Chapitre 3 Lois de la logique propositionnelle Cours 4 Conséquence logique, équivalences, substitutions

Chapitre 3

Lois de la logique propositionnelle Cours 4

Conséquence logique, équivalences, substitutions

Conséquence, Équivalence

Denition

Soient p et q des formules propositionnelles.

I On dit que q est uneconséquence de p, et on écrit p|=q, si pour toute aectation v telle que v |=p on a aussi que v |=q.

I On dit que p et q sontéquivalentes, et on écrit p|=|q, si p |=q et q|=p.

Donc, deux formules p et q sont équivalentes si et seulement si [[p]]v = [[q]]v pour toute aectation v.

Conséquence, Équivalence

Denition

Soient p et q des formules propositionnelles.

I On dit que q est uneconséquence de p, et on écrit p|=q, si pour toute aectation v telle que v |=p on a aussi que v |=q.

I On dit que p et q sontéquivalentes, et on écrit p|=|q, si p |=q et q|=p.

Donc, deux formules p et q sont équivalentes si et seulement si [[p]]v = [[q]]v pour toute aectation v.

Conséquence, Équivalence

Denition

Soient p et q des formules propositionnelles.

I On dit que q est uneconséquence de p, et on écrit p|=q, si pour toute aectation v telle que v |=p on a aussi que v |=q.

I On dit que p et q sontéquivalentes, et on écrit p|=|q, si p |=q et q|=p.

Donc, deux formules p et q sont équivalentes si et seulement si [[p]]v = [[q]]v pour toute aectation v.

Conséquence d'une théorie

Denition

Soient p∈Form une formule et T ⊆Form un ensemble de formules. On dit que p est uneconséquencede T , noté T |=p, si pour toute aection v telle que v |=q pour tout q∈T on a aussi que v |=p.

On peut montrer que . . .

1. Si p|=q et q |=r alors p|=r 2. {q} |=p ssi q |=p

3. {p1, . . . ,pn} |=p ssi p1∧. . .∧pn|=p 4. Si T |=p et T ⊆S alors S |=p

On peut montrer que . . .

1. Si p|=q et q |=r alors p|=r 2. {q} |=p ssi q |=p

3. {p1, . . . ,pn} |=p ssi p1∧. . .∧pn|=p 4. Si T |=p et T ⊆S alors S |=p

On peut montrer que . . .

1. Si p|=q et q |=r alors p|=r 2. {q} |=p ssi q |=p

3. {p1, . . . ,pn} |=p ssi p1∧. . .∧pn|=p 4. Si T |=p et T ⊆S alors S |=p

On peut montrer que . . .

1. Si p|=q et q |=r alors p|=r 2. {q} |=p ssi q |=p

3. {p1, . . . ,pn} |=p ssi p1∧. . .∧pn|=p 4. Si T |=p et T ⊆S alors S |=p

Décider conséquence ou équivalence

I Tables de vérité.

I q est une conséquence de p si pour toute ligne de la table de vérité où il y a 1 dans la colonne de p il y aussi 1 dans la colonne de q;

I p et q sont équivalentes quand le contenu de la colonne de p est le même que le contenu de la colonne de q.

Décider conséquence ou équivalence

I Tables de vérité.

I q est une conséquence de p si pour toute ligne de la table de vérité où il y a 1 dans la colonne de p il y aussi 1 dans la colonne de q;

I p et q sont équivalentes quand le contenu de la colonne de p est le même que le contenu de la colonne de q.

Décider conséquence ou équivalence

I Tables de vérité.

I q est une conséquence de p si pour toute ligne de la table de vérité où il y a 1 dans la colonne de p il y aussi 1 dans la colonne de q;

I p et q sont équivalentes quand le contenu de la colonne de p est le même que le contenu de la colonne de q.

Exemple Conséquence

x∧(¬x ∨y)|=y car

x y ¬x ¬x∨y x∧(¬x ∨y) y

0 0 1 1 0 0

1 0 0 0 0 0

0 1 1 1 0 1

1 1 0 1 1 1

Exemple Équivalence

Les formules¬(x∧y) et¬x ∨ ¬y sont équivalentes : x y x∧y ¬(x∧y) ¬x ¬y ¬x ∨ ¬y

0 0 0 1 1 1 1

1 0 0 1 0 1 1

0 1 0 1 1 0 1

1 1 1 0 0 0 0

Propriétés fondamentales des opérateurs ∧ , ∨ et ¬

Proposition : On a les équivalences suivantes : 1. x ∧x |=|x (idempotence)

2. x ∧y |=|y ∧x (commutativité)

3. x ∧(y ∧z)|=|(x∧y)∧z (associativité) 4. x ∨x |=|x

5. x ∨y |=|y ∨x

6. x ∨(y ∨z)|=|(x∨y)∨z 7. ¬¬x |=|x

Propriétés fondamentales des opérateurs ∧ , ∨ et ¬

Proposition : On a les équivalences suivantes : 1. x ∧x |=|x (idempotence)

2. x ∧y |=|y ∧x (commutativité)

3. x ∧(y ∧z)|=|(x∧y)∧z (associativité) 4. x ∨x |=|x

5. x ∨y |=|y ∨x

6. x ∨(y ∨z)|=|(x∨y)∨z 7. ¬¬x |=|x

Propriétés fondamentales des opérateurs ∧ , ∨ et ¬

Proposition : On a les équivalences suivantes : 1. x ∧x |=|x (idempotence)

2. x ∧y |=|y ∧x (commutativité)

3. x ∧(y ∧z)|=|(x∧y)∧z (associativité) 4. x ∨x |=|x

5. x ∨y |=|y ∨x

6. x ∨(y ∨z)|=|(x∨y)∨z 7. ¬¬x |=|x

Propriétés fondamentales des opérateurs ∧ , ∨ et ¬

Proposition : On a les équivalences suivantes : 1. x ∧x |=|x (idempotence)

2. x ∧y |=|y ∧x (commutativité)

3. x ∧(y ∧z)|=|(x∧y)∧z (associativité) 4. x ∨x |=|x

5. x ∨y |=|y ∨x

6. x ∨(y ∨z)|=|(x∨y)∨z 7. ¬¬x |=|x

Propriétés fondamentales des opérateurs ∧ , ∨ et ¬

Proposition : On a les équivalences suivantes : 1. x ∧x |=|x (idempotence)

2. x ∧y |=|y ∧x (commutativité)

3. x ∧(y ∧z)|=|(x∧y)∧z (associativité) 4. x ∨x |=|x

5. x ∨y |=|y ∨x

6. x ∨(y ∨z)|=|(x∨y)∨z 7. ¬¬x |=|x

Comparer avec les opérateurs arithmétiques

Les opérateurs suivants, sont-ils idempotent, associatif, commutatif ?

I +, la somme de deux entiers

I ∗, la multiplication de deux entiers

I la moyenne arithmétique entre deux entiers

Comparer avec les opérateurs arithmétiques

Les opérateurs suivants, sont-ils idempotent, associatif, commutatif ?

I +, la somme de deux entiers

I ∗, la multiplication de deux entiers

I la moyenne arithmétique entre deux entiers

Comparer avec les opérateurs arithmétiques

Les opérateurs suivants, sont-ils idempotent, associatif, commutatif ?

I +, la somme de deux entiers

I ∗, la multiplication de deux entiers

I la moyenne arithmétique entre deux entiers

Démonstration de x ∧ x | = | x

x x ∧x

0 0

1 1

Démonstration de x ∧ y | = | y ∧ x

x y x∧y y∧x

0 0 0 0

1 0 0 0

0 1 0 0

1 1 1 1

Démonstration de x ∧ ( y ∧ z ) | = | ( x ∧ y ) ∧ z

x y z y∧z x∧(y ∧z) x ∧y (x∧y)∧z

0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0

1 1 0 0 0 1 0

0 0 1 0 0 0 0

1 0 1 0 0 0 0

0 1 1 1 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1

Objectif

I Généraliser les équivalences de la proposition à des formules quelconques.

I Par exemple p∧p |=|p, p∧q |=|q∧p pour toutes formules propositionnelles p et q.

Objectif

I Généraliser les équivalences de la proposition à des formules quelconques.

I Par exemple p∧p |=|p, p∧q |=|q∧p pour toutes formules propositionnelles p et q.

Dénition [Substitution]

Soit x une variable propositionnelle et p une formule

propositionnelle. La fonction desubstitution de x par p, notée [x/p] : Form→Form, est dénie par récurrence comme suit

(l'application de cette fonction à un argument q est notée q[x/p]) : 1. y[x/p] =

p si x =y y si x 6=y 2. (¬q)[x/p] =¬(q[x/p])

3. (q₁∧q₂)[x/p] = (q₁[x/p])∧(q₂[x/p]) 4. (q1∨q2)[x/p] = (q1[x/p])∨(q2[x/p])

Dénition [Substitution]

Soit x une variable propositionnelle et p une formule

propositionnelle. La fonction desubstitution de x par p, notée [x/p] : Form→Form, est dénie par récurrence comme suit

(l'application de cette fonction à un argument q est notée q[x/p]) : 1. y[x/p] =

p si x =y y si x 6=y 2. (¬q)[x/p] =¬(q[x/p])

3. (q₁∧q₂)[x/p] = (q₁[x/p])∧(q₂[x/p]) 4. (q1∨q2)[x/p] = (q1[x/p])∨(q2[x/p])

Dénition [Substitution]

Soit x une variable propositionnelle et p une formule

propositionnelle. La fonction desubstitution de x par p, notée [x/p] : Form→Form, est dénie par récurrence comme suit

(l'application de cette fonction à un argument q est notée q[x/p]) : 1. y[x/p] =

p si x =y y si x 6=y 2. (¬q)[x/p] =¬(q[x/p])

3. (q₁∧q₂)[x/p] = (q₁[x/p])∧(q₂[x/p]) 4. (q1∨q2)[x/p] = (q1[x/p])∨(q2[x/p])

Dénition [Substitution]

Soit x une variable propositionnelle et p une formule

propositionnelle. La fonction desubstitution de x par p, notée [x/p] : Form→Form, est dénie par récurrence comme suit

(l'application de cette fonction à un argument q est notée q[x/p]) : 1. y[x/p] =

p si x =y y si x 6=y 2. (¬q)[x/p] =¬(q[x/p])

3. (q₁∧q₂)[x/p] = (q₁[x/p])∧(q₂[x/p]) 4. (q1∨q2)[x/p] = (q1[x/p])∨(q2[x/p])

Dénition [Substitution]

Soit x une variable propositionnelle et p une formule

propositionnelle. La fonction desubstitution de x par p, notée [x/p] : Form→Form, est dénie par récurrence comme suit

(l'application de cette fonction à un argument q est notée q[x/p]) : 1. y[x/p] =

p si x =y y si x 6=y 2. (¬q)[x/p] =¬(q[x/p])

3. (q₁∧q₂)[x/p] = (q₁[x/p])∧(q₂[x/p]) 4. (q1∨q2)[x/p] = (q1[x/p])∨(q2[x/p])

Exemple Substitution

Soit

p = z∨ ¬y Alors :

(x ∧(¬x∧y))[x/p] = (z∨ ¬y)∧(¬(z∨ ¬y)∧y)

Substitution simultanée

Cette dénition se généralise facilement à unesubstitution simultanéeq[x1/p1, . . . ,xn/pn]pour le cas où les x1, . . . ,xn sont toutes des variables diérentes.

Exemple Substitution Simultanée

Soient

p₁ = (y₁∧ ¬y₂) p₂ = (z₁∨(z₂∧z₃)) alors on a que

(x1∧x2)[x1/p1,x2/p2] = (y1∧ ¬y2)∧(z1∨(z2∧z3))

Substitution vs. Substitution Simultanée

Attention, on n'a pas toujours que q[x₁/p₁,x₂/p₂] = (q[x₁/p₁])[x₂/p₂].

Contre-exemple: q=x1, p1 = (x2∧x2), et p2= (x3∨x3) : x₁[x₁/(x₂∧x₂),x₂/(x₃∨x₃)] = (x₂∧x₂)

(x₁[x₁/(x₂∧x₂)])[x₂/(x₃∨x₃)] = (x₂∧x₂)[x₂/(x₃∨x₃)]

= ((x₃∨x₃)∧(x₃∨x₃))

Substitution vs. Substitution Simultanée

Attention, on n'a pas toujours que q[x₁/p₁,x₂/p₂] = (q[x₁/p₁])[x₂/p₂].

Contre-exemple: q=x1, p1 = (x2∧x2), et p2= (x3∨x3) : x₁[x₁/(x₂∧x₂),x₂/(x₃∨x₃)] = (x₂∧x₂)

(x₁[x₁/(x₂∧x₂)])[x₂/(x₃∨x₃)] = (x₂∧x₂)[x₂/(x₃∨x₃)]

= ((x₃∨x₃)∧(x₃∨x₃))

Substitution dans les aectations

Denition

Soit v une aectation, x une variable propositionnelle, et b∈ {0,1}. Alors v[x/b] est l'aectation dénie comme suit :

v[x/b](y) =

b si x =y v(y) si x 6=y

Cette dénition se généralise aussi à unesubstitution simultanée v[x1/b1, . . . ,xn/bn]pour le cas où les x1, . . . ,xnsont toutes des variables diérentes.

Substitution dans les aectations

Denition

Soit v une aectation, x une variable propositionnelle, et b∈ {0,1}. Alors v[x/b] est l'aectation dénie comme suit :

v[x/b](y) =

b si x =y v(y) si x 6=y

Cette dénition se généralise aussi à unesubstitution simultanée v[x1/b1, . . . ,xn/bn]pour le cas où les x1, . . . ,xnsont toutes des variables diérentes.

Exemple

[x 7→0,y 7→1][y/0,z/1] = [x 7→0,y 7→0,z 7→1]

Proposition

Proposition : Pour toute formule q, variables diérentes x₁, . . . ,x_n, formules p₁, . . . ,p_n, et aectation v on a que

[[q[x₁/p₁, . . . ,x_n/p_n]]]v = [[q]](v[x₁/[[p₁]]v, . . . ,x_n/[[p_n]]v])

En d'autres mots

On obtient le même résultat

1. quand on substitue les x_i par les p_i correspondant dans la formule q et puis évalue la formule ainsi obtenue par rapport à l'aectation v;

2. quand on évalue d'abord les formules pi une par une par rapport à l'aectation v, puis on met à jour dans l'aectation v les valeurs des variables x_i par l'interprétation des p_i, et on évalue la formule q originale par rapport à la nouvelle

aectation.

En d'autres mots

On obtient le même résultat

1. quand on substitue les x_i par les p_i correspondant dans la formule q et puis évalue la formule ainsi obtenue par rapport à l'aectation v;

2. quand on évalue d'abord les formules pi une par une par rapport à l'aectation v, puis on met à jour dans l'aectation v les valeurs des variables x_i par l'interprétation des p_i, et on évalue la formule q originale par rapport à la nouvelle

aectation.

Démonstration

Nous donnons ici la preuve pour le cas n=1, c'est-à-dire nous montrons

[[q[x/p]]]v =1 ssi[[q]](v[x/[[p]]v]) =1 La preuve se fait par induction structurelle

Cas Variable, sous-cas : q est la variable x

À montrer : [[x[x/p]]]v =1 ssi [[x]](v[x/[[p]]v]) =1 [[x[x/p]]]v =1

ssi [[p]]v =1 par dénition substitution

ssi (v[x/[[p]]v])(x) =1 par dénition substitution dans les a.

ssi [[x]](v[x/[[p]]v]) =1 par dénition de la sémantique

Cas Variable, sous-cas : q est la variable x

À montrer : [[x[x/p]]]v =1 ssi [[x]](v[x/[[p]]v]) =1 [[x[x/p]]]v =1

ssi [[p]]v =1 par dénition substitution

ssi (v[x/[[p]]v])(x) =1 par dénition substitution dans les a.

ssi [[x]](v[x/[[p]]v]) =1 par dénition de la sémantique

Cas Variable, sous-cas : q est la variable x

À montrer : [[x[x/p]]]v =1 ssi [[x]](v[x/[[p]]v]) =1 [[x[x/p]]]v =1

ssi [[p]]v =1 par dénition substitution

ssi (v[x/[[p]]v])(x) =1 par dénition substitution dans les a.

ssi [[x]](v[x/[[p]]v]) =1 par dénition de la sémantique

Cas Variable, sous-cas : q est la variable x

À montrer : [[x[x/p]]]v =1 ssi [[x]](v[x/[[p]]v]) =1 [[x[x/p]]]v =1

ssi [[p]]v =1 par dénition substitution

ssi (v[x/[[p]]v])(x) =1 par dénition substitution dans les a.

ssi [[x]](v[x/[[p]]v]) =1 par dénition de la sémantique

Cas Variable, sous-cas : q est une variable y 6= x

À montrer : [[y[x/p]]]v =1 ssi[[y]](v[x/[[p]]v]) =1 [[y[x/p]]]v =1

ssi [[y]]v =1 par dénition de substitution ssi v(y) =1 par dénition de la sémantique

ssi v[x/[[p]]v](y) =1 par dénition substitution dans les a.

ssi [[y]](v[x/[[p]]v]) =1 par dénition de la sémantique

Cas Variable, sous-cas : q est une variable y 6= x

À montrer : [[y[x/p]]]v =1 ssi[[y]](v[x/[[p]]v]) =1 [[y[x/p]]]v =1

ssi [[y]]v =1 par dénition de substitution ssi v(y) =1 par dénition de la sémantique

ssi v[x/[[p]]v](y) =1 par dénition substitution dans les a.

ssi [[y]](v[x/[[p]]v]) =1 par dénition de la sémantique

Cas Variable, sous-cas : q est une variable y 6= x

À montrer : [[y[x/p]]]v =1 ssi[[y]](v[x/[[p]]v]) =1 [[y[x/p]]]v =1

ssi [[y]]v =1 par dénition de substitution ssi v(y) =1 par dénition de la sémantique

ssi v[x/[[p]]v](y) =1 par dénition substitution dans les a.

ssi [[y]](v[x/[[p]]v]) =1 par dénition de la sémantique

Cas Variable, sous-cas : q est une variable y 6= x

À montrer : [[y[x/p]]]v =1 ssi[[y]](v[x/[[p]]v]) =1 [[y[x/p]]]v =1

ssi [[y]]v =1 par dénition de substitution ssi v(y) =1 par dénition de la sémantique

ssi v[x/[[p]]v](y) =1 par dénition substitution dans les a.

ssi [[y]](v[x/[[p]]v]) =1 par dénition de la sémantique

Cas Variable, sous-cas : q est une variable y 6= x

À montrer : [[y[x/p]]]v =1 ssi[[y]](v[x/[[p]]v]) =1 [[y[x/p]]]v =1

ssi [[y]]v =1 par dénition de substitution ssi v(y) =1 par dénition de la sémantique

ssi v[x/[[p]]v](y) =1 par dénition substitution dans les a.

ssi [[y]](v[x/[[p]]v]) =1 par dénition de la sémantique

Cas Négation

À montrer : [[(¬q)[x/p]]]v =1 ssi[[¬q]](v[x/[[p]]v]) =1 Hypothèse d'induction : [[q[x/p]]]v =1 ssi[[q]](v[x/[[p]]v]) =1

[[(¬q)[x/p]]]v =1

ssi [[¬(q[x/p])]]v =1 par dénition de substitution ssi [[q[x/p]]]v =0 par dénition sémantique ssi [[q]](v[x/[[p]]v]) =0 par hypothèse d'induction ssi [[¬q]](v[x/[[p]]v]) =1 par dénition sémantique

Cas Négation

À montrer : [[(¬q)[x/p]]]v =1 ssi[[¬q]](v[x/[[p]]v]) =1 Hypothèse d'induction : [[q[x/p]]]v =1 ssi[[q]](v[x/[[p]]v]) =1

[[(¬q)[x/p]]]v =1

ssi [[¬(q[x/p])]]v =1 par dénition de substitution ssi [[q[x/p]]]v =0 par dénition sémantique ssi [[q]](v[x/[[p]]v]) =0 par hypothèse d'induction ssi [[¬q]](v[x/[[p]]v]) =1 par dénition sémantique

Cas Négation

À montrer : [[(¬q)[x/p]]]v =1 ssi[[¬q]](v[x/[[p]]v]) =1 Hypothèse d'induction : [[q[x/p]]]v =1 ssi[[q]](v[x/[[p]]v]) =1

[[(¬q)[x/p]]]v =1

ssi [[¬(q[x/p])]]v =1 par dénition de substitution ssi [[q[x/p]]]v =0 par dénition sémantique ssi [[q]](v[x/[[p]]v]) =0 par hypothèse d'induction ssi [[¬q]](v[x/[[p]]v]) =1 par dénition sémantique

Cas Négation

À montrer : [[(¬q)[x/p]]]v =1 ssi[[¬q]](v[x/[[p]]v]) =1 Hypothèse d'induction : [[q[x/p]]]v =1 ssi[[q]](v[x/[[p]]v]) =1

[[(¬q)[x/p]]]v =1

ssi [[¬(q[x/p])]]v =1 par dénition de substitution ssi [[q[x/p]]]v =0 par dénition sémantique ssi [[q]](v[x/[[p]]v]) =0 par hypothèse d'induction ssi [[¬q]](v[x/[[p]]v]) =1 par dénition sémantique

Cas Négation

À montrer : [[(¬q)[x/p]]]v =1 ssi[[¬q]](v[x/[[p]]v]) =1 Hypothèse d'induction : [[q[x/p]]]v =1 ssi[[q]](v[x/[[p]]v]) =1

[[(¬q)[x/p]]]v =1

ssi [[¬(q[x/p])]]v =1 par dénition de substitution ssi [[q[x/p]]]v =0 par dénition sémantique ssi [[q]](v[x/[[p]]v]) =0 par hypothèse d'induction ssi [[¬q]](v[x/[[p]]v]) =1 par dénition sémantique

Cas Conjonction

À montrer : [[(q₁∧q₂)[x/p]]]v =1 ssi [[q₁∧q₂]](v[x/[[p]]v]) =1 Hypothèse d'induction 1 : [[q1[x/p]]]v =1 ssi[[q1]](v[x/[[p]]v]) =1 Hypothèse d'induction 2 : [[q₂[x/p]]]v =1 ssi[[q₂]](v[x/[[p]]v]) =1

[[(q1∧q2)[x/p]]]v =1

ssi [[q₁[x/p]∧q₂[x/p])]]v =1 par dénition ssi [[q₁[x/p]]]v = [[q₂[x/p]]]v =1 par dénition

ssi [[q1]](v[x/[[p]]v]) = [[q2]](v[x/[[p]]v]) =1 par hypothèse d'induction ssi [[q₁∧q₂]](v[x/[[p]]v]) =1 par dénition

Cas Conjonction

À montrer : [[(q₁∧q₂)[x/p]]]v =1 ssi [[q₁∧q₂]](v[x/[[p]]v]) =1 Hypothèse d'induction 1 : [[q1[x/p]]]v =1 ssi[[q1]](v[x/[[p]]v]) =1 Hypothèse d'induction 2 : [[q₂[x/p]]]v =1 ssi[[q₂]](v[x/[[p]]v]) =1

[[(q1∧q2)[x/p]]]v =1

ssi [[q₁[x/p]∧q₂[x/p])]]v =1 par dénition ssi [[q₁[x/p]]]v = [[q₂[x/p]]]v =1 par dénition

ssi [[q1]](v[x/[[p]]v]) = [[q2]](v[x/[[p]]v]) =1 par hypothèse d'induction ssi [[q₁∧q₂]](v[x/[[p]]v]) =1 par dénition

Cas Conjonction

À montrer : [[(q₁∧q₂)[x/p]]]v =1 ssi [[q₁∧q₂]](v[x/[[p]]v]) =1 Hypothèse d'induction 1 : [[q1[x/p]]]v =1 ssi[[q1]](v[x/[[p]]v]) =1 Hypothèse d'induction 2 : [[q₂[x/p]]]v =1 ssi[[q₂]](v[x/[[p]]v]) =1

[[(q1∧q2)[x/p]]]v =1

ssi [[q₁[x/p]∧q₂[x/p])]]v =1 par dénition ssi [[q₁[x/p]]]v = [[q₂[x/p]]]v =1 par dénition

ssi [[q1]](v[x/[[p]]v]) = [[q2]](v[x/[[p]]v]) =1 par hypothèse d'induction ssi [[q₁∧q₂]](v[x/[[p]]v]) =1 par dénition

Cas Conjonction

À montrer : [[(q₁∧q₂)[x/p]]]v =1 ssi [[q₁∧q₂]](v[x/[[p]]v]) =1 Hypothèse d'induction 1 : [[q1[x/p]]]v =1 ssi[[q1]](v[x/[[p]]v]) =1 Hypothèse d'induction 2 : [[q₂[x/p]]]v =1 ssi[[q₂]](v[x/[[p]]v]) =1

[[(q1∧q2)[x/p]]]v =1

ssi [[q₁[x/p]∧q₂[x/p])]]v =1 par dénition ssi [[q₁[x/p]]]v = [[q₂[x/p]]]v =1 par dénition

ssi [[q1]](v[x/[[p]]v]) = [[q2]](v[x/[[p]]v]) =1 par hypothèse d'induction ssi [[q₁∧q₂]](v[x/[[p]]v]) =1 par dénition

Cas Conjonction

À montrer : [[(q₁∧q₂)[x/p]]]v =1 ssi [[q₁∧q₂]](v[x/[[p]]v]) =1 Hypothèse d'induction 1 : [[q1[x/p]]]v =1 ssi[[q1]](v[x/[[p]]v]) =1 Hypothèse d'induction 2 : [[q₂[x/p]]]v =1 ssi[[q₂]](v[x/[[p]]v]) =1

[[(q1∧q2)[x/p]]]v =1

ssi [[q₁[x/p]∧q₂[x/p])]]v =1 par dénition ssi [[q₁[x/p]]]v = [[q₂[x/p]]]v =1 par dénition

ssi [[q1]](v[x/[[p]]v]) = [[q2]](v[x/[[p]]v]) =1 par hypothèse d'induction ssi [[q₁∧q₂]](v[x/[[p]]v]) =1 par dénition

Cas Disjonction

similaire au cas précédent.

Théorème

Théorème : Soit q une tautologie, x₁, . . . ,x_n des variables propositionnelles diérentes, et p1, . . . ,pn des formules propositionnelles. Alors

q[x1/p1, . . . ,xn/pn] est aussi une tautologie.

Démonstration

I Nous devrons montrer que pour toute aectation v, [[q[x₁/p₁, . . . ,x_n/p_n]]]v =1

I Or, d'après proposition sur les substitutions :

[[q[x₁/p₁, . . . ,x_n/p_n]]]v = [[q]](v[x₁/[[p₁]]v, . . . ,x_n/[[p_n]]v])

I Puisque q est une tautologie,

[[q]](v[x₁/[[p₁]]v, . . . ,x_n/[[p_n]]v]) =1 puisque[[q]]v⁰ =1 pour toute aectation v⁰.

Démonstration

I Nous devrons montrer que pour toute aectation v, [[q[x₁/p₁, . . . ,x_n/p_n]]]v =1

I Or, d'après proposition sur les substitutions :

[[q[x₁/p₁, . . . ,x_n/p_n]]]v = [[q]](v[x₁/[[p₁]]v, . . . ,x_n/[[p_n]]v])

I Puisque q est une tautologie,

[[q]](v[x₁/[[p₁]]v, . . . ,x_n/[[p_n]]v]) =1 puisque[[q]]v⁰ =1 pour toute aectation v⁰.

Démonstration

I Nous devrons montrer que pour toute aectation v, [[q[x₁/p₁, . . . ,x_n/p_n]]]v =1

I Or, d'après proposition sur les substitutions :

[[q[x₁/p₁, . . . ,x_n/p_n]]]v = [[q]](v[x₁/[[p₁]]v, . . . ,x_n/[[p_n]]v])

I Puisque q est une tautologie,

[[q]](v[x₁/[[p₁]]v, . . . ,x_n/[[p_n]]v]) =1 puisque[[q]]v⁰ =1 pour toute aectation v⁰.

Une autre façon d'obtenir des équivalences

Théorème : Soient q₁,q₂ deux formules telles que q₁ |=|q₂, x1, . . . ,xn des variables propositionnelles diérentes, et p1, . . . ,pn

des formules propositionnelles. Alors

q₁[x₁/p₁, . . . ,x_n/p_n]|=|q₂[x₁/p₁, . . . ,x_n/p_n] Démonstration : en TD

Une autre façon d'obtenir des équivalences

Théorème : Soient q₁,q₂ deux formules telles que q₁ |=|q₂, x1, . . . ,xn des variables propositionnelles diérentes, et p1, . . . ,pn

des formules propositionnelles. Alors

q₁[x₁/p₁, . . . ,x_n/p_n]|=|q₂[x₁/p₁, . . . ,x_n/p_n] Démonstration : en TD

Application du théorème

Théorème : On a les équivalences suivantespour toutes les formules p,q,r :

p∧p|=|p Loi d'idempotence de la conjonction p∧q|=|q∧p Loi de commutativité de la conjonction p∧(q∧r)|=|(p∧q)∧r Loi d'associativité de la conjonction p∨p|=|p Loi d'idempotence de la disjonction p∨q|=|q∨p Loi de commutativité de la disjonction p∨(q∨r)|=|(p∨q)∨r Loi d'associativité de la disjonction

¬¬p |=|p Loi de la double négation

Démonstration

Conséquence immédiate de la proposition précédante et du théorème.

Des autres lois intéressantes

Le théorème suivant donne des lois qui mettent plusieurs opérateurs logiques en relation :

Théorème : On a les équivalences suivantes pour toutes les formules p,q,r :

(p∧q)∨r|=|(p∨r)∧(q∨r) Première loi de distributivité (p∨q)∧r|=|(p∧r)∨(q∧r) Seconde loi de distributivité

¬(p∧q)|=| ¬p∨ ¬q Première loi de de Morgan

¬(p∨q)|=| ¬p∧ ¬q Seconde loi de de Morgan

Comme avant : table de vérité, puis appliquer le théorème des substitutions.

Objectif

I Au-dessus : substituer dans des équivalences préalablement établies des variables par des formules quelconques.

I Deuxième méthode : On part d'une équivalence préalablement établie p|=|q et on construit une nouvelle équivalence en remplaçant dans une formule quelconque une variable, disons x, une fois par p et une fois par q.

Objectif

I Au-dessus : substituer dans des équivalences préalablement établies des variables par des formules quelconques.

I Deuxième méthode : On part d'une équivalence préalablement établie p|=|q et on construit une nouvelle équivalence en remplaçant dans une formule quelconque une variable, disons x, une fois par p et une fois par q.

Théorème : Soient p₁ |=|q₁, . . . ,p_n|=|q_n, p une formule, et x1, . . . ,xn⊆ V(p) des variables diérentes. Alors

p[x₁/p₁, . . . ,x_n/p_n]|=|p[x₁/q₁, . . . ,x_n/q_n]

Démonstration

Il faut montrer que pour toute aectation v on a que [[p[x1/p1, . . . ,xn/pn]]]v = [[p[x1/q1, . . . ,xn/qn]]]v Puisque p_i |=|q_i pour tout i on a aussi que[[p_i]]v = [[q_i]]v pour tout i.

On obtient la chaîne d'égalités suivante :

Démonstration (suite)

[[p[x₁/p₁, . . . ,x_n/p_n]]]v

= [[p]](v[x₁/[[p₁]]v, . . . ,x_n/[[p_n]]v]) par proposition 5 du poly

= [[p]](v[x1/[[q1]]v, . . . ,xn/[[qn]]v]) car[[pi]]v = [[qi]]v pour tout i

= [[p[x₁/q₁, . . . ,x_n/q_n]]]v par proposition 5 du poly

Exemple

Nous savons par exemple, selon le théorème 9 du poly, que

¬(y₁∧y₂)

| {z }

p1

|=| ¬y₁∨ ¬y₂

| {z }

q1

¬(z₁∨z₂)

| {z }

p2

|=| ¬z₁∧ ¬z₂

| {z }

q2

Avec la formule p= (¬x₁∧x₂) on obtient la nouvelle équivalence suivante :

¬¬(y₁∧y₂)∧ ¬(z₁∨z₂)

| {z }

p[x1/p1,x2/p2]

|=| ¬(¬y₁∨ ¬y₂)∧(¬z₁∧ ¬z₂)

| {z }

p[x1/q1,x2/q2]