I Donc, E₁ ⊆E₂

I et aussi E₂ ⊆E₁

I Conséquence : E₁ =E₂

Chapitre 2 Dénition de la logique propositionnelle Cours 2 Syntaxe de la logique propositionnelle et preuves par induction Syntaxe des formules propositionnelles

Unicité du plus petit ensemble

I Supposons que E₁ et E₂ sont des plus petits ensembles avec une propriété donnée.

I Donc, E₁ ⊆E₂

I et aussi E₂ ⊆E₁

I Conséquence : E₁ =E₂

Dénitions inductive

I Notre dénition de la syntaxe de la logique propositionnelle est une dénition inductive.

I On verra d'autres exemples de dénitions inductives.

I Ici on ne s'intéresse pas à étudier les dénition inductives en général, il sut de dire qu'elles sont toujours de la forme le plus petit ensemble qui satisfait certaines propriétés de clôture.

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Dénitions inductive

I Notre dénition de la syntaxe de la logique propositionnelle est une dénition inductive.

I On verra d'autres exemples de dénitions inductives.

I Ici on ne s'intéresse pas à étudier les dénition inductives en général, il sut de dire qu'elles sont toujours de la forme le plus petit ensemble qui satisfait certaines propriétés de clôture.

Dénitions inductive

I Notre dénition de la syntaxe de la logique propositionnelle est une dénition inductive.

I On verra d'autres exemples de dénitions inductives.

I Ici on ne s'intéresse pas à étudier les dénition inductives en général, il sut de dire qu'elles sont toujours de la forme le plus petit ensemble qui satisfait certaines propriétés de clôture.

Chapitre 2 Dénition de la logique propositionnelle Cours 2 Syntaxe de la logique propositionnelle et preuves par induction Syntaxe des formules propositionnelles

Syntaxe Abstraite

Syntaxe abstraite de(x ∧(y ∨ ¬z)):

∧

x ∨

y ¬

z Structure de la formule.

Encodage de l'implication

On peut encoder l'implication de la manière suivante:

(p⇒q) := (¬p∨q)

(p⇔q) := ((p ⇒q)∧(q⇒p)) On l'utilisera comme suit:

si p alors q (p ⇒q)

q si p (p ⇒q)

q seulement si p (p ⇐q) ou (q ⇒p) seulement si p q (p ⇐q) ou (q ⇒p) q uniquement si p (p ⇐q) ou (q ⇒p) uniquement si p q (p ⇐q) ou (q ⇒p) q si et seulement si p (p ⇔q)

Chapitre 2 Dénition de la logique propositionnelle Cours 2 Syntaxe de la logique propositionnelle et preuves par induction Preuves par induction

Preuves par induction : Un exemple

Théorème : Toute formule propositionnelle a le même nombre de parenthèses ouvrantes que de parenthèses fermantes.

Notation

I |w|₍ dénote le nombre de parenthèses ouvrantes de w.

I |w|₎ dénote le nombre de parenthèses fermantes de w.

I Par exemple, |(x ∧y)|₍=1

I Pareil pour des autres symboles : |w|_¬, etc.

À montrer : pour tout w ∈Form, |w|₍=|w|₎.

Chapitre 2 Dénition de la logique propositionnelle Cours 2 Syntaxe de la logique propositionnelle et preuves par induction Preuves par induction

Notation

I |w|₍ dénote le nombre de parenthèses ouvrantes de w.

I |w|₎ dénote le nombre de parenthèses fermantes de w.

I Par exemple, |(x ∧y)|₍=1

I Pareil pour des autres symboles : |w|_¬, etc.

À montrer : pour tout w ∈Form, |w|₍=|w|₎.

Notation

I |w|₍ dénote le nombre de parenthèses ouvrantes de w.

I |w|₎ dénote le nombre de parenthèses fermantes de w.

I Par exemple, |(x ∧y)|₍=1

I Pareil pour des autres symboles : |w|_¬, etc.

À montrer : pour tout w ∈Form, |w|₍=|w|₎.

Chapitre 2 Dénition de la logique propositionnelle Cours 2 Syntaxe de la logique propositionnelle et preuves par induction Preuves par induction

Notation

I |w|₍ dénote le nombre de parenthèses ouvrantes de w.

I |w|₎ dénote le nombre de parenthèses fermantes de w.

I Par exemple, |(x ∧y)|₍=1

I Pareil pour des autres symboles : |w|_¬, etc.

À montrer : pour tout w ∈Form, |w|₍=|w|₎.

Notation

I |w|₍ dénote le nombre de parenthèses ouvrantes de w.

I |w|₎ dénote le nombre de parenthèses fermantes de w.

I Par exemple, |(x ∧y)|₍=1

I Pareil pour des autres symboles : |w|_¬, etc.

À montrer : pour tout w ∈Form, |w|₍=|w|₎.

Chapitre 2 Dénition de la logique propositionnelle Cours 2 Syntaxe de la logique propositionnelle et preuves par induction Preuves par induction

Le principe d'une preuve par induction structurelle

Le principe est illustré ici sur l'exemple des formules propositionnelles :

Théorème : Soit P une propriété sur les chaînes de caractères.

Supposons que P vérie les énoncés de clôture suivants :

I tout élément de V a la propriété P,

I si p satisfait P alors ¬p satisfait P,

I si p et q satisfont P alors(p∧q) satisfait P,

I si p et q satisfont P alors(p∨q) satisfait P, Alors tous les éléments de Form satisfont P.

Exemple de propriété P : avoir le même nombre de(que de ).

Comment rédiger une preuve par induction structurelle ?

À montrer :

pour tout w ∈Form, |w|₍=|w|₎. (1) Cas des variables :

À montrer : |w|₍ =|w|₎ pour tout w ∈V . Démonstration :

Si w ∈V alors|w|₍=0 et|w|₎ =0, donc|w|₍ =|w|₎.

Chapitre 2 Dénition de la logique propositionnelle Cours 2 Syntaxe de la logique propositionnelle et preuves par induction Preuves par induction

Comment rédiger une preuve par induction structurelle ?

À montrer :

pour tout w ∈Form, |w|₍=|w|₎. (1) Cas des variables :

À montrer : |w|₍ =|w|₎ pour tout w ∈V . Démonstration :

Si w ∈V alors|w|₍=0 et|w|₎ =0, donc|w|₍ =|w|₎.

Comment rédiger une preuve par induction structurelle ?

À montrer :

pour tout w ∈Form, |w|₍=|w|₎. (1) Cas des variables :

À montrer : |w|₍ =|w|₎ pour tout w ∈V . Démonstration :

Si w ∈V alors|w|₍=0 et|w|₎ =0, donc|w|₍ =|w|₎.

Chapitre 2 Dénition de la logique propositionnelle Cours 2 Syntaxe de la logique propositionnelle et preuves par induction Preuves par induction

Rédaction d'une preuve par induction (2)

(2) Cas de la négation :

Soit p∈Form. Hypothèse d'induction : |p|₍=|p|₎. À montrer : |¬p|₍ =|¬p|₎.

Démonstration :

|¬p|₍ = |p|₍ par dénition| · |₍

= |p|₎ par hypothèse d'induction

= |¬p|₎ par dénition| · |₎

Rédaction d'une preuve par induction (2)

(2) Cas de la négation :

Soit p∈Form. Hypothèse d'induction : |p|₍=|p|₎. À montrer : |¬p|₍ =|¬p|₎.

Démonstration :

|¬p|₍ = |p|₍ par dénition| · |₍

= |p|₎ par hypothèse d'induction

= |¬p|₎ par dénition| · |₎

Chapitre 2 Dénition de la logique propositionnelle Cours 2 Syntaxe de la logique propositionnelle et preuves par induction Preuves par induction

Rédaction d'une preuve par induction (2)

(2) Cas de la négation :

Soit p∈Form. Hypothèse d'induction : |p|₍=|p|₎. À montrer : |¬p|₍ =|¬p|₎.

Démonstration :

|¬p|₍ = |p|₍ par dénition| · |₍

= |p|₎ par hypothèse d'induction

= |¬p|₎ par dénition| · |₎

Rédaction d'une preuve par induction (2)

(2) Cas de la négation :

Soit p∈Form. Hypothèse d'induction : |p|₍=|p|₎. À montrer : |¬p|₍ =|¬p|₎.

Démonstration :

|¬p|₍ = |p|₍ par dénition| · |₍

= |p|₎ par hypothèse d'induction

= |¬p|₎ par dénition| · |₎

Chapitre 2 Dénition de la logique propositionnelle Cours 2 Syntaxe de la logique propositionnelle et preuves par induction Preuves par induction

Rédaction d'une preuve par induction (2)

(2) Cas de la négation :

Soit p∈Form. Hypothèse d'induction : |p|₍=|p|₎. À montrer : |¬p|₍ =|¬p|₎.

Démonstration :

|¬p|₍ = |p|₍ par dénition| · |₍

= |p|₎ par hypothèse d'induction

= |¬p|₎ par dénition| · |₎

Rédaction d'une preuve par induction (3)

(3) Cas de la conjonction : Soient p,q∈Form.

Hypothèse d'induction : |p|₍=|p|₎ et|q|₍ =|q|₎ À montrer : |(p∧q)|₍ =|(p∧q)|)

Démonstration :

|(p∧q)|( = 1+|p|₍+|q|₍ par dénition| · |₍

= |p|₎+|q|₎+1 par hypothèse d'induction

= |(p∧q)|) par dénition| · |₎

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Rédaction d'une preuve par induction (3)

(3) Cas de la conjonction : Soient p,q∈Form.

Hypothèse d'induction : |p|₍=|p|₎ et|q|₍ =|q|₎ À montrer : |(p∧q)|₍ =|(p∧q)|)

Démonstration :

|(p∧q)|( = 1+|p|₍+|q|₍ par dénition| · |₍

= |p|₎+|q|₎+1 par hypothèse d'induction

= |(p∧q)|) par dénition| · |₎

Rédaction d'une preuve par induction (3)

(3) Cas de la conjonction : Soient p,q∈Form.

Hypothèse d'induction : |p|₍=|p|₎ et|q|₍ =|q|₎ À montrer : |(p∧q)|₍ =|(p∧q)|)

Démonstration :

|(p∧q)|( = 1+|p|₍+|q|₍ par dénition| · |₍

= |p|₎+|q|₎+1 par hypothèse d'induction

= |(p∧q)|) par dénition| · |₎

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Rédaction d'une preuve par induction (3)

(3) Cas de la conjonction : Soient p,q∈Form.

Hypothèse d'induction : |p|₍=|p|₎ et|q|₍ =|q|₎ À montrer : |(p∧q)|₍ =|(p∧q)|)

Démonstration :

|(p∧q)|( = 1+|p|₍+|q|₍ par dénition| · |₍

= |p|₎+|q|₎+1 par hypothèse d'induction

= |(p∧q)|) par dénition| · |₎

Rédaction d'une preuve par induction (3)

(3) Cas de la conjonction : Soient p,q∈Form.

Hypothèse d'induction : |p|₍=|p|₎ et|q|₍ =|q|₎ À montrer : |(p∧q)|₍ =|(p∧q)|)

Démonstration :

|(p∧q)|( = 1+|p|₍+|q|₍ par dénition| · |₍

= |p|₎+|q|₎+1 par hypothèse d'induction

= |(p∧q)|) par dénition| · |₎

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Rédaction d'une preuve par induction (4)

(4) Cas de la disjonction : Soient p,q∈Form.

Hypothèse d'induction : |p|₍=|p|₎ et|q|₍ =|q|₎ À montrer : |(p∨q)|₍ =|(p∨q)|)

Démonstration :

|(p∨q)|( = 1+|p|₍+|q|₍ par dénition| · |₍

= |p|₎+|q|₎+1 par hypothèse d'induction

= |(p∨q)|) par dénition| · |₎

Rédaction d'une preuve par induction (4)

(4) Cas de la disjonction : Soient p,q∈Form.

Hypothèse d'induction : |p|₍=|p|₎ et|q|₍ =|q|₎ À montrer : |(p∨q)|₍ =|(p∨q)|)

Démonstration :

|(p∨q)|( = 1+|p|₍+|q|₍ par dénition| · |₍

= |p|₎+|q|₎+1 par hypothèse d'induction

= |(p∨q)|) par dénition| · |₎

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Rédaction d'une preuve par induction (4)

(4) Cas de la disjonction : Soient p,q∈Form.

Hypothèse d'induction : |p|₍=|p|₎ et|q|₍ =|q|₎ À montrer : |(p∨q)|₍ =|(p∨q)|)

Démonstration :

|(p∨q)|( = 1+|p|₍+|q|₍ par dénition| · |₍

= |p|₎+|q|₎+1 par hypothèse d'induction

= |(p∨q)|) par dénition| · |₎

Rédaction d'une preuve par induction (4)

(4) Cas de la disjonction : Soient p,q∈Form.

Hypothèse d'induction : |p|₍=|p|₎ et|q|₍ =|q|₎ À montrer : |(p∨q)|₍ =|(p∨q)|)

Démonstration :

|(p∨q)|( = 1+|p|₍+|q|₍ par dénition| · |₍

= |p|₎+|q|₎+1 par hypothèse d'induction

= |(p∨q)|) par dénition| · |₎

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Rédaction d'une preuve par induction (4)

(4) Cas de la disjonction : Soient p,q∈Form.

Hypothèse d'induction : |p|₍=|p|₎ et|q|₍ =|q|₎ À montrer : |(p∨q)|₍ =|(p∨q)|)

Démonstration :

|(p∨q)|( = 1+|p|₍+|q|₍ par dénition| · |₍

= |p|₎+|q|₎+1 par hypothèse d'induction

= |(p∨q)|) par dénition| · |₎

Remarques

I On utilise le théorème sur le principe des preuves par induction structurelle.

I Toujours dire clairement quelles sont les hypothèses, et qu'est-ce qu'il faut montrer.

I Justier les étapes du raisonnement.

I Parfois (mais pas toujours !) ,le cas ∨et le cas ∧sont très similaires.

Chapitre 2 Dénition de la logique propositionnelle Cours 2 Syntaxe de la logique propositionnelle et preuves par induction Preuves par induction

Remarques

I On utilise le théorème sur le principe des preuves par induction structurelle.

I Toujours dire clairement quelles sont les hypothèses, et qu'est-ce qu'il faut montrer.

I Justier les étapes du raisonnement.

I Parfois (mais pas toujours !) ,le cas ∨et le cas ∧sont très similaires.

Remarques

I On utilise le théorème sur le principe des preuves par induction structurelle.

I Toujours dire clairement quelles sont les hypothèses, et qu'est-ce qu'il faut montrer.

I Justier les étapes du raisonnement.

I Parfois (mais pas toujours !) ,le cas ∨et le cas ∧sont très similaires.

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Remarques

I On utilise le théorème sur le principe des preuves par induction structurelle.

I Toujours dire clairement quelles sont les hypothèses, et qu'est-ce qu'il faut montrer.

I Justier les étapes du raisonnement.

I Parfois (mais pas toujours !) ,le cas ∨et le cas ∧sont très similaires.

Retour au théorème

Théorème : Soit P une propriété sur les chaînes de caractères.

Supposons que P vérie les énoncés de clôture suivants :

I tout élément de V a la propriété P,

I si p satisfait P alors ¬p satisfait P,

I si p et q satisfont P alors(p∧q) satisfait P,

I si p et q satisfont P alors(p∨q) satisfait P, Alors tous les éléments de Form satisfont P.

Chapitre 2 Dénition de la logique propositionnelle Cours 2 Syntaxe de la logique propositionnelle et preuves par induction Preuves par induction

Démonstration

I Soit X l'ensemble de toutes les chaînes de caractères avec la propriété P.

I On remarque donc que l'ensemble X satisfait les propriétés de clôture des formules propositionnelles (par l'hypothèse du théorème).

I Donc Form⊆X car Form est le plus petit ensemble de chaînes de caractères qui satisfait ces propriétés.

I Autrement dit, tout élément de Form a la propriété P.

Démonstration

I Soit X l'ensemble de toutes les chaînes de caractères avec la propriété P.

I On remarque donc que l'ensemble X satisfait les propriétés de clôture des formules propositionnelles (par l'hypothèse du théorème).

I Donc Form⊆X car Form est le plus petit ensemble de chaînes de caractères qui satisfait ces propriétés.

I Autrement dit, tout élément de Form a la propriété P.

Chapitre 2 Dénition de la logique propositionnelle Cours 2 Syntaxe de la logique propositionnelle et preuves par induction Preuves par induction

Démonstration

I Soit X l'ensemble de toutes les chaînes de caractères avec la propriété P.

I On remarque donc que l'ensemble X satisfait les propriétés de clôture des formules propositionnelles (par l'hypothèse du théorème).

I Donc Form⊆X car Form est le plus petit ensemble de chaînes de caractères qui satisfait ces propriétés.

I Autrement dit, tout élément de Form a la propriété P.

Démonstration

I Soit X l'ensemble de toutes les chaînes de caractères avec la propriété P.

I On remarque donc que l'ensemble X satisfait les propriétés de clôture des formules propositionnelles (par l'hypothèse du théorème).

I Donc Form⊆X car Form est le plus petit ensemble de chaînes de caractères qui satisfait ces propriétés.

I Autrement dit, tout élément de Form a la propriété P.

Chapitre 2 Dénition de la logique propositionnelle Cours 2 Syntaxe de la logique propositionnelle et preuves par induction Dénition de fonctions par récurrence

Dénition d'une fonction

I Une méthode pour dénir une fonction : par une expression close.

I Par exemple, la fonction qui envoie un argument, qui est un nombre naturel, vers l'argument incrémenté de 1 :

f(x) :=x +1

La variable x est le paramètre formel de la fonction.

I Pour appliquer une telle fonction : remplacer dans l'expression le paramètre formel par le paramètre actuel, puis évaluer l'expression.

I Sur l'exemple :

f(5) =5+1=6

Dénition d'une fonction

I Une méthode pour dénir une fonction : par une expression close.

I Par exemple, la fonction qui envoie un argument, qui est un nombre naturel, vers l'argument incrémenté de 1 :

f(x) :=x +1

La variable x est le paramètre formel de la fonction.

I Pour appliquer une telle fonction : remplacer dans l'expression le paramètre formel par le paramètre actuel, puis évaluer l'expression.

I Sur l'exemple :

f(5) =5+1=6

Chapitre 2 Dénition de la logique propositionnelle Cours 2 Syntaxe de la logique propositionnelle et preuves par induction Dénition de fonctions par récurrence

Dénition d'une fonction

I Une méthode pour dénir une fonction : par une expression close.

I Par exemple, la fonction qui envoie un argument, qui est un nombre naturel, vers l'argument incrémenté de 1 :

f(x) :=x +1

La variable x est le paramètre formel de la fonction.

I Pour appliquer une telle fonction : remplacer dans l'expression le paramètre formel par le paramètre actuel, puis évaluer l'expression.

I Sur l'exemple :

f(5) =5+1=6

Dénition d'une fonction

I Une méthode pour dénir une fonction : par une expression close.

I Par exemple, la fonction qui envoie un argument, qui est un nombre naturel, vers l'argument incrémenté de 1 :

f(x) :=x +1

La variable x est le paramètre formel de la fonction.

I Pour appliquer une telle fonction : remplacer dans l'expression le paramètre formel par le paramètre actuel, puis évaluer l'expression.

I Sur l'exemple :

f(5) =5+1=6

Chapitre 2 Dénition de la logique propositionnelle Cours 2 Syntaxe de la logique propositionnelle et preuves par induction Dénition de fonctions par récurrence

Dénition de fonctions sur Form

I Problème : comment dénir une fonction sur un ensemble qui est déni par induction ?

I Exemple : comment dénir la fonction qui donne la longueur d'une formule, ou le nombre de parenthèses ?

I En général, l'évaluation d'une telle fonction appliquée à une formule dépend de la structure de la formule.

Dénition de fonctions sur Form

I Problème : comment dénir une fonction sur un ensemble qui est déni par induction ?

I Exemple : comment dénir la fonction qui donne la longueur d'une formule, ou le nombre de parenthèses ?

I En général, l'évaluation d'une telle fonction appliquée à une formule dépend de la structure de la formule.

Chapitre 2 Dénition de la logique propositionnelle Cours 2 Syntaxe de la logique propositionnelle et preuves par induction Dénition de fonctions par récurrence

Dénition de fonctions sur Form

I Problème : comment dénir une fonction sur un ensemble qui est déni par induction ?

I Exemple : comment dénir la fonction qui donne la longueur d'une formule, ou le nombre de parenthèses ?

I En général, l'évaluation d'une telle fonction appliquée à une formule dépend de la structure de la formule.

Dénition par récurrence

On peut dénir une fonction avec domaine Form comme suit : 1. on donne le résultat de la fonction appliquée à un élément

quelconque de V ,

2. on donne le résultat de la fonction appliquée à une formule de la forme ¬p, sachant quel est le résultat de la fonction

appliquée à p,

3. on donne le résultat de la fonction appliquée à une formule de la forme (p∧q), sachant quel est le résultat de la fonction appliquée à p et le résultat de la fonction appliquée à q, 4. on donne le résultat de la fonction appliquée à une formule de

la forme (p∨q), sachant quel est le résultat de la fonction appliquée à p et le résultat de la fonction appliquée à q.

Chapitre 2 Dénition de la logique propositionnelle Cours 2 Syntaxe de la logique propositionnelle et preuves par induction Dénition de fonctions par récurrence

Dénition par récurrence

On peut dénir une fonction avec domaine Form comme suit : 1. on donne le résultat de la fonction appliquée à un élément

quelconque de V ,

2. on donne le résultat de la fonction appliquée à une formule de la forme ¬p, sachant quel est le résultat de la fonction

appliquée à p,

3. on donne le résultat de la fonction appliquée à une formule de la forme (p∧q), sachant quel est le résultat de la fonction appliquée à p et le résultat de la fonction appliquée à q, 4. on donne le résultat de la fonction appliquée à une formule de

la forme (p∨q), sachant quel est le résultat de la fonction appliquée à p et le résultat de la fonction appliquée à q.

Dénition par récurrence

On peut dénir une fonction avec domaine Form comme suit : 1. on donne le résultat de la fonction appliquée à un élément

quelconque de V ,

2. on donne le résultat de la fonction appliquée à une formule de la forme ¬p, sachant quel est le résultat de la fonction

appliquée à p,

3. on donne le résultat de la fonction appliquée à une formule de la forme (p∧q), sachant quel est le résultat de la fonction appliquée à p et le résultat de la fonction appliquée à q, 4. on donne le résultat de la fonction appliquée à une formule de

la forme (p∨q), sachant quel est le résultat de la fonction appliquée à p et le résultat de la fonction appliquée à q.

Chapitre 2 Dénition de la logique propositionnelle Cours 2 Syntaxe de la logique propositionnelle et preuves par induction Dénition de fonctions par récurrence

Dénition par récurrence

On peut dénir une fonction avec domaine Form comme suit : 1. on donne le résultat de la fonction appliquée à un élément

quelconque de V ,

2. on donne le résultat de la fonction appliquée à une formule de la forme ¬p, sachant quel est le résultat de la fonction

appliquée à p,

3. on donne le résultat de la fonction appliquée à une formule de la forme (p∧q), sachant quel est le résultat de la fonction appliquée à p et le résultat de la fonction appliquée à q, 4. on donne le résultat de la fonction appliquée à une formule de

la forme (p∨q), sachant quel est le résultat de la fonction appliquée à p et le résultat de la fonction appliquée à q.

Exemple récurrence : length

La fonction length est dénie comme suit : 1. length(x) =1 si x ∈V

2. length(¬p) =1+length(p)

3. length((p∧q)) =3+length(p) +length(q) 4. length((p∨q)) =3+length(p) +length(q)

Chapitre 2 Dénition de la logique propositionnelle Cours 2 Syntaxe de la logique propositionnelle et preuves par induction Dénition de fonctions par récurrence

Exemple récurrence : length

Évaluation :

length((x₁∧ ¬x₂)) = 3+length(x₁) +length(¬x₂) (3)

= 3+1+length(¬x2) (1)

= 3+1+1+length(x₂) (2)

= 3+1+1+1 (1)

= 6

Exemple récurrence : length

Évaluation :

length((x₁∧ ¬x₂)) = 3+length(x₁) +length(¬x₂) (3)

= 3+1+length(¬x2) (1)

= 3+1+1+length(x₂) (2)

= 3+1+1+1 (1)

= 6

Chapitre 2 Dénition de la logique propositionnelle Cours 2 Syntaxe de la logique propositionnelle et preuves par induction Dénition de fonctions par récurrence

Exemple récurrence : length

Évaluation :

length((x₁∧ ¬x₂)) = 3+length(x₁) +length(¬x₂) (3)

= 3+1+length(¬x2) (1)

= 3+1+1+length(x₂) (2)

= 3+1+1+1 (1)

= 6

Exemple récurrence : length

Évaluation :

length((x₁∧ ¬x₂)) = 3+length(x₁) +length(¬x₂) (3)

= 3+1+length(¬x2) (1)

= 3+1+1+length(x₂) (2)

= 3+1+1+1 (1)

= 6

Chapitre 2 Dénition de la logique propositionnelle Cours 2 Syntaxe de la logique propositionnelle et preuves par induction Dénition de fonctions par récurrence

Exemple récurrence : length

Évaluation :

length((x₁∧ ¬x₂)) = 3+length(x₁) +length(¬x₂) (3)

= 3+1+length(¬x2) (1)

= 3+1+1+length(x₂) (2)

= 3+1+1+1 (1)

= 6

Exemple récurrence : length

Évaluation :

length((x₁∧ ¬x₂)) = 3+length(x₁) +length(¬x₂) (3)

= 3+1+length(¬x2) (1)

= 3+1+1+length(x₂) (2)

= 3+1+1+1 (1)

= 6

Chapitre 2 Dénition de la logique propositionnelle Cours 2 Syntaxe de la logique propositionnelle et preuves par induction Dénition de fonctions par récurrence

Exemple de récurrence : V

Notre deuxième exemple est la fonctionV, dénie comme suit : 1. V(x) ={x} si x ∈V

2. V(¬p) =V(p)

3. V((p∧q)) =V(p)∪ V(q) 4. V((p∨q)) =V(p)∪ V(q)

V(p) est l'ensemble des variablesde p.

Exemple de récurrence : V

Notre deuxième exemple est la fonctionV, dénie comme suit : 1. V(x) ={x} si x ∈V

2. V(¬p) =V(p)

3. V((p∧q)) =V(p)∪ V(q) 4. V((p∨q)) =V(p)∪ V(q)

V(p) est l'ensemble des variablesde p.

Chapitre 2 Dénition de la logique propositionnelle Cours 2 Syntaxe de la logique propositionnelle et preuves par induction Dénition de fonctions par récurrence

Exemple de récurrence : V

Évaluation :

V((x1∧(x2∨x3))) = V(x1)∪ V((x2∨x3)) (3)

= {x₁} ∪ V(x₂)∪ V(x₃) (1),(4)

= {x₁} ∪ {x₂} ∪ {x₃} (1),(1)

= {x1,x2,x3}

Exemple de récurrence : V

Évaluation :

V((x1∧(x2∨x3))) = V(x1)∪ V((x2∨x3)) (3)

= {x₁} ∪ V(x₂)∪ V(x₃) (1),(4)

= {x₁} ∪ {x₂} ∪ {x₃} (1),(1)

= {x1,x2,x3}

Chapitre 2 Dénition de la logique propositionnelle Cours 2 Syntaxe de la logique propositionnelle et preuves par induction Dénition de fonctions par récurrence

Exemple de récurrence : V

Évaluation :

V((x1∧(x2∨x3))) = V(x1)∪ V((x2∨x3)) (3)

= {x₁} ∪ V(x₂)∪ V(x₃) (1),(4)

= {x₁} ∪ {x₂} ∪ {x₃} (1),(1)

= {x1,x2,x3}

Exemple de récurrence : V

Évaluation :

V((x1∧(x2∨x3))) = V(x1)∪ V((x2∨x3)) (3)

= {x₁} ∪ V(x₂)∪ V(x₃) (1),(4)

= {x₁} ∪ {x₂} ∪ {x₃} (1),(1)

= {x1,x2,x3}

Chapitre 2 Dénition de la logique propositionnelle Cours 2 Syntaxe de la logique propositionnelle et preuves par induction Dénition de fonctions par récurrence

Exemple de récurrence : V

Évaluation :

V((x1∧(x2∨x3))) = V(x1)∪ V((x2∨x3)) (3)

= {x₁} ∪ V(x₂)∪ V(x₃) (1),(4)

= {x₁} ∪ {x₂} ∪ {x₃} (1),(1)

= {x1,x2,x3}

Une subtilité

I Une fonction doit toujours associer à un argument donné un seul résultat. On doit donc assurer que la dénition récursive d'une fonction garantit bien cette unicité du résultat.

I En principe, la même formule pourrait être construite de deux façon diérentes. Dans ce cas, la dénition de la fonction risque de donner deux valeurs diérentes selon la construction considérée.

I Heureusement, cette diculté n'existe pas pour notre

dénition des formules propositionnelles : théorème de lecture unique (démonstration omise).

I Mais attention dans le cas général des ensembles dénis par induction.

Chapitre 2 Dénition de la logique propositionnelle Cours 2 Syntaxe de la logique propositionnelle et preuves par induction Dénition de fonctions par récurrence

Une subtilité

I Une fonction doit toujours associer à un argument donné un seul résultat. On doit donc assurer que la dénition récursive d'une fonction garantit bien cette unicité du résultat.

I En principe, la même formule pourrait être construite de deux façon diérentes. Dans ce cas, la dénition de la fonction risque de donner deux valeurs diérentes selon la construction considérée.

I Heureusement, cette diculté n'existe pas pour notre

dénition des formules propositionnelles : théorème de lecture unique (démonstration omise).

I Mais attention dans le cas général des ensembles dénis par induction.

Une subtilité

I Une fonction doit toujours associer à un argument donné un seul résultat. On doit donc assurer que la dénition récursive d'une fonction garantit bien cette unicité du résultat.

I En principe, la même formule pourrait être construite de deux façon diérentes. Dans ce cas, la dénition de la fonction risque de donner deux valeurs diérentes selon la construction considérée.

I Heureusement, cette diculté n'existe pas pour notre

dénition des formules propositionnelles : théorème de lecture unique (démonstration omise).

I Mais attention dans le cas général des ensembles dénis par induction.

Chapitre 2 Dénition de la logique propositionnelle Cours 2 Syntaxe de la logique propositionnelle et preuves par induction Dénition de fonctions par récurrence

Une subtilité

I Une fonction doit toujours associer à un argument donné un seul résultat. On doit donc assurer que la dénition récursive d'une fonction garantit bien cette unicité du résultat.

I En principe, la même formule pourrait être construite de deux façon diérentes. Dans ce cas, la dénition de la fonction risque de donner deux valeurs diérentes selon la construction considérée.

I Heureusement, cette diculté n'existe pas pour notre

dénition des formules propositionnelles : théorème de lecture unique (démonstration omise).

I Mais attention dans le cas général des ensembles dénis par induction.

Récurrence et induction

I Un ensemble peut être déni parinduction: on dit comment construire un nouvel élément de l'ensemble à partir des éléments plus primitifs. Il y donc un sens ascendant .

I Les fonctions peuvent être dénies par récurrence: on déni le résultat d'une fonction appliquée sur un argument composé en faisant référence au résultat de la fonction sur des arguments plus simples. Il y a donc un sens descendant .

I Finalement, une propriété de tous les éléments d'un ensemble qui est déni par induction est normalement démontrée par induction structurelle.

Chapitre 2 Dénition de la logique propositionnelle Cours 2 Syntaxe de la logique propositionnelle et preuves par induction Dénition de fonctions par récurrence

Récurrence et induction

I Un ensemble peut être déni parinduction: on dit comment construire un nouvel élément de l'ensemble à partir des éléments plus primitifs. Il y donc un sens ascendant .

I Les fonctions peuvent être dénies par récurrence: on déni le résultat d'une fonction appliquée sur un argument composé en faisant référence au résultat de la fonction sur des arguments plus simples. Il y a donc un sens descendant .

I Finalement, une propriété de tous les éléments d'un ensemble qui est déni par induction est normalement démontrée par induction structurelle.

Récurrence et induction

I Un ensemble peut être déni parinduction: on dit comment construire un nouvel élément de l'ensemble à partir des éléments plus primitifs. Il y donc un sens ascendant .

I Les fonctions peuvent être dénies par récurrence: on déni le résultat d'une fonction appliquée sur un argument composé en faisant référence au résultat de la fonction sur des arguments plus simples. Il y a donc un sens descendant .

I Finalement, une propriété de tous les éléments d'un ensemble qui est déni par induction est normalement démontrée par induction structurelle.