1.2 Formules de Taylor

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218 - Applications des formules de Taylor

Simon Boulier Maxime Pouvreau 29 avril 2013

E etF sont des evn de dimension finie,U est un ouvert deEet[a, b]est un intervalle non vide deR.

1 Théorie

1.1 Préliminaires

Théorème fondamental de l’analyse Si f ∈ C(U, F)et si[a, a+h]⊆U alors

f(a+h)−f(a) = Z 1

0

Df(a+th).hdt

Théorème des accroissements finis Soient f ∈ C([a, b], F) et g ∈ C([a, b],R) différentiables sur]a, b[. Sikf⁰k ≤ kg⁰ksur]a, b[, alors

kf(b)−f(a)k ≤g(b)−g(a)

1.2 Formules de Taylor

Notation On considèref :U →F et a∈U, et on note :

R^a_n(h) =f(a+h)−

n

X

k=0

1

k!D^kf(a).(h, h, . . . , h)

dès que cela a un sens.

Remarque f ∈ C^∞(U, F)est polynomiale ssi il existe n∈Ntel queR_n= 0.

Taylor-Young Si f estnfois différentiable ena, alors R_n^a(h) =o(khkⁿ)

Taylor-Lagrange Si f est n+ 1fois différentiable surU et[a, a+h]⊆U, alors

kR^a_n(h)k ≤ khkⁿ⁺¹ (n+ 1)! sup

[a,a+h]

kDⁿ⁺¹fk

Taylor-Reste intégral Si f estCⁿ⁺¹ surU et[a, a+h]⊆U, alors

R^a_n(h) = Z 1

0

(1−t)ⁿ

n! Dⁿ⁺¹f(a+th).(h, h, . . . , h) dt

(2)

1.3 Cas réel

Taylor-Lagrange (égalité) Si f ∈ Cⁿ([a, b],R) et est n+ 1 dérivable sur]a, b[, alors il existe c∈]a, b[tel que

R_n^a(b−a) =(b−a)ⁿ⁺¹

(n+ 1)! f⁽ⁿ⁺¹⁾(c)

2 Applications en analyse

2.1 Résultats issus des formules de Taylor

Inégalité de Kolmogorov Soient f ∈ Cⁿ(R,C), n≥2 etM_k = sup_R|f^(k)|. SiM₀ et M_n sont finis alors

– ∀k≤n,M_k est fini – M₁≤√

M₀M₂

– ∀k≤n,Mk ≤2^k(n−k)² M¹⁻

k n

0 M

k

nn

Lemme de Bernstein SoientI⊆Retf ∈ C^∞(I,R). Si∀n∈N, f⁽ⁿ⁾≥0surI, alors la série de Taylor de f converge uniformément sur tout compact de l’intérieurI versf.

Propriété Tout zéro d’ordre fini¹ d’une fonction f ∈ C^∞([a, b], F)est isolé.

Théorème de Darboux La dérivée d’une fonction dérivable réelle possède la propriété des valeurs intermédiaires.

Propriété Soient P ∈R[X] un polynôme ayant au moins une racine réelleαet f ∈ C^∞(R,R).

Si pour toutn∈N|f⁽ⁿ⁾| ≤ |P| alors f est nulle.

Contre-exemple :sinxet x²+ 1.

2.2 Développements limités

On dit quef :R→Radmet un DL en0à l’ordrensifs’écritf(x) =a0+a1x+. . . anxⁿ+o(xⁿ).

Si c’est le cas le DL est alors unique.

La formule de Taylor-Young implique l’existence d’un DL à l’ordrenpour une fonctionnfois dérivable.

Exemples de DL usuels

e^x= 1 +x+ 1

2!x²+· · ·+ 1

n!xⁿ+o(xⁿ)

(1 +x)^α= 1 +αx+α(α−1)

2! x²+· · ·+α(α−1)· · ·(α−n+ 1)

n! xⁿ+o(xⁿ) Propriété Sif admet un DL en0 à l’ordren≥1 alorsf est dérivable en0.

Attention ! Ce n’est pas vrai à l’ordre supérieur. Par exemple pourf(x) = 1 +x+x²+x³sin_x¹2, f(0) = 1on af(x) = 1 +x+x²+o(x²)maisf n’est pas deux fois dérivable en0.

2.3 Formule d’Euler-MacLaurin

Les polynômes de Bernoulli (Bn)_n∈_Net les nombres de Bernoulli(bn)_n∈_Nsont définis par

te^xt e^t−1 =

∞

X

n=0

Bn(x)tⁿ

n! bn=Bn(0)

1. ie. tel qu’il existe une dérivée defqui ne s’y annule pas

(3)

Formule Soientm < n∈Z,r≤1etf ∈ C^r([m, n],C). On a alors

f(m) +f(n)

2 +

n−1

X

i=m+1

f(i) = Z n

m

f(t) dt+

r

X

i=2

b_i

i!(f^(k−1)(n)−f^(k−1)(m)) +R_r

avecRr=⁽⁻¹⁾_r!^r+1Rn

mBr({t})f^(r)(t) dt.

Applications

– Développement asymptotique deHn

– Formule de Stirling précisée – Prolongement deζ àC\ {1}

3 Applications en analyse numérique

Proposition Sif ∈ C²(I,R)alors lim

h→0

f(x+h) +f(x−h)−2f(x)

h² =f⁰⁰(x).

3.1 Méthode de Newton

On cherche à approcher le zéro d’une fonction f : [a, b] → R. Supposons que f soit C², que f(a)<0< f(b)et que f⁰>0 sur[a, b]. Alors pour x₀ suffisamment proche du zéro de f, la suite (xn)n∈Ndéfinie parxn+1=xn−_f^f(x0(xⁿn⁾) converge vers le zéro avec une vitesse quadratique.

Exemple : Méthode de Héron Si on considèrex₀= 1etx_n+1=^x₂ⁿ+_x¹

n (f(x) =x²−2), on axn −→

n→+∞

√

2. Et plus précisément on a :

|x_n+1−√

2| ≤ |x_n−√ 2|² d’oùx₁₀'√

2à 10⁻³⁰⁸près !

3.2 Approximations d’intégrales

On dit qu’une méthode de calcul approché est d’ordre nsi elle est exacte pour les polynômes de degré inférieur àn.

Méthodes composés On cherche une valeur approchée de l’intégrale de f : [a, b] → R. Pour cela on subdivise[a, b] :a=a₀< a₁<· · ·< a_n= b, puis on approche l’intégrale def sur chaque segment[a_i, a_i+1] par l’intégrale de P_i un polynôme interpolantf sur ce segment. On note alors Sn(f) =

n−1

P

i=0

Rai+1

a_i Piet en(f) =|Sn(f)−Rb

af|. On note aussih= max(ai+1−ai)le pas.

Méthode Pi Sn(f) Ordre Majorant deen(f)

Rectangles à gauche f(ai)

n−1

P

i=0

(ai+1−ai)f(ai) 0 ^h(b−a)₂ M1sif C¹

Point milieu f(^aⁱ⁺¹₂^+aⁱ)

n−1

P

i=0

(ai+1−ai)f(^aⁱ⁺¹₂^+aⁱ) 1 ^h²^(b−a)₂₄ M2sif C²

Trapèzes polynôme d’interpolation de Lagrange enai etai+1

n−1

P

i=0

(ai+1−ai)^f(aⁱ⁺¹^)+f(a₂ ⁱ⁾ 1 ^h²^(b−a)₁₂ M2sif C²

Simpson polynôme d’interpolation de Lagrange ena_i, ^aⁱ⁺¹₂^+aⁱ eta_i+1

n−1

P

i=0

(a_i+1−a_i)^f(aⁱ⁺¹^)+4f(

ai+1 +ai 2 )+f(a_i)

6 3 ^h⁴₂₈₈₀^(b−a)M₄sif C⁴

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Méthode de Gauss On cherche cette fois à approximer l’intégrale de f contre une fonction poidsw: [a, b]→R^∗+ par

l

P

i=1

λif(xi).

Théorème Il existe un et un seul choix desxi et desλi tel que la méthode soit d’ordre2l+ 1.

Lesxi sont les racines du(l+ 1)-ème polynôme orthogonal associé àw.

4 Applications en géométrie

4.1 Quadriques et extrema

Soitf :U →Ret a∈U.

Proposition Sif admet un minimum local enaet sif est différentaible ena, alorsDf(a) = 0.

Proposition Sif est deux fois différentiables et siDf(a) = 0alors : – aminimum local⇒D²f(a)positive

– D²f(a)définie positive⇒aminimum local

Exemple f(x, y) =x²−y³n’a pas de minimum local en zéro maisDf(0) = 0etD²f(0)positive.

g(x, y) =x²+y⁴ a un minimum local en zéro doncDg(0) = 0maisD²g(0) non définie positive.

Remarque Ce résultat se généralise à l’ordre supérieur.

Quadriques Soitf : Ω⊆R²→Rdeux fois différentiable en a(un point critique) de Hessienne

r s s t

en ce point. Alors :

– sirt−s²>0f admet un extremum local ena(un min sir >0, un max sir <0).

– sirt−s²<0f n’admet pas d’extremum local ena.

– sirt−s²= 0on ne peut pas conclure.

4.2 Courbes et surfaces

Courbe parametrée Soit f : I →R² une courbe parametrée de classe Cⁿ. Alors la première dérivée non nulle,f^(r)(t0), et la première dérivée non colinéaire à cele-ci,f^(s)(t0), donnent l’aspect local de la courbe ent0.

– sirest impair etspair, la courbe ne coupe pas sa tangente ent0

– sirest impair etsimpair,t0 est un point d’inflexion

– sirest pair etsimpair,t0est un point de rebroussement de première espèce – sirest pair etspair,t₀ est un point de rebroussement de seconde espèce

Nappe parametrée Soit f : Ω → R³ une courbe parametrée de classe C². Alors f(x, y) = a+bx+cy+¹₂(rx²+ 2sxy+ty²) +o(x²+y²)en0. Le plan tangent en0 esta+bx+cy= 0et la position relative est donnée par l’étude de la forme quadratiqueQ(x, y) =rx²+ 2sxy+ty².

– siQest définie positive,0 est un point elliptique.

– siQest non dégénérée mais non définie,0est un point hyperbolique.

– siQest dégénérée mais non nulle,0est un point parabolique.

Lemme de Morse SoientU ⊆Rⁿun ouvert contenant0etf ∈ C(U,R). SiDf(0) = 0etD²f(0) est non dégénérée de signature(p, n−p), alors il existe un difféormorphismeφ:x7→uentre deux voisinages de0tel queφ(0) = 0 et :

f(x)−f(0) =u²₁+· · ·+u²_p−u²_p+1− · · · −u²_n

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Références

– Beck, V., Malick, J., Peyré, G. (2005). Objectif agrégation : mathématiques. H & K.

– Cartan, H. (1977). Cours de calcul différentiel. Hermann.

– Demailly, J. P. (2012). Analyse numérique et équations différentielles (Nouvelle édition). EDP sciences.

– Francinou, G. Nicolas, Exercices de mathématiques. Oraux X-ENS. Analyse, 1.

– Gostiaux, B. (1993). Cours de mathématiques Spéciales, tome 3 : Analyse fonctionnel et calcul différentiel.

– Gourdon, X. (2000). Les maths en tête : analyse : mathématiques pour M’. Ellipses.

– Pommellet, A. (1994). Cours d’analyse.

– Queffélec, H., Zuily, C. (2002). Éléments d’analyse : agrégation de mathématiques. Dunod.

– Rouvière, F. (1999). Petit guide de calcul différentiel : à l’usage de la licence et de l’agrégation.

Cassini.