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Formules de Taylor

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

LMPrépa 2015/2016 Maxime MONTERDE et Nathan LOUDJANI

I) Auto-test : Formule de Taylor

1. Donner la formule de Taylor avec reste intégral à l’ordre n∈N entre a et b (a < b). On précisera les hypothèse sur la fonction f.

Soitf ∈Cn+1([a, b],R)oùa < b dansRet n∈N Alors

f(B) =

n

X

k=0

(b−a)k k! f(k)(a)

| {z }

partie régulière (polynomiale de )B

+ ˆ b

a

(b−t)n

n! fn=1(t)dt

| {z }

le teste (intégral)

Théorème

2. Énoncer l’inégalité de Taylor-Lagrange à l’ordre n.

Si f ∈Cn+1[a, b],R Alors

f(b)−

n

X

k=0

(b−a)k k! f(k)(a)

≤ (b−a)n+1

(n+ 1)! ||f(n+1)|| Corollaire(Inégalité de Taylor-Lagrange)

3. SAVOIR REFAIRE : preuve de la formule de Taylor avec reste intégral.

Preuve :

ϕ: [a, b] → R

x 7→ ϕ(x) =f(b)−Pn k=0

(b−x)k k! f(k)(x) f(n)est de classeC1, doncϕest de classeC1 Calculonsϕ0(x)pour x∈[a, b]

ϕ0(x) = −f0(x)−

n

X

k=1

−k(b−x)k−1

k! f(k)(x) +(b−x)k

k! f(k+1)(x)

= f0(x)−

n

X

k=1

−(b−x)k−1 (k−1)! f(k)(x)

| {z }

uk

+(b−x)k

k! f(k+1)(x)

| {z }

uk+1

Donc

ϕ0(x) = −f0(x)−

n

X

k=1

uk+1−uk

!

= −f(x)−(un+1−u1)

= −f(x)−

(b−x)n

n! f(n+1)(x)−(b−x)0 0! f0(x)

Doncϕ0(x) = (b−x)n

n! f(n+1)(x) Or

ˆ b a

ϕ0(t)dt= [ϕ(t)]ba=ϕ(b)−ϕ(a)

1

(2)

LMPrépa 2015/2016 Maxime MONTERDE et Nathan LOUDJANI

Orϕ(b) =f(b)−Pn k=0

(b−b)k

k! f(k)(b) =f(b)−f(b) = 0 On remplace en utilisantϕ0(x) =(b−x)n

n! f(n+1)(x) Donc

ˆ b a

−(b−b)n

n! f(n+ 1(t)dt=

n

X

k+0

(b−a)k

k! f(k)(a)−f(b) D’où le résultat.

4. SAVOIR REFAIRE : montrer que :∀x∈R,

n

X

k=0

xk

k! −−−−−→

x→+∞ ex Développer en série entière (cf prépa 2) :

Soitx∈R, montrons que

n

X

k=0

xk

k! −−−−−→

n→=∞ ex

On applique la formule de Taylor-intégral à l’ordren∈Nentre0 etxà la fonctionf : R → R x 7→ ex f(x) =

n

X

k=0

xk

k!f(k)(0) + ˆ x

0

(x−t)n

n! f(n+1)(t)dt

Or icif = exp, donc∀k∈N, f(k)= expdoncf(k)(0) = 1 Doncf(x) =

n

X

k=0

xk k! +

ˆ x 0

(x−t)n n! etdt

| {z }

notéεn

Il s’agit de prouver queεn−−−−−→

n→+∞ 0 0≤ |εn|=

ˆ x 0

(x−t)n n! etdt

ˆ x 0

|x−t|n n! etdt

Six≥0et si t∈[0;x]alorset≤ex

Donc0≤ |εn| ≤ en!x´x

0(x−t)ndt=en!xh−(x−t)n+1

n+1

ix

0

Donc0≤ |εn| ≤ex x(n+1)!n+1 xn

+∞n!i.e. xn

n! −−−−−→

n→+∞ 0, donc xn+1

(n+ 1)! −−−−−→

n→+∞ 0 Ainsi par encadrementεn−−−−−→

n→+∞ 0 Six≤0, ∀t∈[x; 0], et≤1

Donc0≤ |εn| ≤ n!1x

0(t−x)ndt|

Donc0≤ |εn| ≤ n!1 h(t−x)n+1

n+1

ix

0 =(n+1)|x| −−−−−→

n→+∞ 0 Ainsi par encadrement, on a encoreε−−−−−→

n→+∞ 0car|x|n

+∞n!

5. SAVOIR REFAIRE : montrer que ∀x≥0, x−x2

2 ≤ln(1 +x)≤x via une formule de Taylor.

Encadrement globaux : Montrons que∀x∈R+, x−x2

2 ≤ln(1 +x)≤x Pourln(1 =x)≤x

Soitf : R+ → R x 7→ ln(1 +x)

Taylor-intégral à l’ordren= 1 entre 0 et x (oùx≥0) f(x) =f(0) +f0(0)

1! + ˆ x

0

x−t 1! f00(t)dt Orf0(x) = 1

1 +x etf00(x) = −1 (1 +x)2

2

(3)

LMPrépa 2015/2016 Maxime MONTERDE et Nathan LOUDJANI

doncln(1 +x) =x− ˆ x

0

(x−t) 1 (1 +t)2dt

| {z }

≥0

Donc six≥0,ln(1 +x)≤x Pourx−x2

2 ≤ln(1 +x): Taylor-intégral à l’ordre 2 entre0et x.

f(x) =f(0) +f0(0)

1! x+f00(0) 2! +

ˆ x 0

(x−t)2

2! f(x)(t)dt Orf00(0) =−1

Donc ln(1 +x) =x−x2 2 +

ˆ x 0

(x−t)2

2 + 2

(1 +t)3dt

| {z }

≥0

carf00(x) =−(1 =x)−2 etf(3)(x)=Z(1+2)−3

Donc∀x≥0,ln(1 +x)≥x−x22

6. Énoncer la formule de Taylor-Young à l’ordre n∈N. On précisera les hypothèses sur la fonction

Soitf ∈∆n(I,R)eta∈I (oùIest un intervalle).

Alors il existe une fonctionε:I→Rtq :

∀x∈I, f(x) =

n

X

k=0

(x−a)k

k! f(k)(a) = (x−a)nε(x) oùε(x)−−−−−→

x→=∞ 0 Théorème

3

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