Chapitre 4 Formules de Taylor

(1)

Chapitre 4

Formules de Taylor

31

(2)

32 CHAPITRE 4. FORMULES DE TAYLOR Dans tout ce chapitre, I d´esigne un intervalle de R .

4.1 Rappels sur les d´ eriv´ ees

D´ efinition. Soit f une fonction de I à valeurs réelles. Soit x 0 ∈ I, on dit que f est dérivable en x 0 ssi lim x → x

0

f(x) − f(x

0

)

x − x

0

existe. On appelle alors cette limite la d´eriv´ee de f en x 0 et on la note f ^# (x 0 ) ou _dx ^df (x 0 ).

f est donc d´erivable en x 0 ssi il existe une fonction ε telle que lim _h→0 ε(h) = 0 et

f (x) = f (x 0 ) + f ^# (x 0 )(x − x 0 ) + (x − x 0 )ε(x − x 0 ).

La droite d’´equation y = f(x ₀ ) + f ^# (x ₀ )(x − x ₀ ) repr´esente la tangente de f en x 0 .

Th´ eor` emes principaux

Th´ eor` eme (Théorème des valeurs intermédiaires). Soit f une fonction conti- nue sur I, et soient deux points x 0 , x 1 ∈ I tels que x 0 < x 1 et f (x 0 )f(x 1 ) < 0 (i.e. f change de signe), alors il existe x ₂ ∈ (x ₀ , x ₁ ) tel que f(x ₂ ) = 0.

Th´ eor` eme (Théorème de Rolle). Soit f continue sur [a, b], dérivable sur (a, b), telle que f (a) = f (b), alors il existe c ∈ (a, b) tel que f ^# (c) = 0.

Th´ eor` eme (Théorème des accroissements finis). Soit f continue sur [a, b], dérivable sur (a, b), alors il existe c ∈ (a, b) tel que

f (b) − f(a) = f ^# (c)(b − a).

Th´ eor` eme (Inégalités des accroissements finis). Soit f continue sur [a, b], dérivable sur (a, b), et si on a M > 0 tel que sup _(a,b) | f ^# | ≤ M alors ∀ x, y ∈ [a, b]

| f(x) − f(y) | ≤ M | x − y | .

4.2 Formules de Taylor

Th´ eor` eme (Formule de Taylor-Lagrange). Soit f : I %→ R une fonction de classe C ⁿ⁺¹ pour n ∈ N , Soient a et b deux r´eels de I. Alors, il existe c n ∈ (a, b) tel que

f(b) = f(a)+f ^# (a)(b − a)+ f ^## (a)

2 (b − a) ² + · · · + f ⁽ⁿ⁾ (a)

n! (b − a) ⁿ + f ⁽ⁿ⁺¹⁾ (c)

(n + 1)! (b − a) ⁿ⁺¹ .

(3)

4.2. FORMULES DE TAYLOR 33

La somme

! n

k=0

f ^(k) (a)

k! (b − a) ^k est appelée développement de Taylor à l’ordre n de f en a.

Le terme f ⁽ⁿ⁺¹⁾ (c)

(n + 1)! (b − a) ⁿ⁺¹ est appel´e reste exact.

Exercice : Ecrire la formule de taylor `a l’ordre n dans les cas suivants : 1. f : x %→ e ^x avec a = 0 et b = x.

2. f : x %→ ln(1 + x) avec a = 0 et b = x.

3. x %→ e ^kx o` u k ∈ R , et a = 0 et b = x.

4. a et b deux réels quelconques et f = P un polynôme de degré n.

Th´ eor` eme (Inégalité de Taylor-Lagrange). Soit f : I %→ R une fonction de classe C ⁿ⁺¹ pour n ∈ N , Soient a et b deux réels de I. On suppose que f est telle que ∀ x ∈ [a, b], | f ⁽ⁿ⁺¹⁾ (x) | ≤ M _n+1 o` u M _n+1 est un réel. on a alors :

"

" f(b) − f (a) − f ^# (a)(b − a) − f ^## (a)

2 (b − a) ² − · · · − f ⁽ⁿ⁾ (a)

n! (b − a) ⁿ

"

" ≤ M n+1 | b − a | ⁿ⁺¹

(n + 1)!

Remarques :

1. Ce théorème est extrêmement utile pour obtenir des majorations fines.

2. Sous les hypothèses du théorème, le majorant M _n+1 existe forcément.

En effet, la fonction f ⁿ⁺¹ est continue sur le segment [a, b] donc elle est born´ee et atteint ses bornes.

Exemples :

- Pour tout r´eel x ∈ [0, 1], on a : | exp(x) − 1 − x | ≤ e 2 | x | ² . - Pour tout r´eel positif x,

Chapitre 4 Formules de Taylor

Chapitre 4

Formules de Taylor

31

32 CHAPITRE 4. FORMULES DE TAYLOR Dans tout ce chapitre, I d´esigne un intervalle de R .

4.1 Rappels sur les d´ eriv´ ees

D´ efinition. Soit f une fonction de I à valeurs réelles. Soit x 0 ∈ I, on dit que f est dérivable en x 0 ssi lim x → x

f(x) − f(x

)

x − x

existe. On appelle alors cette limite la d´eriv´ee de f en x 0 et on la note f # (x 0 ) ou dx df (x 0 ).

f est donc d´erivable en x 0 ssi il existe une fonction ε telle que lim h→0 ε(h) = 0 et

f (x) = f (x 0 ) + f # (x 0 )(x − x 0 ) + (x − x 0 )ε(x − x 0 ).

La droite d’´equation y = f(x 0 ) + f # (x 0 )(x − x 0 ) repr´esente la tangente de f en x 0 .

Th´ eor` emes principaux

Th´ eor` eme (Théorème des valeurs intermédiaires). Soit f une fonction conti- nue sur I, et soient deux points x 0 , x 1 ∈ I tels que x 0 < x 1 et f (x 0 )f(x 1 ) < 0 (i.e. f change de signe), alors il existe x 2 ∈ (x 0 , x 1 ) tel que f(x 2 ) = 0.

Th´ eor` eme (Théorème de Rolle). Soit f continue sur [a, b], dérivable sur (a, b), telle que f (a) = f (b), alors il existe c ∈ (a, b) tel que f # (c) = 0.

Th´ eor` eme (Théorème des accroissements finis). Soit f continue sur [a, b], dérivable sur (a, b), alors il existe c ∈ (a, b) tel que

f (b) − f(a) = f # (c)(b − a).

Th´ eor` eme (Inégalités des accroissements finis). Soit f continue sur [a, b], dérivable sur (a, b), et si on a M > 0 tel que sup (a,b) | f # | ≤ M alors ∀ x, y ∈ [a, b]

| f(x) − f(y) | ≤ M | x − y | .

4.2 Formules de Taylor

Th´ eor` eme (Formule de Taylor-Lagrange). Soit f : I %→ R une fonction de classe C n+1 pour n ∈ N , Soient a et b deux r´eels de I. Alors, il existe c n ∈ (a, b) tel que

f(b) = f(a)+f # (a)(b − a)+ f ## (a)

2 (b − a) 2 + · · · + f (n) (a)

n! (b − a) n + f (n+1) (c)

(n + 1)! (b − a) n+1 .

4.2. FORMULES DE TAYLOR 33

La somme

! n

k=0

f (k) (a)

k! (b − a) k est appelée développement de Taylor à l’ordre n de f en a.

Le terme f (n+1) (c)

(n + 1)! (b − a) n+1 est appel´e reste exact.

Exercice : Ecrire la formule de taylor `a l’ordre n dans les cas suivants : 1. f : x %→ e x avec a = 0 et b = x.

2. f : x %→ ln(1 + x) avec a = 0 et b = x.

3. x %→ e kx o` u k ∈ R , et a = 0 et b = x.

4. a et b deux réels quelconques et f = P un polynôme de degré n.

Th´ eor` eme (Inégalité de Taylor-Lagrange). Soit f : I %→ R une fonction de classe C n+1 pour n ∈ N , Soient a et b deux réels de I. On suppose que f est telle que ∀ x ∈ [a, b], | f (n+1) (x) | ≤ M n+1 o` u M n+1 est un réel. on a alors :

"

"

"

" f(b) − f (a) − f # (a)(b − a) − f ## (a)

2 (b − a) 2 − · · · − f (n) (a)

n! (b − a) n

"

"

"

" ≤ M n+1 | b − a | n+1

(n + 1)!

Remarques :

1. Ce théorème est extrêmement utile pour obtenir des majorations fines.

2. Sous les hypothèses du théorème, le majorant M n+1 existe forcément.

En effet, la fonction f n+1 est continue sur le segment [a, b] donc elle est born´ee et atteint ses bornes.

Exemples :

- Pour tout r´eel x ∈ [0, 1], on a : | exp(x) − 1 − x | ≤ e 2 | x | 2 . - Pour tout r´eel positif x,

"

"

"

"

" ln(1 + x) −

! n

k=1

( − 1) k+1 x k k

"

"

"

"

" ≤ x n+1

n + 1

34 CHAPITRE 4. FORMULES DE TAYLOR

existe. On appelle alors cette limite la d´eriv´ee de f en x 0 et on la note f ^# (x 0 ) ou _dx ^df (x 0 ).

f est donc d´erivable en x 0 ssi il existe une fonction ε telle que lim _h→0 ε(h) = 0 et

f (x) = f (x 0 ) + f ^# (x 0 )(x − x 0 ) + (x − x 0 )ε(x − x 0 ).

La droite d’´equation y = f(x ₀ ) + f ^# (x ₀ )(x − x ₀ ) repr´esente la tangente de f en x 0 .

Th´ eor` eme (Théorème des valeurs intermédiaires). Soit f une fonction conti- nue sur I, et soient deux points x 0 , x 1 ∈ I tels que x 0 < x 1 et f (x 0 )f(x 1 ) < 0 (i.e. f change de signe), alors il existe x ₂ ∈ (x ₀ , x ₁ ) tel que f(x ₂ ) = 0.

Th´ eor` eme (Théorème de Rolle). Soit f continue sur [a, b], dérivable sur (a, b), telle que f (a) = f (b), alors il existe c ∈ (a, b) tel que f ^# (c) = 0.

f (b) − f(a) = f ^# (c)(b − a).

Th´ eor` eme (Inégalités des accroissements finis). Soit f continue sur [a, b], dérivable sur (a, b), et si on a M > 0 tel que sup _(a,b) | f ^# | ≤ M alors ∀ x, y ∈ [a, b]

Th´ eor` eme (Formule de Taylor-Lagrange). Soit f : I %→ R une fonction de classe C ⁿ⁺¹ pour n ∈ N , Soient a et b deux r´eels de I. Alors, il existe c n ∈ (a, b) tel que

f(b) = f(a)+f ^# (a)(b − a)+ f ^## (a)

2 (b − a) ² + · · · + f ⁽ⁿ⁾ (a)

n! (b − a) ⁿ + f ⁽ⁿ⁺¹⁾ (c)

(n + 1)! (b − a) ⁿ⁺¹ .

f ^(k) (a)

k! (b − a) ^k est appelée développement de Taylor à l’ordre n de f en a.

Le terme f ⁽ⁿ⁺¹⁾ (c)

(n + 1)! (b − a) ⁿ⁺¹ est appel´e reste exact.

Exercice : Ecrire la formule de taylor `a l’ordre n dans les cas suivants : 1. f : x %→ e ^x avec a = 0 et b = x.

3. x %→ e ^kx o` u k ∈ R , et a = 0 et b = x.

Th´ eor` eme (Inégalité de Taylor-Lagrange). Soit f : I %→ R une fonction de classe C ⁿ⁺¹ pour n ∈ N , Soient a et b deux réels de I. On suppose que f est telle que ∀ x ∈ [a, b], | f ⁽ⁿ⁺¹⁾ (x) | ≤ M _n+1 o` u M _n+1 est un réel. on a alors :

" f(b) − f (a) − f ^# (a)(b − a) − f ^## (a)

2 (b − a) ² − · · · − f ⁽ⁿ⁾ (a)

n! (b − a) ⁿ

" ≤ M n+1 | b − a | ⁿ⁺¹

2. Sous les hypothèses du théorème, le majorant M _n+1 existe forcément.

En effet, la fonction f ⁿ⁺¹ est continue sur le segment [a, b] donc elle est born´ee et atteint ses bornes.

- Pour tout r´eel x ∈ [0, 1], on a : | exp(x) − 1 − x | ≤ e 2 | x | ² . - Pour tout r´eel positif x,

( − 1) ^k+1 x ^k k

" ≤ x ⁿ⁺¹