II- Logique propositionnelle

(1)

II- Logique propositionnelle

(2)

Les formules

D´efinition 1

Soit X ={x₁, . . . ,x_n} un ensemble infini de variables.

L’ensembleF des formulesdu calcul propositionnel est d´efini inductivement comme suit :

I (B.1) : Toute variable est une formule I (B.2) : ⊥est une formule

I (I.1) si F est une formule alors ¬F est une formule I (I.2) : Si F et G sont des formules alors F G o`u

∈ {⇒,∨,∧} est une formule

Notation :F ⇔G repr´esente la formule (F ⇒G)∧(G ⇒F).

Priorités :¬à la plus forte priorité, suivi de∧, suivi de∨, suivi de

⇒.

Associativité : à gauche pour∨ et∧, à droite pour ⇒.

¬p∨q∧r ⇒s ⇒t se comprend ((¬p)∨(q∧r))⇒(s ⇒t)

(3)

Les formules

D´efinition 1

⇒.

(4)

Les formules

D´efinition 1

⇒.

(5)

S´ emantique : donner un sens aux formules

Pour le moment : Formule = “Gros tas de symboles sansaucun sens”

Consid´erons la formule : p∨q ⇒r. Est-elle vraieou fausse? ? ? ? ? ? ?

C¸ a d´epend. . . I de la signification des symboles ∨,∧,⇒ I de la valeur de p,q etr :vraiou faux

Ne d´epend pasde la significationdep,q et r.

(6)

S´ emantique : donner un sens aux formules

C¸ a d´epend. . . I de la signification des symboles ∨,∧,⇒ I de la valeur de p,q etr :vraiou faux

(7)

S´ emantique : donner un sens aux formules

C¸ a d´epend. . .

I de la signification des symboles ∨,∧,⇒ I de la valeur de p,q etr :vraiou faux

(8)

S´ emantique : donner un sens aux formules

C¸ a d´epend. . .

I de la signification des symboles ∨,∧,⇒

I de la valeur de p,q etr :vraiou faux

(9)

S´ emantique : donner un sens aux formules

C¸ a d´epend. . . I de la signification des symboles∨,∧,⇒ I de la valeur de p,q etr :vraiou faux

(10)

S´ emantique : donner un sens aux formules

C¸ a d´epend. . . I de la signification des symboles∨,∧,⇒ I de la valeur de p,q etr :vraiou faux

(11)

S´ emantique et alg` ebre de Boole

Donner un sens aux formules =interpr´eterdans l’alg`ebre de Boole

D´efinition 2

Une interprétation du calcul propositionnel est une fonction I :X 7→B. On étend I de manière inductive àF comme suit :

I Le cas des variables est déjà traité, I I(⊥) = 0,

I Si F est une formule alors I(¬F) = ˙¬I(F),

I Si F et G sont des formules alors I(F ∨G) =I(F) ˙∨I(G), I Si F et G sont des formules alors I(F ∧G) =I(F) ˙∧I(G), I Si F et G sont des formules alors I(F ⇒G) =I(F) ˙⇒I(G).

La seule notion de vérité autorisée

(12)

S´ emantique et alg` ebre de Boole

Donner un sens aux formules =interpréterdans l’algèbre de Boole Définition 2

(13)

S´ emantique et alg` ebre de Boole

(14)

S´ emantique et alg` ebre de Boole

(15)

S´ emantique et alg` ebre de Boole

I Si F et G sont des formules alors I(F ∨G) =I(F) ˙∨I(G),

I Si F et G sont des formules alors I(F ∧G) =I(F) ˙∧I(G), I Si F et G sont des formules alors I(F ⇒G) =I(F) ˙⇒I(G).

(16)

S´ emantique et alg` ebre de Boole

I Si F et G sont des formules alors I(F ∨G) =I(F) ˙∨I(G), I Si F et G sont des formules alors I(F ∧G) =I(F) ˙∧I(G),

I Si F et G sont des formules alors I(F ⇒G) =I(F) ˙⇒I(G).

(17)

S´ emantique et alg` ebre de Boole

(18)

S´ emantique et alg` ebre de Boole

(19)

S´ emantique : repr´ esentation via les tables de v´ erit´ es

Id´ee : dresser la table detoutesles interpr´etations possibles

I une lignepar interpr´etation (valeurs possibles des variables) I pr´esentation des sous formules en colonnes

Exemple : (p⇒q)⇒ ¬p

p q p ⇒q ¬p (p ⇒q)⇒ ¬p

1 1 1 0 0

1 0 0 0 1

0 1 1 1 1

0 0 1 1 1

(20)

S´ emantique : repr´ esentation via les tables de v´ erit´ es

Idée : dresser la table detoutesles interprétations possibles I une lignepar interprétation (valeurs possibles des variables) I présentation des sous formules en colonnes

p q p ⇒q ¬p (p ⇒q)⇒ ¬p

1 1 1 0 0

1 0 0 0 1

0 1 1 1 1

0 0 1 1 1

(21)

S´ emantique : repr´ esentation via les tables de v´ erit´ es

p q p ⇒q ¬p (p ⇒q)⇒ ¬p

1 1 1 0 0

1 0 0 0 1

0 1 1 1 1

0 0 1 1 1

(22)

S´ emantique : repr´ esentation via les tables de v´ erit´ es

p q p ⇒q ¬p (p ⇒q)⇒ ¬p

1 1 1 0 0

1 0 0 0 1

0 1 1 1 1

0 0 1 1 1

(23)

S´ emantique : repr´ esentation via les tables de v´ erit´ es

p q p ⇒q ¬p (p ⇒q)⇒ ¬p

1 1 1 0 0

1 0 0 0 1

0 1 1 1 1

0 0 1 1 1

(24)

S´ emantique : repr´ esentation via les tables de v´ erit´ es

p q p ⇒q ¬p (p ⇒q)⇒ ¬p

1 1 1 0 0

1 0 0 0 1

0 1 1 1 1

0 0 1 1 1

(25)

Satisfaction, d´ eduction et autres

D´efinition 3

I I(F) = 1 : I satisfaitF , not´e I |=F .

I Si Σens. de formules et si I |=F pour toute F ∈Σ: I satisfait Σ, not´e I |= Σ.

I F est une tautologie(|=F ) si pour touteinterpr´etation I , I |=F .

I Σ estcontradictoire si il n’existeaucuneinterpr´etation I tel que I |= Σ.

I Σ déduit sémantiquementF (Σ|=F ) sitouteinterprétation qui satisfait Σsatisfait aussi F .

I F et G sonts´emantiquement ´equivalentes(F ≡G ) si {F} |=G et{G} |=F .

SiI(p) =I(q) =I(r) = 0 alors I |=p∨q ⇒r

(26)

Satisfaction, d´ eduction et autres

D´efinition 3

SiI(p) =I(r) = 0 etI(q) = 1 alors I ne satisfait pas p∨q ⇒r.

(27)

Satisfaction, d´ eduction et autres

D´efinition 3

SiI(p) = 1 alors I |={p∨q,¬p ⇒r}.

(28)

Satisfaction, d´ eduction et autres

D´efinition 3

SiI(p) = 1 alors I ne satisfait pas {p∨q,¬p}.

(29)

Satisfaction, d´ eduction et autres

D´efinition 3

p∨ ¬p, p ⇒p, (p⇒r)∨(¬p ⇒r) sont des tautologies.

(30)

Satisfaction, d´ eduction et autres

D´efinition 3

(p ⇒r)∧(¬p⇒r) n’estpasune tautologie.

(31)

Satisfaction, d´ eduction et autres

D´efinition 3

{p∧ ¬p},{p,¬q,p ⇒q}sont contradictoires.

(32)

Satisfaction, d´ eduction et autres

D´efinition 3

{p∧q},{p,q,p ⇒q} ne sontpascontradictoires.

(33)

Satisfaction, d´ eduction et autres

D´efinition 3

{p,p ⇒q} |=q, {p∨q,p ⇒q} |=q

(34)

Satisfaction, d´ eduction et autres

D´efinition 3

{p,q ⇒p}ne satisfait pas q.

(35)

Satisfaction, d´ eduction et autres

D´efinition 3

p⇒q ≡ ¬p∨q, p≡ ¬¬p

(36)

Satisfaction, d´ eduction et autres

D´efinition 3

p⇒q 6≡q ⇒p, (p∧q)∨(p⇒q)6≡q

(37)

Mod´ elisation

Un logicien écoute un de ses étudiants énumérer ses sentiments à propos des cours que ce dernier suit :

I J’aime la logique ou j’aime l’informatique, I Si j’aime l’informatique alors j’aime la logique.

Le logicien conclut que l’´etudiant aime la logique. Pourquoi ?

“Parce l’étudiant a intérêt à aimer la logique sinon il va avoir des ennuis”

N’est pas une démonstration(même si c’est une réponse prudente)

(38)

Mod´ elisation

Un logicien écoute un de ses étudiants énumérer ses sentiments à propos des cours que ce dernier suit :

I J’aime la logique ou j’aime l’informatique, I Si j’aime l’informatique alors j’aime la logique.

Le logicien conclut que l’´etudiant aime la logique. Pourquoi ?

“Parce l’étudiant a intérêt à aimer la logique sinon il va avoir des ennuis”

N’est pas une démonstration(même si c’est une réponse prudente)

(39)

Mod´ elisation : la bonne r´ eponse

Soientaet b deux variables repr´esentant respectivement “j’aime la logique” et “j’aime l’informatique”.

Le deux phrases de l’étudiant sont alors représentées par : I a∨b

I b ⇒a

La déduction du logicien est représentée par : a.

On veutd´emontrerque a∨b,b ⇒a|=a.

Plusieurs méthodes : I Par table de vérité.

I Par raisonnement s´emantique:

On prendI t.q. I |={a∨b,b⇒a} et on montre queI |=a. I SiI |=aon a fini

I SiI |=b, alors puisqueI |=b⇒a, on aI |=a.

(40)

Mod´ elisation : la bonne r´ eponse

I b ⇒a

(41)

Mod´ elisation : la bonne r´ eponse

I b ⇒a

(42)

Mod´ elisation : la bonne r´ eponse

I b ⇒a

On prendI t.q. I |={a∨b,b⇒a} et on montre queI |=a.

I SiI |=aon a fini

(43)

Mod´ elisation : la bonne r´ eponse

I b ⇒a

I SiI |=aon a fini

(44)

Mod´ elisation : la bonne r´ eponse

I b ⇒a

I SiI |=aon a fini

(45)

Un premier r´ esultat

Proposition 1

Soient F et G deux formules etΣun ensemble de formules.

1. Σ|=F ⇒G si et seulement siΣ,F |=G .

2. Σ|=F si et seulement siΣ,¬F est contradictoire.

(46)

Un premier r´ esultat

Proposition 1

1, ⇒ :On suppose Σ|=F ⇒G.

I(F ⇒G) = 1 =I(F) ˙⇒I(G) = 1 ˙⇒I(G) et doncI(G) = 1.

(47)

Un premier r´ esultat

Proposition 1

1, ⇐ :On suppose Σ,F |=G. SoitI t.q. I |= Σ. Deux cas :

(48)

Un premier r´ esultat

Proposition 1

1. I(F) = 1. AlorsI |= Σ,F, donc I |=G et doncI |=F ⇒G.

(49)

Un premier r´ esultat

Proposition 1

1. I(F) = 1. AlorsI |= Σ,F, donc I |=G et doncI |=F ⇒G. 2. I(F) = 0. AlorsI(F ⇒G) =I(F) ˙⇒I(G) = 0 ˙⇒I(G) = 1 et

donc I |=F ⇒G.

(50)

Un premier r´ esultat

Proposition 1

2,⇒ :On suppose Σ|=F SoitI. Deux cas :

(51)

Un premier r´ esultat

Proposition 1

1. I |= Σ : alors I |=F et doncI(¬F) = ˙¬I(F) = 0 et donc I ne satisfait pas Σ,¬F.

(52)

Un premier r´ esultat

Proposition 1

1. I |= Σ : alors I |=F et doncI(¬F) = ˙¬I(F) = 0 et donc I ne satisfait pas Σ,¬F.

2. I ne satisfait pas Σ et alors I ne satisfait pas Σ,¬F. Donc aucune interpr´etation ne satisfait Σ,¬F

(53)

Un premier r´ esultat

Proposition 1

2,⇐ :On suppose Σ,¬F contradictoire.

SoitI tq I |= Σ.

Puisque Σ,¬F contradictoire et I |= Σ,I ne satisfait pas ¬F et doncI(¬F) = 0 = ˙¬I(F) donc I(F) = 1.

(54)

Remplacement

D´efinition 4 (Remplacement)

On d´efinit leremplacement d’une variablep par uneformule G dans uneformuleF , not´ee F[p :=G]par induction sur F comme suit :

p[p:=G] =G

q[p:=G] =q si p6=q

⊥[p :=G] =⊥

(F₁F₂)[p:=G] = (F₁[p :=G])(F₂[p :=G]) si ∈ {∧,∨,⇒}

(¬F)[p:=G] =¬(F[p :=G])

(p∧q ⇒q)[q :=r∨s] =p∧(r∨s)⇒(r∨s)

(55)

Remplacement

p[p:=G] =G

q[p:=G] =q si p6=q

⊥[p :=G] =⊥

(F₁F₂)[p:=G] = (F₁[p :=G])(F₂[p :=G]) si ∈ {∧,∨,⇒}

(¬F)[p:=G] =¬(F[p :=G])

(p∧q ⇒q)[q :=r∨s] =

p∧(r∨s)⇒(r∨s)

(56)

Remplacement

p[p:=G] =G

q[p:=G] =q si p6=q

⊥[p :=G] =⊥

(F₁F₂)[p:=G] = (F₁[p :=G])(F₂[p :=G]) si ∈ {∧,∨,⇒}

(¬F)[p:=G] =¬(F[p :=G])

(p∧q ⇒q)[q :=r∨s] =p∧(r∨s)⇒(r∨s)

(57)

Interpr´ etation et remplacement

Proposition 2

Soient F et G deux formules, p une variable et I une interpr´etation.

Soit alors, I⁰ l’interpr´etation d´efinie comme suit : I⁰(p)=I(G)

I⁰(q)=I(q) si q 6=p On a : I(F[p :=G]) =I⁰(F).

Preuve : Par induction surF.

(58)

Interpr´ etation et remplacement

Proposition 2

(59)

Interpr´ etation et remplacement

Proposition 2

Preuve : Par induction surF. I(p[p :=G]) =I(G) =I⁰(p),

(60)

Interpr´ etation et remplacement

Proposition 2

siq 6=p,I(q[p :=G]) =I(q) =I⁰(q)

(61)

Interpr´ etation et remplacement

Proposition 2

Preuve : Par induction surF. I(⊥[p :=G]) =I(⊥) = 0 =I⁰(⊥)

(62)

Interpr´ etation et remplacement

Proposition 2

Preuve : Par induction surF. si ∈ {∧,∨,⇒},

I((F₁F₂)[p :=G]) =I(F₁[p:=G]) ˙I(F₂[p :=G]).

(63)

Interpr´ etation et remplacement

Proposition 2

I((F₁F₂)[p :=G]) =I(F₁[p:=G]) ˙I(F₂[p :=G]).

MaisI(F1[p:=G]) =I⁰(F1) etI(F1[p :=G]) =I⁰(F2) par h.i.

(64)

Interpr´ etation et remplacement

Proposition 2

I((F₁F₂)[p :=G]) =I(F₁[p:=G]) ˙I(F₂[p :=G]).

MaisI(F1[p:=G]) =I⁰(F1) etI(F1[p :=G]) =I⁰(F2) par h.i.

DoncI((F₁F₂)[p:=G]) =I⁰(F₁) ˙I⁰(F₂) =I⁰(F₁F₂).

(65)

Interpr´ etation et remplacement

Proposition 2

Preuve : Par induction surF. I((¬F)[p :=G]) = ˙¬I(F[p:=G])

(66)

Interpr´ etation et remplacement

Proposition 2

Preuve : Par induction surF. I((¬F)[p :=G]) = ˙¬I(F[p:=G]) MaisI(F[p:=G]) =I⁰(F) par h.i.

(67)

Interpr´ etation et remplacement

Proposition 2

Preuve : Par induction surF. I((¬F)[p :=G]) = ˙¬I(F[p:=G]) MaisI(F[p:=G]) =I⁰(F) par h.i.

DoncI((¬F)[p:=G]) = ˙¬I⁰(F) =I⁰(¬F).

(68)

Proposition 3

Si F , F⁰, G et G⁰ sont des formules, et si p est une variable, alors : 1. Si |=F alors |=F[p :=G]

2. Si F ≡F⁰ alors F[x :=G]≡F⁰[x :=G] 3. Si G ≡G⁰ alors F[x :=G]≡F[x :=G⁰]

Preuve :

(69)

Proposition 3

Preuve :

1. SoitI et I⁰ telle que d´efinie `a la Proposition 2. On sait que I(F[p:=G]) =I⁰(F) mais |=F et doncI⁰ |=F et donc I |=F[p :=G].

(70)

Proposition 3

Preuve :

2. SoitI et I⁰ telle que définie à la Proposition 2 pour F. On remarque queI⁰ est telle que définie à la Proposition 2 pourF⁰ et

I(F[x :=G]) =I⁰(F) =I⁰(F⁰) =I(F⁰[x :=G]).

(71)

Proposition 3

Preuve :

3. SoitI et I⁰ telle que définie à la Proposition 2 pour G. On remarque queI⁰ est telle que définie à la Proposition 2 pourG⁰ et

I(F[x :=G]) =I⁰(F) =I(F[x :=G⁰]).

(72)

Des ´ equivalences

F ∧F ≡F F ∨F ≡F

F ∧G ≡G ∧F F ∨G ≡G ∨F

F ∧(G ∧H) ≡(F ∧G)∧H F ∨(G ∨H) ≡(F ∨G)∨H F ∧(G ∨H) ≡(F ∧G)∨(F ∧H) F ∨(G ∧H) ≡(F ∨G)∧(F ∨H)

¬(F ∧G) ≡ ¬F ∨ ¬G ¬(F ∨G) ≡ ¬F ∧ ¬G

F ⇒G ≡ ¬F ∨G ¬(F ⇒G) ≡F ∧ ¬G

⊥ ∧F ≡ ⊥ ⊥ ∨F ≡F

¬¬F ≡F

Preuve : Table de vérité pour des variables + Proposition précédente.

(73)

Des ´ equivalences

F ∧F ≡F F ∨F ≡F

F ∧G ≡G ∧F F ∨G ≡G ∨F

F ∧(G ∧H) ≡(F ∧G)∧H F ∨(G ∨H) ≡(F ∨G)∨H F ∧(G ∨H) ≡(F ∧G)∨(F ∧H) F ∨(G ∧H) ≡(F ∨G)∧(F ∨H)

¬(F ∧G) ≡ ¬F ∨ ¬G ¬(F ∨G) ≡ ¬F ∧ ¬G

F ⇒G ≡ ¬F ∨G ¬(F ⇒G) ≡F ∧ ¬G

⊥ ∧F ≡ ⊥ ⊥ ∨F ≡F

¬¬F ≡F

Preuve : Table de vérité pour des variables + Proposition précédente.

(74)

Définition 5 (Atome, clause et forme canonique) I littéral:variableounégation de variable

I clause : Disjonction delittéraux(éventuellement un seul littéral)

I Forme normale conjonctive (FNC) : Conjonction de clauses (´eventuellement une seule clause)

I Forme normale disjonctive(FND) : Disjonction de conjonctions de litt´eraux

p,¬q : litt´eraux

(75)

p∨p,¬¬p : non litt´eraux

(76)

p,¬p,p∨ ¬q : clauses

(77)

¬(p∨q), p∧q, (¬¬p)∨q : non clauses

(78)

p,¬p,p∨ ¬q,p∧ ¬q, (p∨q)∧q∧(r∨p) : FNC

(79)

¬(p∧q), (¬¬p)∧q : non FNC

(80)

(81)

Proposition 4

A toute formule F , on peut associer une formule F` ⁰ telle que : I F ≡F⁰

I F⁰ est en FNC

Preuve :

I On peut supposer que F ne contient pas⊥via ⊥ ≡p∧ ¬p, I ViaF ⇒G ≡ ¬F ∨G, on peut supposer queF ne contient

pas d’implication,

I On place les¬ directement sur les variables via ¬¬F ≡F,

¬(F ∧G)≡ ¬F ∨ ¬G et ¬(F ∨G)≡ ¬F ∧ ¬G,

I On place les∧ en tˆete via F ∨(G∧H)≡(F ∨G)∧(F ∨H).

(82)

Proposition 4

I F⁰ est en FNC

Preuve :

I On peut supposer que F ne contient pas⊥via ⊥ ≡p∧ ¬p,

I ViaF ⇒G ≡ ¬F ∨G, on peut supposer queF ne contient pas d’implication,

¬(F ∧G)≡ ¬F ∨ ¬G et ¬(F ∨G)≡ ¬F ∧ ¬G,

(83)

Proposition 4

I F⁰ est en FNC

Preuve :

I On peut supposer que F ne contient pas⊥via ⊥ ≡p∧ ¬p, I ViaF ⇒G ≡ ¬F ∨G, on peut supposer que F ne contient

¬(F ∧G)≡ ¬F ∨ ¬G et ¬(F ∨G)≡ ¬F ∧ ¬G,

(84)

Proposition 4

I F⁰ est en FNC

Preuve :

¬(F ∧G)≡ ¬F ∨ ¬G et ¬(F ∨G)≡ ¬F ∧ ¬G,

(85)

Proposition 4

I F⁰ est en FNC

Preuve :

¬(F ∧G)≡ ¬F ∨ ¬G et ¬(F ∨G)≡ ¬F ∧ ¬G,

I On place les∧ en tˆete viaF ∨(G∧H)≡(F ∨G)∧(F ∨H).

(86)

Proposition 4

I F⁰ est en FND

Preuve :

¬(F ∧G)≡ ¬F ∨ ¬G et ¬(F ∨G)≡ ¬F ∧ ¬G,

I On place les∨ en tˆete viaF ∧(G∨H)≡(F ∧G)∨(F ∧H).