Chapitre 3 Lois de la logique propositionnelle Cours 5 Complétude des opérateurs

Chapitre 3

Lois de la logique propositionnelle Cours 5

Complétude des opérateurs

Chapitre 3 Lois de la logique propositionnelle Cours 5 Complétude des opérateurs Autres opérateurs booléens

Objectif

I Il est souvent pratique d'utiliser d'autres opérateurs booléens que les trois opérateurs¬,∧,∨que nous avons considéré jusqu'à maintenant.

I Ces opérateurs sont dénis comme des abréviations.

I La dénition de la syntaxe des formules reste donc inchangée, mais on autorise dans la suite pour l'écriture des formules les abréviations suivantes :

Objectif

I Il est souvent pratique d'utiliser d'autres opérateurs booléens que les trois opérateurs¬,∧,∨que nous avons considéré jusqu'à maintenant.

I Ces opérateurs sont dénis comme des abréviations.

I La dénition de la syntaxe des formules reste donc inchangée, mais on autorise dans la suite pour l'écriture des formules les abréviations suivantes :

Chapitre 3 Lois de la logique propositionnelle Cours 5 Complétude des opérateurs Autres opérateurs booléens

Objectif

I Il est souvent pratique d'utiliser d'autres opérateurs booléens que les trois opérateurs¬,∧,∨que nous avons considéré jusqu'à maintenant.

I Ces opérateurs sont dénis comme des abréviations.

I La dénition de la syntaxe des formules reste donc inchangée, mais on autorise dans la suite pour l'écriture des formules les abréviations suivantes :

Opérateurs dérivés

Opérateur Nom Dénition

⇒ Implication x ⇒y = ¬x∨y

⇔ Équivalence x ⇔y = (¬x ∨y)∧(¬y ∨x) True Constante vrai True = x ∨ ¬x

False Constante faux False = x∧ ¬x

⊕ Ou exclusif x⊕y = (x∧ ¬y)∨(¬x∧y)

↑ Nand x ↑y = ¬(x ∧y)

↓ Nor x ↓y = ¬(x ∨y)

Chapitre 3 Lois de la logique propositionnelle Cours 5 Complétude des opérateurs Autres opérateurs booléens

Remarques

I Nand et Nor sont des noms anglais (contraction de Not-And et Not-Or)

I On dit parfois xor à la place de Ou exclusif .

I On pourrait aussi imaginer des opérateurs booléens avec plus que deux arguments.

I Par exemple,

.(x,y,z) =_def (x ⊕y)⇒z est une abréviation pour

¬((x∧ ¬y)∨(¬x ∧y))∨z

Remarques

I Nand et Nor sont des noms anglais (contraction de Not-And et Not-Or)

I On dit parfois xor à la place de Ou exclusif .

I On pourrait aussi imaginer des opérateurs booléens avec plus que deux arguments.

I Par exemple,

.(x,y,z) =_def (x ⊕y)⇒z est une abréviation pour

¬((x∧ ¬y)∨(¬x ∧y))∨z

Chapitre 3 Lois de la logique propositionnelle Cours 5 Complétude des opérateurs Autres opérateurs booléens

Remarques

I Nand et Nor sont des noms anglais (contraction de Not-And et Not-Or)

I On dit parfois xor à la place de Ou exclusif .

I On pourrait aussi imaginer des opérateurs booléens avec plus que deux arguments.

I Par exemple,

.(x,y,z) =_def (x ⊕y)⇒z est une abréviation pour

¬((x∧ ¬y)∨(¬x ∧y))∨z

Remarques

I Nand et Nor sont des noms anglais (contraction de Not-And et Not-Or)

I On dit parfois xor à la place de Ou exclusif .

I On pourrait aussi imaginer des opérateurs booléens avec plus que deux arguments.

I Par exemple,

.(x,y,z) =_def (x ⊕y)⇒z est une abréviation pour

¬((x∧ ¬y)∨(¬x ∧y))∨z

Chapitre 3 Lois de la logique propositionnelle Cours 5 Complétude des opérateurs Autres opérateurs booléens

Lois pour les nouveaux opérateurs

True∧p |=|p True est l'élément neutre de la conjonction False∨p|=|p False est l'élément neutre de la disjonction False∧p|=|False False est l'élément nul de la conjonction True∨p |=|True True est l'élément nul de la disjonction p ⇒q |=| ¬q ⇒ ¬p Loi de la contraposition

p ⇔q |=|(p⇒q)∧(q ⇒p) p ⇔q |=| ¬p ⇔ ¬q

p ⇒(q ⇒r)|=|(p∧q)⇒r

Lois pour les nouveaux opérateurs

True∧p |=|p True est l'élément neutre de la conjonction False∨p|=|p False est l'élément neutre de la disjonction False∧p|=|False False est l'élément nul de la conjonction True∨p |=|True True est l'élément nul de la disjonction p ⇒q |=| ¬q ⇒ ¬p Loi de la contraposition

p ⇔q |=|(p⇒q)∧(q ⇒p) p ⇔q |=| ¬p ⇔ ¬q

p ⇒(q ⇒r)|=|(p∧q)⇒r

Chapitre 3 Lois de la logique propositionnelle Cours 5 Complétude des opérateurs Autres opérateurs booléens

Lois pour les nouveaux opérateurs

True∧p |=|p True est l'élément neutre de la conjonction False∨p|=|p False est l'élément neutre de la disjonction False∧p|=|False False est l'élément nul de la conjonction True∨p |=|True True est l'élément nul de la disjonction p ⇒q |=| ¬q ⇒ ¬p Loi de la contraposition

p ⇔q |=|(p⇒q)∧(q ⇒p) p ⇔q |=| ¬p ⇔ ¬q

p ⇒(q ⇒r)|=|(p∧q)⇒r

Lois pour les nouveaux opérateurs

True∧p |=|p True est l'élément neutre de la conjonction False∨p|=|p False est l'élément neutre de la disjonction False∧p|=|False False est l'élément nul de la conjonction True∨p |=|True True est l'élément nul de la disjonction p ⇒q |=| ¬q ⇒ ¬p Loi de la contraposition

p ⇔q |=|(p⇒q)∧(q ⇒p) p ⇔q |=| ¬p ⇔ ¬q

p ⇒(q ⇒r)|=|(p∧q)⇒r

Chapitre 3 Lois de la logique propositionnelle Cours 5 Complétude des opérateurs Autres opérateurs booléens

Lois pour les nouveaux opérateurs

True∧p |=|p True est l'élément neutre de la conjonction False∨p|=|p False est l'élément neutre de la disjonction False∧p|=|False False est l'élément nul de la conjonction True∨p |=|True True est l'élément nul de la disjonction p ⇒q |=| ¬q ⇒ ¬p Loi de la contraposition

p ⇔q |=|(p⇒q)∧(q ⇒p) p ⇔q |=| ¬p ⇔ ¬q

p ⇒(q ⇒r)|=|(p∧q)⇒r

Remarques

I Ces abréviations sont utiles mais pas strictement nécessaires car on peut toujours les remplacer par leur dénition.

I On aurait pu dénir la logique propositionnelle seulement avec les opérateurs ¬et ∧car on peut exprimer∨ par ces deux opérateurs :

x ∨y |=| ¬¬(x∨y) Loi de la double négation

|=| ¬(¬x∧ ¬y) Seconde loi de de Morgan

I Autre possibilité : seulement¬ et∨.

Chapitre 3 Lois de la logique propositionnelle Cours 5 Complétude des opérateurs Autres opérateurs booléens

Remarques

I Ces abréviations sont utiles mais pas strictement nécessaires car on peut toujours les remplacer par leur dénition.

I On aurait pu dénir la logique propositionnelle seulement avec les opérateurs ¬et ∧car on peut exprimer∨ par ces deux opérateurs :

x ∨y |=| ¬¬(x∨y) Loi de la double négation

|=| ¬(¬x∧ ¬y) Seconde loi de de Morgan

I Autre possibilité : seulement¬ et∨.

Remarques

I Ces abréviations sont utiles mais pas strictement nécessaires car on peut toujours les remplacer par leur dénition.

I On aurait pu dénir la logique propositionnelle seulement avec les opérateurs ¬et ∧car on peut exprimer∨ par ces deux opérateurs :

x ∨y |=| ¬¬(x∨y) Loi de la double négation

|=| ¬(¬x∧ ¬y) Seconde loi de de Morgan

I Autre possibilité : seulement¬ et∨.

Chapitre 3 Lois de la logique propositionnelle Cours 5 Complétude des opérateurs Autres opérateurs booléens

Est-ce qu'il y a d'autres choix possibles ?

I Un choix possible est¬ et⇒ car on peut dénir x∨y par

¬x ⇒y : ¬x ⇒y est une abréviation pour¬¬x ∨y, ce qui est équivalent à x ∨y par la loi de la double négation.

I ∧ et∨ne sont pas susantes (voir TD)

I On aurait pu dénir toute la logique avec un seul opérateur ! (voir le TD)

Est-ce qu'il y a d'autres choix possibles ?

I Un choix possible est¬ et⇒ car on peut dénir x∨y par

¬x ⇒y : ¬x ⇒y est une abréviation pour¬¬x ∨y, ce qui est équivalent à x ∨y par la loi de la double négation.

I ∧ et∨ne sont pas susantes (voir TD)

I On aurait pu dénir toute la logique avec un seul opérateur ! (voir le TD)

Chapitre 3 Lois de la logique propositionnelle Cours 5 Complétude des opérateurs Autres opérateurs booléens

Est-ce qu'il y a d'autres choix possibles ?

I Un choix possible est¬ et⇒ car on peut dénir x∨y par

¬x ⇒y : ¬x ⇒y est une abréviation pour¬¬x ∨y, ce qui est équivalent à x ∨y par la loi de la double négation.

I ∧ et∨ne sont pas susantes (voir TD)

I On aurait pu dénir toute la logique avec un seul opérateur ! (voir le TD)

Complétude Fonctionnelle

Est-ce que¬,∧,∨sont susant pour exprimer tout ce qu'on peut souhaiter exprimer ?

Chapitre 3 Lois de la logique propositionnelle Cours 5 Complétude des opérateurs Autres opérateurs booléens

Formellement

Un ensembleS de connecteurs est fonctionnellement completsi pour tout nombre naturel n, et pour toute fonction f

f : {0,1} ×. . .× {0,1}

| {z }

n fois

→ {0,1}

on peut trouver une formule propositionnelle p contenant

uniquement les connecteurs de l'ensembleS, telle que p qui réalise f etV(p)⊆ {x₁, . . . ,x_n}, c'est-à-dire t.q.

[[p]][x1 7→b1, . . . ,xn7→bn] =f(b1, . . . ,bn) pour toutes les valeurs booléennes b1, . . . ,bn∈ {0,1}.

Notre logique avec {¬, ∧, ∨} est fonctionnellement complète

I On peut représenter chaque choix des n arguments par une formule, par exemple le choix c = (1,0,0,1)∈ {0,1}⁴ est représenté par la formule pc =x1∧ ¬x2∧ ¬x3∧x4.

I Cette formule est vraie dans une aectation v si et seulement si v(x1) =1, v(x2) =0, v(x3) =0, et v(x4) =1.

I Construire la formule p comme la disjonction de toutes les formules p_c pour les n-uplets c pour lesquelles f donne le résultat 1.

Chapitre 3 Lois de la logique propositionnelle Cours 5 Complétude des opérateurs Autres opérateurs booléens

Notre logique avec {¬, ∧, ∨} est fonctionnellement complète

I On peut représenter chaque choix des n arguments par une formule, par exemple le choix c = (1,0,0,1)∈ {0,1}⁴ est représenté par la formule pc =x1∧ ¬x2∧ ¬x3∧x4.

I Cette formule est vraie dans une aectation v si et seulement si v(x1) =1, v(x2) =0, v(x3) =0, et v(x4) =1.

I Construire la formule p comme la disjonction de toutes les formules p_c pour les n-uplets c pour lesquelles f donne le résultat 1.

Notre logique avec {¬, ∧, ∨} est fonctionnellement complète

I On peut représenter chaque choix des n arguments par une formule, par exemple le choix c = (1,0,0,1)∈ {0,1}⁴ est représenté par la formule pc =x1∧ ¬x2∧ ¬x3∧x4.

I Cette formule est vraie dans une aectation v si et seulement si v(x1) =1, v(x2) =0, v(x3) =0, et v(x4) =1.

I Construire la formule p comme la disjonction de toutes les formules p_c pour les n-uplets c pour lesquelles f donne le résultat 1.

Chapitre 3 Lois de la logique propositionnelle Cours 5 Complétude des opérateurs Autres opérateurs booléens

Exemple

Soit f la fonction à trois arguments qui renvoie 1 si et seulement si un des ses arguments est 0 et deux de ses arguments sont 1.

Autrement dit, f renvoie 1 exactement pour les arguments(0,1,1), (1,0,1), et (1,1,0).

La formule correspondante est

(¬x₁∧x₂∧x₃)∨(x₁∧ ¬x₂∧x₃)∨(x₁∧x₂∧ ¬x₃)

Ce raisonnement se généralise à n'importe quelle fonction d'arité n≥0.

Exemple

Soit f la fonction à trois arguments qui renvoie 1 si et seulement si un des ses arguments est 0 et deux de ses arguments sont 1.

Autrement dit, f renvoie 1 exactement pour les arguments(0,1,1), (1,0,1), et (1,1,0).

La formule correspondante est

(¬x₁∧x₂∧x₃)∨(x₁∧ ¬x₂∧x₃)∨(x₁∧x₂∧ ¬x₃)

Ce raisonnement se généralise à n'importe quelle fonction d'arité n≥0.

Chapitre 3 Lois de la logique propositionnelle Cours 5 Complétude des opérateurs Autres opérateurs booléens

Complétude fonctionnelle

Intuition de la dénition

Un ensemble d'opérateurs estfonctionnellement complet s'il permet d'exprimer toute fonction booléenne.

Exemples

I {¬,∧,∨}

I {¬,∧}(permet d'exprimer∨)

I {¬,∨}(permet d'exprimer∧)

I {¬,⇒}(permet d'exprimer∨et ∧)

I {↑}(voir le TD)

Complétude fonctionnelle

Intuition de la dénition

Un ensemble d'opérateurs estfonctionnellement complet s'il permet d'exprimer toute fonction booléenne.

Exemples

I {¬,∧,∨}

I {¬,∧}(permet d'exprimer∨)

I {¬,∨}(permet d'exprimer∧)

I {¬,⇒}(permet d'exprimer∨et ∧)

I {↑}(voir le TD)

Chapitre 3 Lois de la logique propositionnelle Cours 5 Complétude des opérateurs Autres opérateurs booléens

Complétude fonctionnelle

Intuition de la dénition

Un ensemble d'opérateurs estfonctionnellement complet s'il permet d'exprimer toute fonction booléenne.

Exemples

I {¬,∧,∨}

I {¬,∧}(permet d'exprimer∨)

I {¬,∨}(permet d'exprimer∧)

I {¬,⇒}(permet d'exprimer∨et ∧)

I {↑}(voir le TD)

Complétude fonctionnelle

Intuition de la dénition

Un ensemble d'opérateurs estfonctionnellement complet s'il permet d'exprimer toute fonction booléenne.

Exemples

I {¬,∧,∨}

I {¬,∧}(permet d'exprimer∨)

I {¬,∨}(permet d'exprimer∧)

I {¬,⇒}(permet d'exprimer∨et ∧)

I {↑}(voir le TD)

Chapitre 3 Lois de la logique propositionnelle Cours 5 Complétude des opérateurs Autres opérateurs booléens

Complétude fonctionnelle

Intuition de la dénition

Un ensemble d'opérateurs estfonctionnellement complet s'il permet d'exprimer toute fonction booléenne.

Exemples

I {¬,∧,∨}

I {¬,∧}(permet d'exprimer∨)

I {¬,∨}(permet d'exprimer∧)

I {¬,⇒}(permet d'exprimer∨et ∧)

I {↑}(voir le TD)

Complétude fonctionnelle

Contre-exemples

I {∧,∨}

I {⇔}

Comment le prouver ?

Trouver une propriété P telle que

I Toutes les fonctions booléennes construites avec le jeu d'opérateurs ont la propriété P (preuve par induction !)

I Il existe une fonction booléene qui n'a pas la propriété P

I Voir le TD !

Chapitre 3 Lois de la logique propositionnelle Cours 5 Complétude des opérateurs Autres opérateurs booléens

Complétude fonctionnelle

Contre-exemples

I {∧,∨}

I {⇔}

Comment le prouver ?

Trouver une propriété P telle que

I Toutes les fonctions booléennes construites avec le jeu d'opérateurs ont la propriété P (preuve par induction !)

I Il existe une fonction booléene qui n'a pas la propriété P

I Voir le TD !

Complétude fonctionnelle

Contre-exemples

I {∧,∨}

I {⇔}

Comment le prouver ?

Trouver une propriété P telle que

I Toutes les fonctions booléennes construites avec le jeu d'opérateurs ont la propriété P (preuve par induction !)

I Il existe une fonction booléene qui n'a pas la propriété P

I Voir le TD !

Chapitre 3 Lois de la logique propositionnelle Cours 5 Complétude des opérateurs Autres opérateurs booléens

Complétude fonctionnelle

Contre-exemples

I {∧,∨}

I {⇔}

Comment le prouver ?

Trouver une propriété P telle que

I Toutes les fonctions booléennes construites avec le jeu d'opérateurs ont la propriété P (preuve par induction !)

I Il existe une fonction booléene qui n'a pas la propriété P

I Voir le TD !

Complétude fonctionnelle

Contre-exemples

I {∧,∨}

I {⇔}

Comment le prouver ?

Trouver une propriété P telle que

I Toutes les fonctions booléennes construites avec le jeu d'opérateurs ont la propriété P (preuve par induction !)

I Il existe une fonction booléene qui n'a pas la propriété P

I Voir le TD !

Chapitre 3 Lois de la logique propositionnelle Cours 5 Complétude des opérateurs Autres opérateurs booléens

Le théorème de déduction

Proposition : Les deux énoncés suivants sont équivalents pour toutes formules propositionnelles p et q:

1. p |=q 2. |=p ⇒q

I Attention, la proposition ne veut pas dire que p |=q et p ⇒q sont la même chose.

I En fait les deux sont d'une nature diérente : Le deuxième est une formule propositionnelle, tandis que le premier est un énoncé qui a comme sujet la relation entre deux formules propositionnelles.

Chapitre 3 Lois de la logique propositionnelle Cours 5 Complétude des opérateurs Autres opérateurs booléens

I Attention, la proposition ne veut pas dire que p |=q et p ⇒q sont la même chose.

I En fait les deux sont d'une nature diérente : Le deuxième est une formule propositionnelle, tandis que le premier est un énoncé qui a comme sujet la relation entre deux formules propositionnelles.